DiffGeom Logo
 
О кафедре
История кафедры
Фотоальбом
Сотрудники
Наши студенты
Наши аспиранты
Научная работа
Научные достижения
Где работают наши выпускники
Международные и внутри-российские связи кафедры
Публикации
Наши книги
Наши статьи
Диссертации
Работы студентов
Студентам
Спецкурсы
Спецсеминары
Учебные материалы
Задачи для исследования
Олимпиада кафедры
Наглядная и компью­терная геометрия и топология
Геометрические сюжеты
Энциклопедические статьи
Задать вопрос


НАУЧНЫЕ ДОСТИЖЕНИЯ КАФЕДРЫ

Научные достижения сотрудников кафедры

Фоменко Анатолий Тимофеевич, академик Российской Академии Наук (РАН), действительный член РАЕН (Российской Академии Естественных Наук), действительный член МАН ВШ (Международной Академии Наук Высшей Школы), действительный член АТН РФ (Академии Технологических Наук Российской Федерации), доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой дифференциальной геометрии и приложений мех.-матем.ф-та Московского государственного университета. Решил известную проблему Плато в теории спектральных минимальных поверхностей. А именно, доказал, что в классе многомерных «поверхностей» с наперед заданной границей , параметризованных спектром многообразий с этой же границей, всегда существует глобально минимальная «поверхность» (то есть, образно говоря, многомерная стратифицированная «мыльная пленка» наименьшего объема). Далее, А.Т.Фоменко создал теорию тонкой классификации интегрируемых гамильтоновых динамических систем, открыл топологические инварианты таких систем, характеризующие их с точностью до лиувиллевой эквивалентности. Эти инварианты оказались эффективно вычислимыми и с их помощью, например, были обнаружены замечательные примеры интегрируемых систем, считавшихся ранее различными, но на самом деле, оказавшиеся топологически эквивалентными. Лауреат Государственной Премии Российской Федерации (в области математики) за цикл работ по теории инвариантов многообразий и гамильтоновых динамических систем. Лауреат премии Московского Математического Общества и лауреат премии Президиума АН СССР. Автор более 250 научных работ, 30 монографий и учебников, специалист в области геометрии и топологии, вариационного исчисления, теории минимальных поверхностей, симплектической топологии, гамильтоновой геометрии и механики, компьютерной геометрии. Выступал на Международных математических конгрессах и конференциях с пленарными докладами.

Иванов Александр Олегович, д.ф-м-н., профессор, является хорошо известным специалистом в теории топологических вариационных задач, разветвленных экстремалей одномерных вариационных задач, минимальных сетей, минимальных заполнений конечных метрических пространств, минимальных поверхностей, дифференциальной, дискретной и комбинаторной геометрии.

Научные интересы в настоящее время: геометрические оптимизационные задачи (минимальные сети, минимальные заполнения), дискретная геометрия (геометрия многогранников, геометрическая теория графов), метрическая геометрия (геометрия пространств Александрова, геометрия групп), компьютерная геометрия. В течение многих лет вместе с профессором А.А.Тужилиным руководит исследовательским семинаром по геометрии экстремальных сетей, руководит курсовыми, дипломными и диссертационными работами. Некоторые актуальные исследовательские задачи можно найти на сайте кафедры и Международной лаборатории Делоне.

А.О.Ивановым и А.А.Тужилиным опубликовано более 100 научных работ, в том числе три совместных монографии, посвященных теории разветвленных экстремалей. Они неоднократно выступали с докладами на международных конференциях. Они постоянно читают лекции и ведут занятия по основным предметам геометрического цикла на мех.-матем. ф-те МГУ, а также специальные курсы по метрической геометрии, геометрической теории графов, геометическим оптимизационным задачам.

А.О.Иванов много лет сотрудничает с кафедрой ФН12 «Математическое моделирование» МГТУ имени Н.Баумана, читает курс «Элементы дискретной математики» для специальности ИУ. В 2011-2013 годах руководил группой в Международной лаборатории Делоне. Также в 2012-2013 годах принимал участи в совметном проекте кафедры и ЗАО «Топ Системы» по разработке так называемого геометрического 3D ядра — коплекса программ для 3D автоматизированного проектирования и моелирования.

Тужилин Алексей Августинович, доктор физико-математических наук, профессор кафедры дифференциальной геометрии и приложений, заведующий Лабораторией компьютерных методов в естественных и гуманитарных науках, член Экспертного совета ВАК по математике и механике, член Ученого совета механико-математического факультета МГУ. Совместно с А.О.Ивановым создал новый раздел математики, изучающий разветвленные экстремали одномерных вариационных функционалов.

