| О кафедре |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Публикации |
|
|
|
|
| Студентам |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СПЕЦКУРСЫ КАФЕДРЫ
(2025–2026 уч. год)
| Лектор | Название | День | Время | Ауд. |
С.А.Богатый, e-mail: bogatyi@inbox.ru
А.О.Иванов, e-mail: aoiva@mail.ru
Е.А.Резниченко, e-mail: erezn@inbox.ru
А.А.Тужилин, e-mail: tuz@mech.math.msu.su | Классическое и непрерывное расстояния Громова-Хаусдорфа. | СР | 18-30 | ONLINE |
| Дополнительная информация |
Знаменитое расстояние Громова-Хаусдорфа измеряет степень неизометричности метрических пространств: у изометричных пространств расстояние равно нулю, и чем более ``непохожи'' пространства друг на друга, тем это расстояние больше. Имеется много важных приложений расстояния Громова-Хаусдорфа, как в фундаментальной науке, так и в прикладных областях, например, при изучении скорости роста дискретных групп, в компьютерной графике и вычислительной геометрии, в теории распознавания образов, в робототехнике, и даже в космологии.
Однако в классическом определении расстояния Громова-Хаусдорфа никак не учитываются дополнительные структуры, которыми могут быть наделены метрические пространства. Даже топология, порождаемая метрикой, игнорируется этим расстоянием (наилучшие ``сравнения'' пространств не обязаны быть непрерывными). Имеется много разных модификаций, согласованных с теми или иными дополнительными структурами. Например, при изучении квантовых метрических пространств модифицированное расстояние учитывает структуру упорядоченного линейного пространства, в котором ``живет'' пространство состояний. Другой пример - изучение расстояний между динамическими системами, что позволяет сравнивать между собой решения систем дифференциальных уравнений. Тут требуется учитывать непрерывность. Однако в известной нам современной монографии модификация расстояния Громова-Хаусдорфа перестает удовлетворять неравенству треугольника, что приводит к существенному усложнению доказательств даже самых естественных фундаментальных свойств. С другой стороны, имеется публикация, авторы которой определяют ``непрерывное'' расстояние, удовлетворяющее неравенству треугольника. Они показывают, что это расстояние может отличаться от классического, скажем, в случае стандартных сфер разной размерности. Однако фундаментального исследования в работе не проводится.
В нашем спецкурсе последняя модификация занимает одно из основных мест. В наших работах мы описали базовые свойства этого расстояния и выяснили ряд любопытных вещей. Например, это расстояние хорошо ``чувствует'' топологическую размерность. В спецкурсе мы расскажем об этой новой теории. Кроме того, мы приведем примеры и других модификаций расстояния Громова-Хаусдорфа, а также обсудим полученные нами результаты. Мы сформулируем много задач, решение которых нам не известно, так что заинтересованные слушатели будут иметь возможность принять активное участие в развитии этой теории и, в случае успеха, опубликовать свои результаты.
Отметим, что в наших лекциях мы будем параллельно рассказывать и теорию классического расстояния Громова-Хаусдорфа, а также обсуждать, в чем она схожа, а в чем отличается от теории непрерывного расстояния. Для понимания курса требуется начальное представление об общей топологии. Все остальное мы будем подробно разъяснять, давая столько деталей, сколько требуется слушателям для комфортного восприятия. Считаем, что наши лекции будут доступны даже студентам первого курса, а интересны эти лекции могут быть как старшекурсникам, так и аспирантам.
Первая лекция в весеннем семестре 2025–2026 учебного года состоится 18 февраля 2026.
Желающие получить ссылку на zoom-конференцию, пожалуйста, напишите или
Семеону Антоновичу Богатому, или
Александру Олеговичу Иванову, или
Евгению Александровичу Резниченко, или
Алексею Августиновичу Тужилину, или
любому слушателю спецкурса.
|
Материалы весеннего семестра 2026 года, "Классическое и непрерывное расстояния Громова-Хаусдорфа."
Created in February 18, 2026.
