| О кафедре |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Публикации |
|
|
|
|
| Студентам |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СПЕЦКУРСЫ КАФЕДРЫ
(2024–2025 уч. год)
| Лектор | Название | День | Время | Ауд. |
А.О.Иванов, e-mail: aoiva@mail.ru
А.А.Тужилин, e-mail: tuz@mech.math.msu.su | Расстояние Громова-Хаусдорфа и алгебраическая топология. | СР | 18-30 | ONLINE |
| Дополнительная информация |
Знаменитое расстояние Громова–Хаусдорфа измеряет степень неизометричности метрических пространств: у изометричных пространств расстояние равно нулю, и чем более пространства не похожи друг на друга, тем это расстояние больше. Задача вычисления расстояния Громова–Хаусдорфа между конечными метрическими пространствами является NP-трудной, и к настоящему времени известно лишь небольшое число конкретных значений. Наиболее хорошо изучен случай пространств с одним ненулевым расстоянием (мы называем такие пространства метрическими симплексами), и здесь хватает геометрических и комбинаторных методов. Однако уже для вычисления расстояния между стандартными сферами разных размерностей такой подход к успеху не приводит. В последние годы были разработаны методы, позволяющие находить расстояния Громова–Хаусдорфа с использованием традиционных инвариантов алгебраической топологии, а именно фундаментальных групп и гомологий. Впрочем, для стягиваемых пространств был предложен оригинальный метод ультраметризации: данное метрическое пространство каноническим образом заменяется на ультраметрическое, а расстояние Громова–Хаусдорфа между исходной парой пространств оценивается снизу расстоянием между полученными ультраметрическими пространствами (верхние оценки обычно получаются из геометрических соображений). Преимущество этого метода состоит в том, что стягиваемое пространство превращается в точку, а, скажем, вершины правильного многоугольника, правильного многогранника или точки кубической решетки — в метрический симплекс.
В наших лекциях мы приведем все определения и предварительные результаты, необходимые для понимания основной части курса. Мы начнем с краткого обзора геометрической теории расстояния Громова–Хаусдорфа, в частности, обсудим известные результаты о расстояниях до симплексов и некоторые приложения этой теории, например, к изучению минимальных остовных деревьев, вычислению хроматических чисел и чисел покрытия графов, решению проблемы Борсука о разбиении ограниченного метрического пространства на части меньшего диаметра. Затем мы сформулируем и докажем теорему об ультраметризации, а также приведем многочисленные следствия из нее. Далее мы определим фундаментальную группу пунктированного топологического пространства и обсудим, как можно использовать эти группы для вычисления расстояния между окружностью и другими пространствами. Следующим шагом будет изложение основ симплициальной теории гомологий и ее связи с сингулярными гомологиями. Мы покажем, как по подмножеству метрического пространства можно построить классические симплициальные комплексы Чеха и Вьеториса–Рипса, сформулируем и докажем теоремы, которые позволяют оценить снизу расстояние Громова–Хаусдорфа через известные группы гомологий многообразия (поверхности) с использованием этих комплексов. Дальнейшие лекции основаны на теоремах типа Борсука–Улама, которые описывают свойства непрерывных отображений сфер, а также шаров в сферы. Мы расскажем о разных вариантах этих теорем, приведем их подробные доказательства, и применим полученные результаты для оценки и вычисления расстояния Громова–Хаусдорфа. В конце курса мы расскажем о вычислении расстояния Громова–Хаусдорфа между отрезком и окружностью, которое основано на нетривиальных оценках, не использующих методы алгебраической топологии.
Для понимания данного курса требуется начальное представление об общей топологии и алгебре коммутативных групп. Все остальное мы будем подробно разъяснять, давая столько деталей, сколько требуется слушателям для комфортного восприятия. Считаем, что наши лекции будут доступны даже студентам первого курса, а интересны эти лекции могут быть как старшекурсникам, так и аспирантам.
Первая лекция в весеннем семестре 2024–2025 учебного года состоится 19 февраля 2025.
Желающие получить ссылку на zoom-конференцию, пожалуйста, напишите или
Александру Олеговичу Иванову, или
Алексею Августиновичу Тужилину, или
любому слушателю спецкурса.
|
Материалы весеннего семестра 2025 года, "Расстояние Громова-Хаусдорфа и алгебраическая топология."
Created in May 14, 2025.
