DiffGeom Logo
 
О кафедре
История кафедры
Фотоальбом
Сотрудники
Наши студенты
Наши магистранты
Наши аспиранты
Научная работа
Научные достижения
Лаборатория компьютерных методов
Digital Vision Laboratory
Проекты при поддержке РНФ
Где работают наши выпускники
Международные и внутри-российские связи кафедры
Публикации
Наши книги
Наши статьи
Диссертации
Работы студентов
Студентам
Спецкурсы
Спецсеминары
Учебные материалы
Видеолекции
Задачи для исследования
Олимпиада кафедры
Наглядная и компью­терная геометрия и топология
Геометрические сюжеты
Энциклопедические статьи
Задать вопрос


 

СПЕЦКУРСЫ  КАФЕДРЫ
(2023–2024 уч. год)

 

ЛекторНазваниеДеньВремя Ауд. 
А.О.Иванов, e-mail: aoiva@mail.ru
А.А.Тужилин, e-mail: tuz@mech.math.msu.su
Геометрия квантового расстояния Громова-Хаусдорфа, часть II.СР16-45ONLINE

Дополнительная информация
В этом семестре мы продолжим изучение теории квантовых метрических пространств. Напомним, что первая часть курса была посвящена теории C*-алгебр. Во второй части мы относительно подробно поговорили о теории векторных пространств с частичным порядком. В частности, мы выяснили, как пространство состояний C*-алгебр, построенное, фактически, по частичному порядку на самосопряженных функционалах, может быть реализовано в случае абстрактных упорядоченных пространств. В обоих случаях пространства состояний, наделенные *-слабой топологией, превращаются в компактные или локально компактные пространства. Эта ситуация хорошо знакома специалистам по теории меры, где аналогичные результаты имеют место при рассмотрении комплексных борелевских мер и их важного подкласса - вероятностных мер. Последние естественным образом могут быть представлены как элементы пространства состояний соответствующей C*-алгебры. Напомним, что компактность в общей топологии не гарантирует возможности выбирать сходящиеся подпоследовательности, т.е. не гарантирует секвенциальную компактность. Однако, если топология метрическая, то компактность и секвенциальная компактность оказываются равносильными. Мы будем рассматривать такие пространства состояний, в которых *-слабая топология задается так называемыми липшицевыми полунормами, порождающими на пространстве состояний метрику. Упорядоченные вещественные пространства с такими полунормами и называются компактными квантовыми метрическими пространствами. Мы покажем, как можно модифицировать классическое расстояние Громова-Хаусдорфа между пространствами состояний, чтобы в результате это расстояние не только измеряло сходство метрических структур, но и отражало близость структур, заданных частичным порядком, а для C*-алгебр - и соответствующих алгебраических структур. Несмотря на такую модификацию, полученное в результате квантовое расстояние Громова-Хаусдорфа окажется устроенным аналогично классическому. В частности, оно будет полной метрикой, которая зануляется на изометрично изоморфных пространствах. Более того, остается справедливым естественный аналог теоремы Громова о предкомпактности. Материалы предыдущих двух семестров, необходимые для понимания, опубликованы на этой же страничке ниже. Здесь же мы будем выкладывать конспекты текущих лекций.

Первая лекция в весеннем семестре 2023–2024 учебного года состоится 14 февраля 2024.

Желающие получить ссылку на zoom-конференцию, пожалуйста, напишите или
Александру Олеговичу Иванову, или Алексею Августиновичу Тужилину, или любому слушателю спецкурса.

 

Материалы курса 2023-2024 года
"Лекции по геометрии квантового расстояния Громова–Хаусдорфа, часть III."

          Created in February 28, 2024.
          Конспект лекций

 

Материалы курса 2023-2024 года
"Лекции по геометрии квантового расстояния Громова–Хаусдорфа, часть II."

          Конспект лекций
          Вопросы к экзамену

4 Функциональное исчисление-алгебр. Положительные элементы
   4.1 Функциональные исчисления
   4.2 Положительные элементы в C*-алгебрах
   4.3 Частичный порядок на эрмитовых элементах C*-алгебры
   4.4 Аппроксимативная единица
   4.5 Положительные линейные функционалы на C*-алгебрах
   4.6 Конструкция Гельфанда–Наймарка–Сигала
5 Частичный порядок с единицей на векторных пространствах
   5.1 Вещественные векторные пространства с порядком
      5.1.1 Положительные R-линейные функционалы и состояния
      5.1.2 Порядковая полунорма
   5.2 Упорядоченные *-пространства
      5.2.1 Полунормы на упорядоченных *-пространствах
Литература

 

Материалы курса 2022-2023 года
"Лекции по геометрии квантового расстояния Громова–Хаусдорфа, часть I."