Конспект лекций
Введение
1 Расстояния Хаусдорфа и Громова–Хаусдорфа
1.1 Расстояние Хаусдорфа
1.2 Расстояние Громова–Хаусдорфа
1.3 Соответствия
2 Добавление: аналог топологии на собственных классах
Литература
Осенний семестр 2025 года "Геометрическая Оптимизация: Введение."
Задачи оптимизации, то есть поиска максимумов и минимумов, привлекают внимание специалистов благодаря их практический и теоретической значимости. В нашем курсе мы остановимся на некоторых из них, имеющих естественный геометрический смысл, и как следствие, требующих использования геометрических методов при их решении. В нашем курсе мы обсудим следующие темы.
- Оптимальные соединения конечных подмножеств метрических пространств (минимальные остовные деревья, кратчайшие деревья, отношение Штейнера).
- Минимальные заполнения конечных метрических пространств, связь с остовными и кратчайшими деревьями, отношения типа Штейнера, двойственная задача линейного программирования, деревья и многогранники.
- Расстояние Хаусдорфа на гиперпространстве, т.е. на семействе непустых подмножеств метрического пространства, геометрия и топология гиперпространств.
- Расстояние Громова--Хаусдорфа между метрическими пространствами, геометрия собственного класса всех непустых метрических пространств, рассматриваемых с точностью до изометрии, частный случай пространства Громова-Хаусдорфа, состоящего из компактных пространств.
Материалы весеннего семестра 2025 года, "Расстояние Громова-Хаусдорфа и алгебраическая топология."
Created in May 21, 2025.
Конспект лекций
1 Расстояния Хаусдорфа и Громова–Хаусдорфа
1.1 Определение расстояния Хаусдорфа и Громова–Хаусдорфа
1.2 Соответствия
1.2.1 Неприводимые соответствия
1.3 Основные элементарные свойства расстояния Громова–Хаусдорфа
2 Расстояния до симплексов
2.1 Расстояние Громова–Хаусдорфа между симплексами
2.2 Расстояния Громова–Хаусдорфа до симплексов
2.3 Минимальные остовные деревья
2.4 Число кликового покрытия графа
2.5 Хроматическое число графа
2.6 Число Борсука
3 Ультраметризация
3.1 Ультраметрические пространства
3.2 Расстояние Громова–Хаусдорфа от ультраметрических пространств до симплексов
3.3 Ультраметризация и расстояние Громова–Хаусдорфа
3.4 Расстояния между вершинами правильных многоугольников
3.5 Метрические деревья
4 Фундаментальные группы и расстояния Громова–Хаусдорфа
4.1 Гомотопии
4.2 Петли и фундаментальные группы
4.3 Петли и метрическая геометрия
5 Симплициальные комплексы и их гомологии
5.1 Симплициальные комплексы
5.1.1 Абстрактные симплициальные комплексы
5.1.2 Геометрические симплициальные комплексы
5.1.3 Барицентрическое подразбиение симплициального комплекса
5.2 Абелевы группы
5.3 Симплициальные гомологии симплициальных комплексов
5.3.1 Индуцированные отображения в гомологиях
5.3.2 Гомотопии и гомологии геометрических комплексов
5.3.3 Точные последовательности
5.4 Нерв семейства подмножеств и комплекс Чеха
5.4.1 Комплекс Чеха
5.5 Радиус выпуклости
5.6 Старшие гомологии связного многообразия
5.7 Комплекс Вьеториса–Рипса
6 Комплексы Чеха, Вьеториса–Рипса и расстояния Громова–Хаусдорфа
6.1 Случай римановых многообразий
6.2 Случай окружности
7 Теоремы типа Борсука–Улама
7.1 Триангулируемые топологические пространства
7.2 Лемма Такера
7.3 Теоремы Борсука–Улама и Люстерника–Шнирельмана
8 Расстояния Громова–Хаусдорфа между сферами
8.1 Некоторые простейшие случаи
8.2 Непрерывный вариант расстояния Громова-Хаусдорфа
8.3 Расстояние Хаусдорфа между разными сферами почти всегда меньше π/2
8.4 Радиус покрытия
8.5 Сферический симплекс
8.6 Следствия из теоремы 8.21
Литература
Материалы курса 2024-2025 года "Лекции по геометрии квантового расстояния Громова–Хаусдорфа, часть IV."
