DiffGeom Logo
 
О кафедре
История кафедры
Фотоальбом
Сотрудники
Наши студенты
Наши аспиранты
Научная работа
Научные достижения
Лаборатория компьютерных методов
Digital Vision Laboratory
Где работают наши выпускники
Международные и внутри-российские связи кафедры
Публикации
Наши книги
Наши статьи
Диссертации
Работы студентов
Студентам
Спецкурсы
Спецсеминары
Учебные материалы
Задачи для исследования
Олимпиада кафедры
Наглядная и компью­терная геометрия и топология
Геометрические сюжеты
Энциклопедические статьи
Задать вопрос


 

СПЕЦКУРСЫ  КАФЕДРЫ
(2017–18 уч. год, осенний семестр)

 

ЛекторНазваниеДеньВремя Ауд. 
А.О.Иванов
А.А.Тужилин
Проблема Штейнера: подход геометрической теории меры.ПН18-3014-04

Дополнительная информация
Годовой спецкурс для студентов младших курсов, а также всех, интересующихся современной геометрией и топологией.

Основная цель нашего спецкурса в осеннем семестре – доказать следующую теорему.

Теорема. Пусть X – ограниченно компактное метрическое пространство, а M – непустое замкнутое подмножество X. Тогда если существует связное компактное подмножество S ⊃ M (континуум) конечной одномерной меры Хаусдорфа, H1(S) < ∞, то среди всех континуумов G ⊃ M имеется G0, для которого H1(G0) = inf H1(G).

Эта теорема, вместе с дальнейшим списком свойств минимального континуума G0, является решением на языке метрической геометрии классической проблемы Штейнера, в которой требуется научиться строить кратчайшую сеть дорог, соединяющую заданный набор конечных пунктов, например, городов.

Чем интересна эта теорема? Во-первых, она является важным частным случаем теорем существования решения задач геометрического вариационного исчисления, изучающего оптимальные "поверхности", затягивающие те или иные границы. Во-вторых, при доказательстве этой теоремы мы познакомим слушателей как с началами геометрической теории меры, так и с теорией расстояний Хаусдорфа и Громова−Хаусдорфа: первое характеризует взаимное расположение подмножеств метрического пространство, а второе – "сходство" двух различных метрических пространств. Отметим, что мера и расстояние Хаусдорфа, хоть и представляют на первый взгляд объекты существенно разной природы, на самом деле оказываются тесно связанными, о чем мы расскажем, доказав знаменитую теорему Голаба (Gołąb) о полунепрерывности одномерной меры Хаусдорфа по отношению к топологии, заданной расстоянием Хаусдорфа. Классические доказательства этой теоремы достаточно сложны и используют разнообразную технику геометрической теории меры. Мы же приведем "элементарное" доказательство, предложенное Альберти (Alberti) и Оттолини (Ottolini) и опубликованное в 2017 году.

Первая лекция в осеннем семестре 2017 года — 18 сентября.

 

Материалы курса 2017-2018 года
"Проблема Штейнера: подход геометрической теории меры."

 

Материалы курса 2016-2017 года
"Элементы метрической геометрии и геометрической теории графов."

 

Материалы курса 2015-2016 года
"Геометрическая теория меры. Введение."

 

Материалы курса 2014-2015 года
"Метрическая геометрия и геометрическая теория графов."

 

Материалы курса 2013-2014 года


Вернуться к расписанию спецкурсов