DiffGeom Logo
 
О кафедре
История кафедры
Фотоальбом
Сотрудники
Наши студенты
Наши магистранты
Наши аспиранты
Научная работа
Научные достижения
Лаборатория компьютерных методов
Digital Vision Laboratory
Проекты при поддержке РНФ
Где работают наши выпускники
Международные и внутри-российские связи кафедры
Публикации
Наши книги
Наши статьи
Диссертации
Работы студентов
Студентам
Спецкурсы
Спецсеминары
Учебные материалы
Видеолекции
Задачи для исследования
Олимпиада кафедры
Наглядная и компью­терная геометрия и топология
Геометрические сюжеты
Энциклопедические статьи
Задать вопрос

 

СПЕЦКУРСЫ  КАФЕДРЫ
(2024–2025 уч. год)

 

ЛекторНазваниеДеньВремя Ауд. 
А.О.Иванов, e-mail: aoiva@mail.ru
А.А.Тужилин, e-mail: tuz@mech.math.msu.su		Расстояние Громова-Хаусдорфа и алгебраическая топология.СР18-30ONLINE

Дополнительная информация
    Знаменитое расстояние Громова–Хаусдорфа измеряет степень неизометричности метрических пространств: у изометричных пространств расстояние равно нулю, и чем более пространства не похожи друг на друга, тем это расстояние больше. Задача вычисления расстояния Громова–Хаусдорфа между конечными метрическими пространствами является NP-трудной, и к настоящему времени известно лишь небольшое число конкретных значений. Наиболее хорошо изучен случай пространств с одним ненулевым расстоянием (мы называем такие пространства метрическими симплексами), и здесь хватает геометрических и комбинаторных методов. Однако уже для вычисления расстояния между стандартными сферами разных размерностей такой подход к успеху не приводит. В последние годы были разработаны методы, позволяющие находить расстояния Громова–Хаусдорфа с использованием традиционных инвариантов алгебраической топологии, а именно фундаментальных групп и гомологий. Впрочем, для стягиваемых пространств был предложен оригинальный метод ультраметризации: данное метрическое пространство каноническим образом заменяется на ультраметрическое, а расстояние Громова–Хаусдорфа между исходной парой пространств оценивается снизу расстоянием между полученными ультраметрическими пространствами (верхние оценки обычно получаются из геометрических соображений). Преимущество этого метода состоит в том, что стягиваемое пространство превращается в точку, а, скажем, вершины правильного многоугольника, правильного многогранника или точки кубической решетки — в метрический симплекс.
    В наших лекциях мы приведем все определения и предварительные результаты, необходимые для понимания основной части курса. Мы начнем с краткого обзора геометрической теории расстояния Громова–Хаусдорфа, в частности, обсудим известные результаты о расстояниях до симплексов и некоторые приложения этой теории, например, к изучению минимальных остовных деревьев, вычислению хроматических чисел и чисел покрытия графов, решению проблемы Борсука о разбиении ограниченного метрического пространства на части меньшего диаметра. Затем мы сформулируем и докажем теорему об ультраметризации, а также приведем многочисленные следствия из нее. Далее мы определим фундаментальную группу пунктированного топологического пространства и обсудим, как можно использовать эти группы для вычисления расстояния между окружностью и другими пространствами. Следующим шагом будет изложение основ симплициальной теории гомологий и ее связи с сингулярными гомологиями. Мы покажем, как по подмножеству метрического пространства можно построить классические симплициальные комплексы Чеха и Вьеториса–Рипса, сформулируем и докажем теоремы, которые позволяют оценить снизу расстояние Громова–Хаусдорфа через известные группы гомологий многообразия (поверхности) с использованием этих комплексов. Дальнейшие лекции основаны на теоремах типа Борсука–Улама, которые описывают свойства непрерывных отображений сфер, а также шаров в сферы. Мы расскажем о разных вариантах этих теорем, приведем их подробные доказательства, и применим полученные результаты для оценки и вычисления расстояния Громова–Хаусдорфа. В конце курса мы расскажем о вычислении расстояния Громова–Хаусдорфа между отрезком и окружностью, которое основано на нетривиальных оценках, не использующих методы алгебраической топологии.
    Для понимания данного курса требуется начальное представление об общей топологии и алгебре коммутативных групп. Все остальное мы будем подробно разъяснять, давая столько деталей, сколько требуется слушателям для комфортного восприятия. Считаем, что наши лекции будут доступны даже студентам первого курса, а интересны эти лекции могут быть как старшекурсникам, так и аспирантам.