Created in March 20, 2025.
Конспект лекций
7 Квантовое расстояние Громова–Хаусдорфа
7.3 Мосты
7.3.1 Общая конструкция моста
7.3.2 Первые примеры построения и использования мостов
7.3.3 Подмножества и мосты
7.3.4 Замкнутые полунормы и пространства
7.3.5 Определение изометрии
7.3.6 Нулевое расстояние
7.4 Полнота
7.4.1 Последовательности OUS
7.4.2 Последовательности CQ
7.5 Конечная аппроксимация и компактность
Материалы курса 2023-2024 года "Лекции по геометрии квантового расстояния Громова–Хаусдорфа, часть III."
Конспект лекций
6 Квантовые метрические пространства
6.1 Обобщенные полунормы и обобщенные полуметрики
6.1.1 Факторизация
6.2 Обобщенная липшицева полунорма на обобщенном метрическом пространстве
6.2.1 Продолжение липшицевых функций
6.3 Комплексные меры
6.4 Расстояние Монжа–Канторовича
6.5 Упорядоченные пространства с порядковой единицей (напоминание)
6.6 Представление Кэдисона
6.7 Компактные квантовые метрические пространства
6.7.1 Липшицева полунорма на упорядоченном пространстве
6.7.2 Lip-норма
6.8 Пространства с липшицевыми полунормами
6.8.1 Липшицева топология и *-слабая топология
6.8.2 Критерий совпадения липшицевой и *-слабой топологий
6.8.3 Преобразование компактного метрического пространства в квантовое
6.8.4 Полунепрерывность снизу липшицевых полунорм и восстановление полунормы из метрики
6.8.5 Функционал Минковского
6.8.6 Пополнение Минковского и замыкание полунорм
6.9 Радиус квантового метрического пространства
7 Квантовое расстояние Громова–Хаусдорфа
7.1 Морфизмы
7.2 Определение квантового расстояния Громова–Хаусдорфа
Материалы курса 2023-2024 года "Лекции по геометрии квантового расстояния Громова–Хаусдорфа, часть II."
Конспект лекций
Вопросы к экзамену
4 Функциональное исчисление-алгебр. Положительные элементы
4.1 Функциональные исчисления
4.2 Положительные элементы в C*-алгебрах
4.3 Частичный порядок на эрмитовых элементах C*-алгебры
4.4 Аппроксимативная единица
4.5 Положительные линейные функционалы на C*-алгебрах
4.6 Конструкция Гельфанда–Наймарка–Сигала
5 Частичный порядок с единицей на векторных пространствах
5.1 Вещественные векторные пространства с порядком
5.1.1 Положительные R-линейные функционалы и состояния
5.1.2 Порядковая полунорма
5.2 Упорядоченные *-пространства
5.2.1 Полунормы на упорядоченных *-пространствах
Литература
Материалы курса 2022-2023 года "Лекции по геометрии квантового расстояния Громова–Хаусдорфа, часть I."