Конспект лекций
1 Расстояния Хаусдорфа и Громова–Хаусдорфа
1.1 Определение расстояния Хаусдорфа и Громова–Хаусдорфа
1.2 Соответствия
1.2.1 Неприводимые соответствия
1.3 Основные элементарные свойства расстояния Громова–Хаусдорфа
2 Расстояния до симплексов
2.1 Расстояние Громова–Хаусдорфа между симплексами
2.2 Расстояния Громова–Хаусдорфа до симплексов
2.3 Минимальные остовные деревья
2.4 Число кликового покрытия графа
2.5 Хроматическое число графа
2.6 Число Борсука
3 Ультраметризация
3.1 Ультраметрические пространства
3.2 Расстояние Громова–Хаусдорфа от ультраметрических пространств до симплексов
3.3 Ультраметризация и расстояние Громова–Хаусдорфа
3.4 Расстояния между вершинами правильных многоугольников
3.5 Метрические деревья
4 Фундаментальные группы и расстояния Громова–Хаусдорфа
4.1 Гомотопии
4.2 Петли и фундаментальные группы
4.3 Петли и метрическая геометрия
5 Симплициальные комплексы и их гомологии
5.1 Симплициальные комплексы
5.1.1 Абстрактные симплициальные комплексы
5.1.2 Геометрические симплициальные комплексы
5.1.3 Барицентрическое подразбиение симплициального комплекса
5.2 Абелевы группы
5.3 Симплициальные гомологии симплициальных комплексов
5.3.1 Индуцированные отображения в гомологиях
5.3.2 Гомотопии и гомологии геометрических комплексов
5.3.3 Точные последовательности
5.4 Нерв семейства подмножеств и комплекс Чеха
5.4.1 Комплекс Чеха
5.5 Радиус выпуклости
5.6 Старшие гомологии связного многообразия
5.7 Комплекс Вьеториса–Рипса
6 Комплексы Чеха, Вьеториса–Рипса и расстояния Громова–Хаусдорфа
6.1 Случай римановых многообразий
6.2 Случай окружности
7 Теоремы типа Борсука–Улама
7.1 Триангулируемые топологические пространства
7.2 Лемма Такера
7.3 Теоремы Борсука–Улама и Люстерника–Шнирельмана
8 Расстояния Громова–Хаусдорфа между сферами
8.1 Некоторые простейшие случаи
Материалы курса 2024-2025 года "Лекции по геометрии квантового расстояния Громова–Хаусдорфа, часть IV."
Created in March 20, 2025.
Конспект лекций
7 Квантовое расстояние Громова–Хаусдорфа
7.3 Мосты
7.3.1 Общая конструкция моста
7.3.2 Первые примеры построения и использования мостов
7.3.3 Подмножества и мосты
7.3.4 Замкнутые полунормы и пространства
7.3.5 Определение изометрии
7.3.6 Нулевое расстояние
7.4 Полнота
7.4.1 Последовательности OUS
7.4.2 Последовательности CQ
7.5 Конечная аппроксимация и компактность
Материалы курса 2023-2024 года "Лекции по геометрии квантового расстояния Громова–Хаусдорфа, часть III."
Конспект лекций
6 Квантовые метрические пространства
6.1 Обобщенные полунормы и обобщенные полуметрики
6.1.1 Факторизация
6.2 Обобщенная липшицева полунорма на обобщенном метрическом пространстве
6.2.1 Продолжение липшицевых функций
6.3 Комплексные меры
6.4 Расстояние Монжа–Канторовича
6.5 Упорядоченные пространства с порядковой единицей (напоминание)
6.6 Представление Кэдисона
6.7 Компактные квантовые метрические пространства
6.7.1 Липшицева полунорма на упорядоченном пространстве
6.7.2 Lip-норма
6.8 Пространства с липшицевыми полунормами
6.8.1 Липшицева топология и *-слабая топология
6.8.2 Критерий совпадения липшицевой и *-слабой топологий
6.8.3 Преобразование компактного метрического пространства в квантовое
6.8.4 Полунепрерывность снизу липшицевых полунорм и восстановление полунормы из метрики
6.8.5 Функционал Минковского
6.8.6 Пополнение Минковского и замыкание полунорм
6.9 Радиус квантового метрического пространства
7 Квантовое расстояние Громова–Хаусдорфа
7.1 Морфизмы
7.2 Определение квантового расстояния Громова–Хаусдорфа
Материалы курса 2023-2024 года "Лекции по геометрии квантового расстояния Громова–Хаусдорфа, часть II."