          Конспект лекций
          Вопросы к экзамену
          Задачи к экзамену

          ОГЛАВЛЕНИЕ
1 Предварительные результаты
   1.1 Банаховы пространства
   1.2 Направленности и их пределы
   1.3 Слабая топология
   1.4 *-слабая топология
   1.5 Рефлексивные пространства
   1.6 Сепарабельные пространства
   1.7 Равномерная выпуклость
   1.8 Гильбертовы пространства
2 Банаховы алгебры
   2.1 Элементы теории алгебр
      2.1.1 Алгебра, унитальная алгебра
      2.1.2 Нормированные и унитальные нормированные алгебры
      2.1.3 Банаховы алгебры
      2.1.4 Идеалы, модулярные идеалы
      2.1.5 Гомоморфизмы алгебр
      2.1.6 Унитализация
   2.2 Резольвентные множества и спектры в унитальной алгебре
      2.2.1 Случай унитальных банаховых алгебр
   2.3 Спектральный радиус в унитальной алгебре
   2.4 Спектры и спектральные радиусы в неунитальной алгебре
   2.5 Экспоненты в унитальной банаховой алгебре
   2.6 Модулярные идеалы, продолжение
   2.7 Характеры коммутативной алгебры, ее спектр
      2.7.1 Характеры коммутативной алгебры и ее унитализации
      2.7.2 Характеры, спектры, топология пространства характеров
      2.7.3 Отождествления
   2.8 Представление Гельфанда коммутативной банаховой алгебры
3 Элементы теории C*-алгебр
   3.1 Алгебры с инволюцией или *-алгебры
   3.2 Нормированные и банаховы *-алгебры
   3.3 C*-алгебры
      3.3.1 Унитализация банаховой *-алгебры и C*-алгебры
   3.4 Представление Гельфанда коммутативной C*-алгебры
   3.5 Некоторые приложения представления Гельфанда
Литература

 

Материалы курса 2021-2022 года
"Лекции по геометрии расстояния Громова–Хаусдорфа."

          Конспект лекций.

          ОГЛАВЛЕНИЕ
1 Введение
   1.1 Расстояние Хаусдорфа и Громова-Хаусдорфа
      1.1.1 Общее устройство обобщенных псевдометрических пространств
      1.1.2 Базовые подмножества обобщенных псевдометрических пространств
      1.1.3 Расстояние Хаусдорфа
      1.1.4 Расстояние Громова-Хаусдорфа
      1.1.5 Элементы теории множеств фон Неймана-Бернайса-Гёделя
      1.1.6 Расстояние Громова-Хаусдорфа и соответствия
      1.1.7 Обобщенная псевдометрика Громова-Хаусдорфа является внутренней
      1.1.8 Неприводимые соответствия
      1.1.9 Пространство Громова-Хаусдорфа
2 Изометричные отображения в классе Громова-Хаусдорфа
   2.1 Группа изометрий пространства Громова-Хаусдорфа
      2.1.1 Расстояния Громова-Хаусдорфа до симплексов
      2.1.2 Симплексы большей мощности
      2.1.3 Симплексы не большей мощности
      2.1.4 Равномощные симплексы
   2.2 Пространства ℰn(λ) и ℱn(λ) для произвольной мощности n ≥ 2
   2.3 Представление конечных метрических пространств векторами расстояний
   2.4 Векторы расстояний общих метрических пространств
   2.5 Пространства общего положения и изометрии: случай ℳ
   2.6 Алгебраическое завершение доказательства

 

Материалы курса 2020-2021 года (весенний семестр)
"Метрическая геометрия: некоторые современные результаты."