Первая лекция в весеннем семестре 2024–2025 учебного года состоится 19 февраля 2025.

Желающие получить ссылку на zoom-конференцию, пожалуйста, напишите или
Александру Олеговичу Иванову, или
Алексею Августиновичу Тужилину, или
любому слушателю спецкурса.

 

Материалы весеннего семестра 2025 года,
"Расстояние Громова-Хаусдорфа и алгебраическая топология."

          Created in March 05, 2025.
          Конспект лекций

   1 Расстояния Хаусдорфа и Громова–Хаусдорфа
      1.1 Определение расстояния Хаусдорфа и Громова–Хаусдорфа
      1.2 Соответствия
            1.2.1 Неприводимые соответствия
      1.3 Основные элементарные свойства расстояния Громова–Хаусдорфа
   2 Расстояния до симплексов
      2.1 Расстояние Громова–Хаусдорфа между симплексами
      2.2 Расстояния Громова–Хаусдорфа до симплексов
      2.3 Минимальные остовные деревья
      2.4 Число кликового покрытия графа

 

Материалы курса 2024-2025 года
"Лекции по геометрии квантового расстояния Громова–Хаусдорфа, часть IV."

          Created in January 10, 2025.
          Конспект лекций

7 Квантовое расстояние Громова–Хаусдорфа
   7.3 Мосты
      7.3.1 Общая конструкция моста
      7.3.2 Первые примеры построения и использования мостов
      7.3.3 Подмножества и мосты
      7.3.4 Замкнутые полунормы и пространства
      7.3.5 Определение изометрии
      7.3.6 Нулевое расстояние
   7.4 Полнота
      7.4.1 Последовательности OUS
      7.4.2 Последовательности CQ
   7.5 Конечная аппроксимация и компактность

 

Материалы курса 2023-2024 года
"Лекции по геометрии квантового расстояния Громова–Хаусдорфа, часть III."

          Конспект лекций

6 Квантовые метрические пространства
   6.1 Обобщенные полунормы и обобщенные полуметрики
      6.1.1 Факторизация
   6.2 Обобщенная липшицева полунорма на обобщенном метрическом пространстве
      6.2.1 Продолжение липшицевых функций
   6.3 Комплексные меры
   6.4 Расстояние Монжа–Канторовича
   6.5 Упорядоченные пространства с порядковой единицей (напоминание)
   6.6 Представление Кэдисона
   6.7 Компактные квантовые метрические пространства
      6.7.1 Липшицева полунорма на упорядоченном пространстве
      6.7.2 Lip-норма
   6.8 Пространства с липшицевыми полунормами
      6.8.1 Липшицева топология и *-слабая топология
      6.8.2 Критерий совпадения липшицевой и *-слабой топологий
      6.8.3 Преобразование компактного метрического пространства в квантовое
      6.8.4 Полунепрерывность снизу липшицевых полунорм и восстановление полунормы из метрики
      6.8.5 Функционал Минковского
      6.8.6 Пополнение Минковского и замыкание полунорм
   6.9 Радиус квантового метрического пространства
7 Квантовое расстояние Громова–Хаусдорфа
   7.1 Морфизмы
   7.2 Определение квантового расстояния Громова–Хаусдорфа

 

Материалы курса 2023-2024 года
"Лекции по геометрии квантового расстояния Громова–Хаусдорфа, часть II."

          Конспект лекций
          Вопросы к экзамену

4 Функциональное исчисление-алгебр. Положительные элементы
   4.1 Функциональные исчисления
   4.2 Положительные элементы в C*-алгебрах
   4.3 Частичный порядок на эрмитовых элементах C*-алгебры
   4.4 Аппроксимативная единица
   4.5 Положительные линейные функционалы на C*-алгебрах
   4.6 Конструкция Гельфанда–Наймарка–Сигала
5 Частичный порядок с единицей на векторных пространствах
   5.1 Вещественные векторные пространства с порядком
      5.1.1 Положительные R-линейные функционалы и состояния
      5.1.2 Порядковая полунорма
   5.2 Упорядоченные *-пространства
      5.2.1 Полунормы на упорядоченных *-пространствах
Литература

 

Материалы курса 2022-2023 года
"Лекции по геометрии квантового расстояния Громова–Хаусдорфа, часть I."