Конспект лекций
Вопросы к экзамену
Задачи к экзамену
ОГЛАВЛЕНИЕ
1 Предварительные результаты
1.1 Банаховы пространства
1.2 Направленности и их пределы
1.3 Слабая топология
1.4 *-слабая топология
1.5 Рефлексивные пространства
1.6 Сепарабельные пространства
1.7 Равномерная выпуклость
1.8 Гильбертовы пространства
2 Банаховы алгебры
2.1 Элементы теории алгебр
2.1.1 Алгебра, унитальная алгебра
2.1.2 Нормированные и унитальные нормированные алгебры
2.1.3 Банаховы алгебры
2.1.4 Идеалы, модулярные идеалы
2.1.5 Гомоморфизмы алгебр
2.1.6 Унитализация
2.2 Резольвентные множества и спектры в унитальной алгебре
2.2.1 Случай унитальных банаховых алгебр
2.3 Спектральный радиус в унитальной алгебре
2.4 Спектры и спектральные радиусы в неунитальной алгебре
2.5 Экспоненты в унитальной банаховой алгебре
2.6 Модулярные идеалы, продолжение
2.7 Характеры коммутативной алгебры, ее спектр
2.7.1 Характеры коммутативной алгебры и ее унитализации
2.7.2 Характеры, спектры, топология пространства характеров
2.7.3 Отождествления
2.8 Представление Гельфанда коммутативной банаховой алгебры
3 Элементы теории C*-алгебр
3.1 Алгебры с инволюцией или *-алгебры
3.2 Нормированные и банаховы *-алгебры
3.3 C*-алгебры
3.3.1 Унитализация банаховой *-алгебры и C*-алгебры
3.4 Представление Гельфанда коммутативной C*-алгебры
3.5 Некоторые приложения представления Гельфанда
Литература
Материалы курса 2021-2022 года "Лекции по геометрии расстояния Громова–Хаусдорфа."
Конспект лекций.
ОГЛАВЛЕНИЕ
1 Введение
1.1 Расстояние Хаусдорфа и Громова-Хаусдорфа
1.1.1 Общее устройство обобщенных псевдометрических пространств
1.1.2 Базовые подмножества обобщенных псевдометрических пространств
1.1.3 Расстояние Хаусдорфа
1.1.4 Расстояние Громова-Хаусдорфа
1.1.5 Элементы теории множеств фон Неймана-Бернайса-Гёделя
1.1.6 Расстояние Громова-Хаусдорфа и соответствия
1.1.7 Обобщенная псевдометрика Громова-Хаусдорфа является внутренней
1.1.8 Неприводимые соответствия
1.1.9 Пространство Громова-Хаусдорфа
2 Изометричные отображения в классе Громова-Хаусдорфа
2.1 Группа изометрий пространства Громова-Хаусдорфа
2.1.1 Расстояния Громова-Хаусдорфа до симплексов
2.1.2 Симплексы большей мощности
2.1.3 Симплексы не большей мощности
2.1.4 Равномощные симплексы
2.2 Пространства ℰn(λ) и ℱn(λ) для произвольной мощности n ≥ 2
2.3 Представление конечных метрических пространств векторами расстояний
2.4 Векторы расстояний общих метрических пространств
2.5 Пространства общего положения и изометрии: случай ℳ
2.6 Алгебраическое завершение доказательства
Материалы курса 2020-2021 года (весенний семестр)"Метрическая геометрия: некоторые современные результаты."
17, 24 февраля 2021: Чикин Владимир. Связь непрерывности длин кривых и непрерывности расстояний в случае ограниченно компактных метрических пространств.
Видеозапись: Часть 1.
Часть 2.
3 марта 2021: Житная Марина. Шарнирные механизмы, реализующие геометрическую минимизацию.
10 марта 2021, 16:45: Липатов Степан. Отображения, сохраняющие структуру минимальных заполнений.
Видеозапись: Часть 1.
17 марта 2021, 16:45: Липатов Степан. Продолжение
Видеозапись: Часть 2.
17 марта 2021, 16:45: Галстян Арсен. Проблема Ферма-Штейнера в гиперпространствах: общая теория.
Видеозапись: Часть 1.
24 марта 2021, 16:45: Тропин Александр. Проблема Ферма-Штейнера в гиперпространстве над евклидовой плоскостью.
24 марта 2021, 18:30: Липатов Степан. Продолжение
Видеозапись докладов Тропина и Липатова.
31 марта 2021, 16:45: Тропин Александр. Проблема Ферма-Штейнера в гиперпространстве над евклидовой плоскостью (продолжение).