Конспект лекций
Вопросы к экзамену
4 Функциональное исчисление-алгебр. Положительные элементы
4.1 Функциональные исчисления
4.2 Положительные элементы в C*-алгебрах
4.3 Частичный порядок на эрмитовых элементах C*-алгебры
4.4 Аппроксимативная единица
4.5 Положительные линейные функционалы на C*-алгебрах
4.6 Конструкция Гельфанда–Наймарка–Сигала
5 Частичный порядок с единицей на векторных пространствах
5.1 Вещественные векторные пространства с порядком
5.1.1 Положительные R-линейные функционалы и состояния
5.1.2 Порядковая полунорма
5.2 Упорядоченные *-пространства
5.2.1 Полунормы на упорядоченных *-пространствах
Литература
Материалы курса 2022-2023 года "Лекции по геометрии квантового расстояния Громова–Хаусдорфа, часть I."
Конспект лекций
Вопросы к экзамену
Задачи к экзамену
ОГЛАВЛЕНИЕ
1 Предварительные результаты
1.1 Банаховы пространства
1.2 Направленности и их пределы
1.3 Слабая топология
1.4 *-слабая топология
1.5 Рефлексивные пространства
1.6 Сепарабельные пространства
1.7 Равномерная выпуклость
1.8 Гильбертовы пространства
2 Банаховы алгебры
2.1 Элементы теории алгебр
2.1.1 Алгебра, унитальная алгебра
2.1.2 Нормированные и унитальные нормированные алгебры
2.1.3 Банаховы алгебры
2.1.4 Идеалы, модулярные идеалы
2.1.5 Гомоморфизмы алгебр
2.1.6 Унитализация
2.2 Резольвентные множества и спектры в унитальной алгебре
2.2.1 Случай унитальных банаховых алгебр
2.3 Спектральный радиус в унитальной алгебре
2.4 Спектры и спектральные радиусы в неунитальной алгебре
2.5 Экспоненты в унитальной банаховой алгебре
2.6 Модулярные идеалы, продолжение
2.7 Характеры коммутативной алгебры, ее спектр
2.7.1 Характеры коммутативной алгебры и ее унитализации
2.7.2 Характеры, спектры, топология пространства характеров
2.7.3 Отождествления
2.8 Представление Гельфанда коммутативной банаховой алгебры
3 Элементы теории C*-алгебр
3.1 Алгебры с инволюцией или *-алгебры
3.2 Нормированные и банаховы *-алгебры
3.3 C*-алгебры
3.3.1 Унитализация банаховой *-алгебры и C*-алгебры
3.4 Представление Гельфанда коммутативной C*-алгебры
3.5 Некоторые приложения представления Гельфанда
Литература
Материалы курса 2021-2022 года "Лекции по геометрии расстояния Громова–Хаусдорфа."
Конспект лекций.
ОГЛАВЛЕНИЕ
1 Введение
1.1 Расстояние Хаусдорфа и Громова-Хаусдорфа
1.1.1 Общее устройство обобщенных псевдометрических пространств
1.1.2 Базовые подмножества обобщенных псевдометрических пространств
1.1.3 Расстояние Хаусдорфа
1.1.4 Расстояние Громова-Хаусдорфа
1.1.5 Элементы теории множеств фон Неймана-Бернайса-Гёделя
1.1.6 Расстояние Громова-Хаусдорфа и соответствия
1.1.7 Обобщенная псевдометрика Громова-Хаусдорфа является внутренней
1.1.8 Неприводимые соответствия
1.1.9 Пространство Громова-Хаусдорфа
2 Изометричные отображения в классе Громова-Хаусдорфа
2.1 Группа изометрий пространства Громова-Хаусдорфа
2.1.1 Расстояния Громова-Хаусдорфа до симплексов
2.1.2 Симплексы большей мощности
2.1.3 Симплексы не большей мощности
2.1.4 Равномощные симплексы
2.2 Пространства ℰn(λ) и ℱn(λ) для произвольной мощности n ≥ 2
2.3 Представление конечных метрических пространств векторами расстояний
2.4 Векторы расстояний общих метрических пространств
2.5 Пространства общего положения и изометрии: случай ℳ
2.6 Алгебраическое завершение доказательства
Материалы курса 2020-2021 года (весенний семестр)"Метрическая геометрия: некоторые современные результаты."
17, 24 февраля 2021: Чикин Владимир. Связь непрерывности длин кривых и непрерывности расстояний в случае ограниченно компактных метрических пространств.
Видеозапись: Часть 1.
Часть 2.
3 марта 2021: Житная Марина. Шарнирные механизмы, реализующие геометрическую минимизацию.
10 марта 2021, 16:45: Липатов Степан. Отображения, сохраняющие структуру минимальных заполнений.
Видеозапись: Часть 1.
17 марта 2021, 16:45: Липатов Степан. Продолжение
Видеозапись: Часть 2.
