DiffGeom Logo
 
О кафедре
История кафедры
Фотоальбом
Сотрудники
Наши студенты
Наши магистранты
Наши аспиранты
Научная работа
Научные достижения
Лаборатория компьютерных методов
Digital Vision Laboratory
Проекты при поддержке РНФ
Где работают наши выпускники
Международные и внутри-российские связи кафедры
Публикации
Наши книги
Наши статьи
Диссертации
Работы студентов
Студентам
Спецкурсы
Спецсеминары
Учебные материалы
Видеолекции
Задачи для исследования
Олимпиада кафедры
Наглядная и компью­терная геометрия и топология
Геометрические сюжеты
Энциклопедические статьи
Задать вопрос

 

СПЕЦКУРСЫ  КАФЕДРЫ
(2024–2025 уч. год)

 

ЛекторНазваниеДеньВремя Ауд. 
А.О.Иванов, e-mail: aoiva@mail.ru
А.А.Тужилин, e-mail: tuz@mech.math.msu.su		Геометрия квантового расстояния Громова-Хаусдорфа, часть IV.СР18-30ONLINE

Дополнительная информация
Метрическая геометрия, в частности, геометрия гиперпространств, то есть метрических пространств, точками которых являются метрические пространства из некоторого фиксированного семейства, представляет собой активно развивающуюся область современной математики, имеющую многочисленные приложения. Хорошо известно пространство компактных метрических пространств с метрикой Громова-Хаусдорфа. Однако, эта метрика не учитывает специфики, возникающей, если рассматриваемые пространства несут ту или иную дополнительную структуру. Квантовое расстояние Громова-Хаусдорфа - это как раз одна из таких модификаций, учитывающая особенности пространств состояний упорядоченных векторных пространств.
Курс является продолжением серии спецкурсов, прочитанных нами в 22, 23 и 24 годах. Уже была изложена теория C*-алгебр и теория векторных пространств с частичным порядком. В обоих случаях пространства состояний, наделенные *-слабой топологией, компактны. Эта ситуация хорошо знакома специалистам по теории меры, где аналогичные результаты имеют место при рассмотрении комплексных борелевских мер и их важного подкласса - вероятностных мер. Последние естественным образом могут быть представлены как элементы пространства состояний соответствующей C*-алгебры.
Если *-слабая топология на пространстве состояний задается метрикой, порожденной липшицевой полунормой, то соответствующее упорядоченное вещественное векторное пространство называется компактным квантовым метрическим пространством. Мы покажем, как можно модифицировать классическое расстояние Громова-Хаусдорфа между пространствами состояний, чтобы в результате это расстояние не только измеряло сходство метрических структур, но и учитывало частичные порядки, а для C*-алгебр - и соответствующие алгебраические структуры. Полученное в результате расстояние называется квантовым расстоянием Громова-Хаусдорфа. Цель курса - познакомить слушателей со свойствами этого расстояния, продемонстрировать его сходство с и отличия от классического расстояния Громова-Хаусдорфа, а также интересные приложения.

Первая лекция в осеннем семестре 2024–2025 учебного года состоится 18 сентября 2024.

Желающие получить ссылку на zoom-конференцию, пожалуйста, напишите или
Александру Олеговичу Иванову, или Алексею Августиновичу Тужилину, или любому слушателю спецкурса.

 

Материалы курса 2023-2024 года
"Лекции по геометрии квантового расстояния Громова–Хаусдорфа, часть III."

          Created in May 22, 2024.
          Конспект лекций

6 Квантовые метрические пространства
   6.1 Обобщенные полунормы и обобщенные полуметрики
      6.1.1 Факторизация
   6.2 Обобщенная липшицева полунорма на обобщенном метрическом пространстве
      6.2.1 Продолжение липшицевых функций
   6.3 Комплексные меры
   6.4 Расстояние Монжа–Канторовича
   6.5 Упорядоченные пространства с порядковой единицей (напоминание)
   6.6 Представление Кэдисона
   6.7 Компактные квантовые метрические пространства
      6.7.1 Липшицева полунорма на упорядоченном пространстве
      6.7.2 Lip-норма
   6.8 Пространства с липшицевыми полунормами
      6.8.1 Липшицева топология и *-слабая топология
      6.8.2 Критерий совпадения липшицевой и *-слабой топологий
      6.8.3 Преобразование компактного метрического пространства в квантовое
      6.8.4 Полунепрерывность снизу липшицевых полунорм и восстановление полунормы из метрики
      6.8.5 Функционал Минковского
      6.8.6 Пополнение Минковского и замыкание полунорм
   6.9 Радиус квантового метрического пространства
7 Квантовое расстояние Громова–Хаусдорфа
   7.1 Морфизмы
   7.2 Определение квантового расстояния Громова–Хаусдорфа

 

Материалы курса 2023-2024 года
"Лекции по геометрии квантового расстояния Громова–Хаусдорфа, часть II."