Видеозапись
31 марта 2021, 16:45: Галстян Арсен. Проблема Ферма-Штейнера в гиперпространствах: общая теория (продолжение).
Видеозапись
7 апреля 2021, 16:45: Тропин Александр. Проблема Ферма-Штейнера в гиперпространстве над евклидовой плоскостью (продолжение).
Видеозапись
7 апреля 2021, 18:30: Шербаков Олег. Выпуклые многогранники и Минимальные заполнения конечных метрических пространств.
Видеозапись
14 апреля 2021, 16:45: Ломоносовские чтения.
Харчева Ирина Сергеевна. Реализация топологических инвариантов интегрируемыми биллиардными книжками.
Щербаков Олег Сергеевич. Выпуклые многогранники бинарных деревьев.
14 апреля 2021, 18:30: Малышева Ольга. Модифицированное расстояние Громова-Хаусдорфа и геометрия пространства орбит действия группы изометрии.
Видеозапись
28 апреля 2021, 16:45: Борисова Ольга. Метрические сегменты в классе Громова-Хаусдорфа.
Видеозапись
5 мая 2021, 14:00: Михайлов Иван. Отображение Хаусдорфа.
Видеозапись
5 мая 2021, после окончания предыдущего доклада: Парамонова Дарья. Минимальные сети на тонких конусах.
Видеозапись
12 мая 2021, 16:45: Парамонова Дарья. Минимальные сети на тонких конусах (продолжение).
12 мая 2021, 18:30: Григорьев Дмитрий. Расстояние Громова-Хаусдорфа до симплексов произвольной мощности.
19 мая 2021, 16:45: Хачатуров Владимир. Стабилизация регулярных вложенных кривых в нормированных плоскостях.
19 мая 2021, 17:30: Лычагина Елена. Распознавание мощности метрического пространства с помощью расстояния Громова-Хаусдорфа до симплексов.
19 мая 2021, 18:30: Князев Дмитрий. Геометрия метрических пространств: точки запрета для одномерных экстремалей.
19 мая 2021, 19:15: Моллаев Джамбулат. Геометрия отображения раздутия элементов гиперпространства.
Видеозапись докладов Лычагиной, Князева и Моллаева
Материалы курса 2020 года (осенний семестр)"Конечные метрические пространства: геометрия, комбинаторика, оптимизация."
Лекции О.Р.Мусина. План лекций можно посмотреть здесь.
Тема 1. Лемма Шпернера: приложения и обобщения.
Видеозапись первой лекции О.Р.Мусина.
Тема 2. Пространства с двумя расстояниями.
Видеозапись второй лекции О.Р.Мусина.
Материал по теме 2:
Тема 3. Дискретный аналог теории Максвелла-Морса и ее применение для обработки изображений.
Видеозапись третьей лекции О.Р.Мусина.
Материал по теме 3:
Тема 4. Экстремальные конфигурации точек на сфере.
Видеозапись четвертой лекции О.Р.Мусина.
Материал по теме 4:
Тема 5. Гипотеза Римана, теорема Рамануджана и сверхизбыточные числа.
Видеозапись пятой лекции О.Р.Мусина.
Материал по теме 5:
Материалы курса 2019-2020 года (весенний семестр)"Геометрия пространств компактов с метриками Хаусдорфа и Громова–Хаусдорфа. Метрические тройки Громова."
Материалы курса 2019-2020 года (осенний семестр)"Геометрия пространств компактов с метриками Хаусдорфа и Громова–Хаусдорфа."
Материалы курса 2018-2019 года"Транспортная задача Канторовича и геометрия пространств вероятностных мер."
Материалы курса 2017-2018 года"Проблема Штейнера: подход геометрической теории меры."
Материалы курса 2016-2017 года"Элементы метрической геометрии и геометрической теории графов."
Материалы курса 2015-2016 года"Геометрическая теория меры. Введение."
Материалы курса 2014-2015 года"Метрическая геометрия и геометрическая теория графов."
Материалы курса 2013-2014 года
Вернуться к расписанию спецкурсов
|
|