    17, 24 февраля 2021: Чикин Владимир. Связь непрерывности длин кривых и непрерывности расстояний в случае ограниченно компактных метрических пространств.
    Видеозапись: Часть 1.  Часть 2.
    3 марта 2021: Житная Марина. Шарнирные механизмы, реализующие геометрическую минимизацию.
    10 марта 2021, 16:45: Липатов Степан. Отображения, сохраняющие структуру минимальных заполнений.
    Видеозапись: Часть 1. 
    17 марта 2021, 16:45: Липатов Степан. Продолжение
    Видеозапись: Часть 2. 
    17 марта 2021, 16:45: Галстян Арсен. Проблема Ферма-Штейнера в гиперпространствах: общая теория.
    Видеозапись: Часть 1. 
    24 марта 2021, 16:45: Тропин Александр. Проблема Ферма-Штейнера в гиперпространстве над евклидовой плоскостью.
    24 марта 2021, 18:30: Липатов Степан. Продолжение
    Видеозапись докладов Тропина и Липатова. 
    31 марта 2021, 16:45: Тропин Александр. Проблема Ферма-Штейнера в гиперпространстве над евклидовой плоскостью (продолжение).
    Видеозапись 
    31 марта 2021, 16:45: Галстян Арсен. Проблема Ферма-Штейнера в гиперпространствах: общая теория (продолжение).
    Видеозапись 
    7 апреля 2021, 16:45: Тропин Александр. Проблема Ферма-Штейнера в гиперпространстве над евклидовой плоскостью (продолжение).
    Видеозапись 
    7 апреля 2021, 18:30: Шербаков Олег. Выпуклые многогранники и Минимальные заполнения конечных метрических пространств.
    Видеозапись 
    14 апреля 2021, 16:45: Ломоносовские чтения.
        Харчева Ирина Сергеевна. Реализация топологических инвариантов интегрируемыми биллиардными книжками.
        Щербаков Олег Сергеевич. Выпуклые многогранники бинарных деревьев.
    14 апреля 2021, 18:30: Малышева Ольга. Модифицированное расстояние Громова-Хаусдорфа и геометрия пространства орбит действия группы изометрии.
    Видеозапись 
    28 апреля 2021, 16:45: Борисова Ольга. Метрические сегменты в классе Громова-Хаусдорфа.
    Видеозапись 
    5 мая 2021, 14:00: Михайлов Иван. Отображение Хаусдорфа.
    Видеозапись 
    5 мая 2021, после окончания предыдущего доклада: Парамонова Дарья. Минимальные сети на тонких конусах.
    Видеозапись 
    12 мая 2021, 16:45: Парамонова Дарья. Минимальные сети на тонких конусах (продолжение).
    12 мая 2021, 18:30: Григорьев Дмитрий. Расстояние Громова-Хаусдорфа до симплексов произвольной мощности.
    19 мая 2021, 16:45: Хачатуров Владимир. Стабилизация регулярных вложенных кривых в нормированных плоскостях.
    19 мая 2021, 17:30: Лычагина Елена. Распознавание мощности метрического пространства с помощью расстояния Громова-Хаусдорфа до симплексов.
    19 мая 2021, 18:30: Князев Дмитрий. Геометрия метрических пространств: точки запрета для одномерных экстремалей.
    19 мая 2021, 19:15: Моллаев Джамбулат. Геометрия отображения раздутия элементов гиперпространства.
    Видеозапись докладов Лычагиной, Князева и Моллаева 

 

Материалы курса 2020 года (осенний семестр)
"Конечные метрические пространства: геометрия, комбинаторика, оптимизация."

 

Материалы курса 2019-2020 года (весенний семестр)
"Геометрия пространств компактов с метриками Хаусдорфа и Громова–Хаусдорфа. Метрические тройки Громова."

 

Материалы курса 2019-2020 года (осенний семестр)
"Геометрия пространств компактов с метриками Хаусдорфа и Громова–Хаусдорфа."

 

Материалы курса 2018-2019 года
"Транспортная задача Канторовича и геометрия пространств вероятностных мер."

 

Материалы курса 2017-2018 года
"Проблема Штейнера: подход геометрической теории меры."

 

Материалы курса 2016-2017 года
"Элементы метрической геометрии и геометрической теории графов."

 

Материалы курса 2015-2016 года
"Геометрическая теория меры. Введение."

 

Материалы курса 2014-2015 года
"Метрическая геометрия и геометрическая теория графов."

 

Материалы курса 2013-2014 года


Вернуться к расписанию спецкурсов