          Конспект лекций
          Вопросы к экзамену
          Задачи к экзамену

          ОГЛАВЛЕНИЕ
1 Предварительные результаты
   1.1 Банаховы пространства
   1.2 Направленности и их пределы
   1.3 Слабая топология
   1.4 *-слабая топология
   1.5 Рефлексивные пространства
   1.6 Сепарабельные пространства
   1.7 Равномерная выпуклость
   1.8 Гильбертовы пространства
2 Банаховы алгебры
   2.1 Элементы теории алгебр
      2.1.1 Алгебра, унитальная алгебра
      2.1.2 Нормированные и унитальные нормированные алгебры
      2.1.3 Банаховы алгебры
      2.1.4 Идеалы, модулярные идеалы
      2.1.5 Гомоморфизмы алгебр
      2.1.6 Унитализация
   2.2 Резольвентные множества и спектры в унитальной алгебре
      2.2.1 Случай унитальных банаховых алгебр
   2.3 Спектральный радиус в унитальной алгебре
   2.4 Спектры и спектральные радиусы в неунитальной алгебре
   2.5 Экспоненты в унитальной банаховой алгебре
   2.6 Модулярные идеалы, продолжение
   2.7 Характеры коммутативной алгебры, ее спектр
      2.7.1 Характеры коммутативной алгебры и ее унитализации
      2.7.2 Характеры, спектры, топология пространства характеров
      2.7.3 Отождествления
   2.8 Представление Гельфанда коммутативной банаховой алгебры
3 Элементы теории C*-алгебр
   3.1 Алгебры с инволюцией или *-алгебры
   3.2 Нормированные и банаховы *-алгебры
   3.3 C*-алгебры
      3.3.1 Унитализация банаховой *-алгебры и C*-алгебры
   3.4 Представление Гельфанда коммутативной C*-алгебры
   3.5 Некоторые приложения представления Гельфанда
Литература

 

Материалы курса 2021-2022 года
"Лекции по геометрии расстояния Громова–Хаусдорфа."

          Конспект лекций.

          ОГЛАВЛЕНИЕ
1 Введение
   1.1 Расстояние Хаусдорфа и Громова-Хаусдорфа
      1.1.1 Общее устройство обобщенных псевдометрических пространств
      1.1.2 Базовые подмножества обобщенных псевдометрических пространств
      1.1.3 Расстояние Хаусдорфа
      1.1.4 Расстояние Громова-Хаусдорфа
      1.1.5 Элементы теории множеств фон Неймана-Бернайса-Гёделя
      1.1.6 Расстояние Громова-Хаусдорфа и соответствия
      1.1.7 Обобщенная псевдометрика Громова-Хаусдорфа является внутренней
      1.1.8 Неприводимые соответствия
      1.1.9 Пространство Громова-Хаусдорфа
2 Изометричные отображения в классе Громова-Хаусдорфа
   2.1 Группа изометрий пространства Громова-Хаусдорфа
      2.1.1 Расстояния Громова-Хаусдорфа до симплексов
      2.1.2 Симплексы большей мощности
      2.1.3 Симплексы не большей мощности
      2.1.4 Равномощные симплексы
   2.2 Пространства ℰn(λ) и ℱn(λ) для произвольной мощности n ≥ 2
   2.3 Представление конечных метрических пространств векторами расстояний
   2.4 Векторы расстояний общих метрических пространств
   2.5 Пространства общего положения и изометрии: случай ℳ
   2.6 Алгебраическое завершение доказательства

 

Материалы курса 2020-2021 года (весенний семестр)
"Метрическая геометрия: некоторые современные результаты."