          Конспект лекций
          Вопросы к экзамену

4 Функциональное исчисление-алгебр. Положительные элементы
   4.1 Функциональные исчисления
   4.2 Положительные элементы в C*-алгебрах
   4.3 Частичный порядок на эрмитовых элементах C*-алгебры
   4.4 Аппроксимативная единица
   4.5 Положительные линейные функционалы на C*-алгебрах
   4.6 Конструкция Гельфанда–Наймарка–Сигала
5 Частичный порядок с единицей на векторных пространствах
   5.1 Вещественные векторные пространства с порядком
      5.1.1 Положительные R-линейные функционалы и состояния
      5.1.2 Порядковая полунорма
   5.2 Упорядоченные *-пространства
      5.2.1 Полунормы на упорядоченных *-пространствах
Литература

 

Материалы курса 2022-2023 года
"Лекции по геометрии квантового расстояния Громова–Хаусдорфа, часть I."

          Конспект лекций
          Вопросы к экзамену
          Задачи к экзамену

          ОГЛАВЛЕНИЕ
1 Предварительные результаты
   1.1 Банаховы пространства
   1.2 Направленности и их пределы
   1.3 Слабая топология
   1.4 *-слабая топология
   1.5 Рефлексивные пространства
   1.6 Сепарабельные пространства
   1.7 Равномерная выпуклость
   1.8 Гильбертовы пространства
2 Банаховы алгебры
   2.1 Элементы теории алгебр
      2.1.1 Алгебра, унитальная алгебра
      2.1.2 Нормированные и унитальные нормированные алгебры
      2.1.3 Банаховы алгебры
      2.1.4 Идеалы, модулярные идеалы
      2.1.5 Гомоморфизмы алгебр
      2.1.6 Унитализация
   2.2 Резольвентные множества и спектры в унитальной алгебре
      2.2.1 Случай унитальных банаховых алгебр
   2.3 Спектральный радиус в унитальной алгебре
   2.4 Спектры и спектральные радиусы в неунитальной алгебре
   2.5 Экспоненты в унитальной банаховой алгебре
   2.6 Модулярные идеалы, продолжение
   2.7 Характеры коммутативной алгебры, ее спектр
      2.7.1 Характеры коммутативной алгебры и ее унитализации
      2.7.2 Характеры, спектры, топология пространства характеров
      2.7.3 Отождествления
   2.8 Представление Гельфанда коммутативной банаховой алгебры
3 Элементы теории C*-алгебр
   3.1 Алгебры с инволюцией или *-алгебры
   3.2 Нормированные и банаховы *-алгебры
   3.3 C*-алгебры
      3.3.1 Унитализация банаховой *-алгебры и C*-алгебры
   3.4 Представление Гельфанда коммутативной C*-алгебры
   3.5 Некоторые приложения представления Гельфанда
Литература

 

Материалы курса 2021-2022 года
"Лекции по геометрии расстояния Громова–Хаусдорфа."

          Конспект лекций.

          ОГЛАВЛЕНИЕ
1 Введение
   1.1 Расстояние Хаусдорфа и Громова-Хаусдорфа
      1.1.1 Общее устройство обобщенных псевдометрических пространств
      1.1.2 Базовые подмножества обобщенных псевдометрических пространств
      1.1.3 Расстояние Хаусдорфа
      1.1.4 Расстояние Громова-Хаусдорфа
      1.1.5 Элементы теории множеств фон Неймана-Бернайса-Гёделя
      1.1.6 Расстояние Громова-Хаусдорфа и соответствия
      1.1.7 Обобщенная псевдометрика Громова-Хаусдорфа является внутренней
      1.1.8 Неприводимые соответствия
      1.1.9 Пространство Громова-Хаусдорфа
2 Изометричные отображения в классе Громова-Хаусдорфа
   2.1 Группа изометрий пространства Громова-Хаусдорфа
      2.1.1 Расстояния Громова-Хаусдорфа до симплексов
      2.1.2 Симплексы большей мощности
      2.1.3 Симплексы не большей мощности
      2.1.4 Равномощные симплексы
   2.2 Пространства ℰn(λ) и ℱn(λ) для произвольной мощности n ≥ 2
   2.3 Представление конечных метрических пространств векторами расстояний
   2.4 Векторы расстояний общих метрических пространств
   2.5 Пространства общего положения и изометрии: случай ℳ
   2.6 Алгебраическое завершение доказательства

 

Материалы курса 2020-2021 года (весенний семестр)
"Метрическая геометрия: некоторые современные результаты."