17 марта 2021, 16:45: Галстян Арсен. Проблема Ферма-Штейнера в гиперпространствах: общая теория.
Видеозапись: Часть 1.
24 марта 2021, 16:45: Тропин Александр. Проблема Ферма-Штейнера в гиперпространстве над евклидовой плоскостью.
24 марта 2021, 18:30: Липатов Степан. Продолжение
Видеозапись докладов Тропина и Липатова.
31 марта 2021, 16:45: Тропин Александр. Проблема Ферма-Штейнера в гиперпространстве над евклидовой плоскостью (продолжение).
Видеозапись
31 марта 2021, 16:45: Галстян Арсен. Проблема Ферма-Штейнера в гиперпространствах: общая теория (продолжение).
Видеозапись
7 апреля 2021, 16:45: Тропин Александр. Проблема Ферма-Штейнера в гиперпространстве над евклидовой плоскостью (продолжение).
Видеозапись
7 апреля 2021, 18:30: Шербаков Олег. Выпуклые многогранники и Минимальные заполнения конечных метрических пространств.
Видеозапись
14 апреля 2021, 16:45: Ломоносовские чтения.
Харчева Ирина Сергеевна. Реализация топологических инвариантов интегрируемыми биллиардными книжками.
Щербаков Олег Сергеевич. Выпуклые многогранники бинарных деревьев.
14 апреля 2021, 18:30: Малышева Ольга. Модифицированное расстояние Громова-Хаусдорфа и геометрия пространства орбит действия группы изометрии.
Видеозапись
28 апреля 2021, 16:45: Борисова Ольга. Метрические сегменты в классе Громова-Хаусдорфа.
Видеозапись
5 мая 2021, 14:00: Михайлов Иван. Отображение Хаусдорфа.
Видеозапись
5 мая 2021, после окончания предыдущего доклада: Парамонова Дарья. Минимальные сети на тонких конусах.
Видеозапись
12 мая 2021, 16:45: Парамонова Дарья. Минимальные сети на тонких конусах (продолжение).
12 мая 2021, 18:30: Григорьев Дмитрий. Расстояние Громова-Хаусдорфа до симплексов произвольной мощности.
19 мая 2021, 16:45: Хачатуров Владимир. Стабилизация регулярных вложенных кривых в нормированных плоскостях.
19 мая 2021, 17:30: Лычагина Елена. Распознавание мощности метрического пространства с помощью расстояния Громова-Хаусдорфа до симплексов.
19 мая 2021, 18:30: Князев Дмитрий. Геометрия метрических пространств: точки запрета для одномерных экстремалей.
19 мая 2021, 19:15: Моллаев Джамбулат. Геометрия отображения раздутия элементов гиперпространства.
Видеозапись докладов Лычагиной, Князева и Моллаева
Материалы курса 2020 года (осенний семестр)"Конечные метрические пространства: геометрия, комбинаторика, оптимизация."
Лекции О.Р.Мусина. План лекций можно посмотреть здесь.
Тема 1. Лемма Шпернера: приложения и обобщения.
Видеозапись первой лекции О.Р.Мусина.
Тема 2. Пространства с двумя расстояниями.
Видеозапись второй лекции О.Р.Мусина.
Материал по теме 2:
Тема 3. Дискретный аналог теории Максвелла-Морса и ее применение для обработки изображений.
Видеозапись третьей лекции О.Р.Мусина.
Материал по теме 3:
Тема 4. Экстремальные конфигурации точек на сфере.
Видеозапись четвертой лекции О.Р.Мусина.
Материал по теме 4:
Тема 5. Гипотеза Римана, теорема Рамануджана и сверхизбыточные числа.
Видеозапись пятой лекции О.Р.Мусина.
Материал по теме 5:
Материалы курса 2019-2020 года (весенний семестр)"Геометрия пространств компактов с метриками Хаусдорфа и Громова–Хаусдорфа. Метрические тройки Громова."
Материалы курса 2019-2020 года (осенний семестр)"Геометрия пространств компактов с метриками Хаусдорфа и Громова–Хаусдорфа."
Материалы курса 2018-2019 года"Транспортная задача Канторовича и геометрия пространств вероятностных мер."
Материалы курса 2017-2018 года"Проблема Штейнера: подход геометрической теории меры."
Материалы курса 2016-2017 года"Элементы метрической геометрии и геометрической теории графов."
Материалы курса 2015-2016 года"Геометрическая теория меры. Введение."
Материалы курса 2014-2015 года"Метрическая геометрия и геометрическая теория графов."
Материалы курса 2013-2014 года
Вернуться к расписанию спецкурсов
|
|