    17, 24 февраля 2021: Чикин Владимир. Связь непрерывности длин кривых и непрерывности расстояний в случае ограниченно компактных метрических пространств.
    Видеозапись: Часть 1.  Часть 2.
    3 марта 2021: Житная Марина. Шарнирные механизмы, реализующие геометрическую минимизацию.
    10 марта 2021, 16:45: Липатов Степан. Отображения, сохраняющие структуру минимальных заполнений.
    Видеозапись: Часть 1. 
    17 марта 2021, 16:45: Липатов Степан. Продолжение
    Видеозапись: Часть 2. 
    17 марта 2021, 16:45: Галстян Арсен. Проблема Ферма-Штейнера в гиперпространствах: общая теория.
    Видеозапись: Часть 1. 
    24 марта 2021, 16:45: Тропин Александр. Проблема Ферма-Штейнера в гиперпространстве над евклидовой плоскостью.
    24 марта 2021, 18:30: Липатов Степан. Продолжение
    Видеозапись докладов Тропина и Липатова. 
    31 марта 2021, 16:45: Тропин Александр. Проблема Ферма-Штейнера в гиперпространстве над евклидовой плоскостью (продолжение).
    Видеозапись 
    31 марта 2021, 16:45: Галстян Арсен. Проблема Ферма-Штейнера в гиперпространствах: общая теория (продолжение).
    Видеозапись 
    7 апреля 2021, 16:45: Тропин Александр. Проблема Ферма-Штейнера в гиперпространстве над евклидовой плоскостью (продолжение).
    Видеозапись 
    7 апреля 2021, 18:30: Шербаков Олег. Выпуклые многогранники и Минимальные заполнения конечных метрических пространств.
    Видеозапись 
    14 апреля 2021, 16:45: Ломоносовские чтения.
        Харчева Ирина Сергеевна. Реализация топологических инвариантов интегрируемыми биллиардными книжками.
        Щербаков Олег Сергеевич. Выпуклые многогранники бинарных деревьев.
    14 апреля 2021, 18:30: Малышева Ольга. Модифицированное расстояние Громова-Хаусдорфа и геометрия пространства орбит действия группы изометрии.
    Видеозапись 
    28 апреля 2021, 16:45: Борисова Ольга. Метрические сегменты в классе Громова-Хаусдорфа.
    Видеозапись 
    5 мая 2021, 14:00: Михайлов Иван. Отображение Хаусдорфа.
    Видеозапись 
    5 мая 2021, после окончания предыдущего доклада: Парамонова Дарья. Минимальные сети на тонких конусах.
    Видеозапись 
    12 мая 2021, 16:45: Парамонова Дарья. Минимальные сети на тонких конусах (продолжение).
    12 мая 2021, 18:30: Григорьев Дмитрий. Расстояние Громова-Хаусдорфа до симплексов произвольной мощности.
    19 мая 2021, 16:45: Хачатуров Владимир. Стабилизация регулярных вложенных кривых в нормированных плоскостях.
    19 мая 2021, 17:30: Лычагина Елена. Распознавание мощности метрического пространства с помощью расстояния Громова-Хаусдорфа до симплексов.
    19 мая 2021, 18:30: Князев Дмитрий. Геометрия метрических пространств: точки запрета для одномерных экстремалей.
    19 мая 2021, 19:15: Моллаев Джамбулат. Геометрия отображения раздутия элементов гиперпространства.
    Видеозапись докладов Лычагиной, Князева и Моллаева 

 

Материалы курса 2020 года (осенний семестр)
"Конечные метрические пространства: геометрия, комбинаторика, оптимизация."

 

Материалы курса 2019-2020 года (весенний семестр)
"Геометрия пространств компактов с метриками Хаусдорфа и Громова–Хаусдорфа. Метрические тройки Громова."

 

Материалы курса 2019-2020 года (осенний семестр)
"Геометрия пространств компактов с метриками Хаусдорфа и Громова–Хаусдорфа."

 

Материалы курса 2018-2019 года
"Транспортная задача Канторовича и геометрия пространств вероятностных мер."

 

Материалы курса 2017-2018 года
"Проблема Штейнера: подход геометрической теории меры."

 

Материалы курса 2016-2017 года
"Элементы метрической геометрии и геометрической теории графов."

 

Материалы курса 2015-2016 года
"Геометрическая теория меры. Введение."

 

Материалы курса 2014-2015 года
"Метрическая геометрия и геометрическая теория графов."

 

Материалы курса 2013-2014 года


Вернуться к расписанию спецкурсов