    17, 24 февраля 2021: Чикин Владимир. Связь непрерывности длин кривых и непрерывности расстояний в случае ограниченно компактных метрических пространств.
    Видеозапись: Часть 1.  Часть 2.
    3 марта 2021: Житная Марина. Шарнирные механизмы, реализующие геометрическую минимизацию.
    10 марта 2021, 16:45: Липатов Степан. Отображения, сохраняющие структуру минимальных заполнений.
    Видеозапись: Часть 1. 
    17 марта 2021, 16:45: Липатов Степан. Продолжение
    Видеозапись: Часть 2. 
    17 марта 2021, 16:45: Галстян Арсен. Проблема Ферма-Штейнера в гиперпространствах: общая теория.
    Видеозапись: Часть 1. 
    24 марта 2021, 16:45: Тропин Александр. Проблема Ферма-Штейнера в гиперпространстве над евклидовой плоскостью.
    24 марта 2021, 18:30: Липатов Степан. Продолжение
    Видеозапись докладов Тропина и Липатова. 
    31 марта 2021, 16:45: Тропин Александр. Проблема Ферма-Штейнера в гиперпространстве над евклидовой плоскостью (продолжение).
    Видеозапись 
    31 марта 2021, 16:45: Галстян Арсен. Проблема Ферма-Штейнера в гиперпространствах: общая теория (продолжение).
    Видеозапись 
    7 апреля 2021, 16:45: Тропин Александр. Проблема Ферма-Штейнера в гиперпространстве над евклидовой плоскостью (продолжение).
    Видеозапись 
    7 апреля 2021, 18:30: Шербаков Олег. Выпуклые многогранники и Минимальные заполнения конечных метрических пространств.
    Видеозапись 
    14 апреля 2021, 16:45: Ломоносовские чтения.
        Харчева Ирина Сергеевна. Реализация топологических инвариантов интегрируемыми биллиардными книжками.
        Щербаков Олег Сергеевич. Выпуклые многогранники бинарных деревьев.
    14 апреля 2021, 18:30: Малышева Ольга. Модифицированное расстояние Громова-Хаусдорфа и геометрия пространства орбит действия группы изометрии.
    Видеозапись 
    28 апреля 2021, 16:45: Борисова Ольга. Метрические сегменты в классе Громова-Хаусдорфа.
    Видеозапись 
    5 мая 2021, 14:00: Михайлов Иван. Отображение Хаусдорфа.
    Видеозапись 
    5 мая 2021, после окончания предыдущего доклада: Парамонова Дарья. Минимальные сети на тонких конусах.
    Видеозапись 
    12 мая 2021, 16:45: Парамонова Дарья. Минимальные сети на тонких конусах (продолжение).
    12 мая 2021, 18:30: Григорьев Дмитрий. Расстояние Громова-Хаусдорфа до симплексов произвольной мощности.
    19 мая 2021, 16:45: Хачатуров Владимир. Стабилизация регулярных вложенных кривых в нормированных плоскостях.
    19 мая 2021, 17:30: Лычагина Елена. Распознавание мощности метрического пространства с помощью расстояния Громова-Хаусдорфа до симплексов.
    19 мая 2021, 18:30: Князев Дмитрий. Геометрия метрических пространств: точки запрета для одномерных экстремалей.
    19 мая 2021, 19:15: Моллаев Джамбулат. Геометрия отображения раздутия элементов гиперпространства.
    Видеозапись докладов Лычагиной, Князева и Моллаева 

 

Материалы курса 2020 года (осенний семестр)
"Конечные метрические пространства: геометрия, комбинаторика, оптимизация."

 

Материалы курса 2019-2020 года (весенний семестр)
"Геометрия пространств компактов с метриками Хаусдорфа и Громова–Хаусдорфа. Метрические тройки Громова."

 

Материалы курса 2019-2020 года (осенний семестр)
"Геометрия пространств компактов с метриками Хаусдорфа и Громова–Хаусдорфа."

 

Материалы курса 2018-2019 года
"Транспортная задача Канторовича и геометрия пространств вероятностных мер."

 

Материалы курса 2017-2018 года
"Проблема Штейнера: подход геометрической теории меры."

 

Материалы курса 2016-2017 года
"Элементы метрической геометрии и геометрической теории графов."

 

Материалы курса 2015-2016 года
"Геометрическая теория меры. Введение."

 

Материалы курса 2014-2015 года
"Метрическая геометрия и геометрическая теория графов."

 

Материалы курса 2013-2014 года


Вернуться к расписанию спецкурсов