Основные научные результаты Тужилина А. А. (часть которых получена совместно с А.О.Ивановым): классификация плоских локально минимальных бинарных деревьев с выпуклой границей; описание локальной структуры локально минимальных сетей на римановых многообразиях; классификация замкнутых локально минимальных сетей на замкнутых поверхностях неотрицательной кривизны; ограничения на возможную топологию плоского локально минимального бинарного дерева в терминах количества уровней выпуклости его граничного множества; описание пространства локально минимальных сетей заданной топологии с данной границей в многомерном пространстве; построение теории разветвленных экстремалей функционалов типа Лагранжа; описание структуры экстремальных сетей на манхеттенской плоскости и в других нормированных пространствах; оценка на отношение Штейнера произвольного риманова многообразия в терминах отношения Штейнера евклидова пространства; вычисление отношения Штейнера плоских торов, плоских бутылок Клейна, проективной плоскости; изучение погруженных многоугольников, построение их диагональных триангуляций; описание счетных подмножеств метрического пространства, допускающих соединение деревом конечной длины; доказательство единственности кратчайшего дерева на евклидовой плоскости для граничных множеств общего положения; создание теории одномерных минимальных заполнений в смысле Громова; разработка техники стабилизации локально-минимальных деревьев, превращающей их в кратчайшие (совместно с А.Е.Мельниковой); описание ростков лунок ребер кратчайших сетей (совместно с О.А.Съединой).

За цикл работ по теории разветвленных экстремалей одномерных вариационных задач А.А.Тужилин (совместно с А.О.Ивановым) удостоен первой премии им.И.И.Шувалова 2001 года. Автор более 100 научных работ, 8 монографий и учебников, специалист в области геометрии и топологии, вариационного исчисления, метрической геометрии, теории экстремальных сетей, теории графов, компьютерной геометрии.

Носовский Глеб Владимирович, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры Дифференциальной геометрии и приложений на мех-мате МГУ. Специалист по компьютерной геометрии, стохастическому анализу на многообразиях, нелинейным дифференциальным уравнениям второго порядка типа Гамильтона-Якоби-Беллмана, уравнениям с дробным порядком дифференцирования, математической статистике, анализу данных, кластеризации. Один из авторов учебного пособия для ВУЗов «Компьютерная геометрия». Автор более 40 научных статей. Лауреат премии Тан Чин Туан (TanChinTuan) по прикладной математике (Сингапур, 2005). Автор теории нелинейных потенциалов для нелинейных уравнений типа Гамильтона-Якоби-Беллмана. Один из разработчиков адаптивного алгоритма кластеризации ADACLUS, а также современных алгоритмов склейки проективно преобразованных изображений при наличии возмущений .

Ильютко Денис Петрович, кандидат физико-математических наук, доцент механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.\,В.~Ломоносова. В теории вариационных задач получил геометрические критерии экстремальности сетей на нормированных плоскостях, обобщил совместно с И.\,М.~Никоновым формулу длины (формула Максвелла) на случай экстремальной сети в произвольном нормированном пространстве. В теории узлов совместно с В.\,О.~Мантуровым построил теорию граф-зацеплений (обобщение теории виртуальных узлов посредством обобщения гауссовых диаграмм и формальных движений на них, которые обобщают движения Рейдемейстера). На теорию граф-зацеплений обобщены многие классические инварианты зацеплений и построены новые. Автор около 25 научных работ, 1 монографии и 4 учебных пособий, специалист в области геометрии и топологии, вариационного исчисления, дискретной математики и компьютерной геометрии. Неоднократно выступал на Международных математических конференциях и школах с пленарными докладами.

Никонов Игорь Михайлович, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры дифференциальной геометрии и приложений на мех-мате МГУ. Вычислил ядро характера Чженя для аппроксимативно конечных С*-алгебр и алгебр Неймана. Построил спаривание для циклических гомологий алгебр Хопфа с коэффициентами. Предложил конструкцию эквивариантной К-теории с коэффициентами для алгебр Хопфа. Совместно с Ивановым А.О. и Тужилиным А.А. получил критерий затягиваемости бесконечного множества графом конечной длины. Совместно с Фоменко А.Т. и Кудрявцевой Е.А. получил ряд классификационных результатов для правильных карт на поверхностях. Построил конструкцию нечетных гомологий Хованова для граф-зацеплений. Классифицировал слабые четности для узлов и кривых на заданной двумерной поверхности. Автор более 20 научных работ, специалист в области некоммутативной геометрии, маломерной топологии и геометрии.


ПРЕМИИ, НАГРАДЫ И ПООЩРЕНИЯ.

  • Премия Московского математического общества, 1974 г. --- А.Т.Фоменко.
  • Премия Президиума Академии Наук СССР, 1987 г. – А.Т.Фоменко.
  • Государственная научная стипендия «Молодые ученые России» , 1995 г. -- А.В. Болсинов.
  • Государственная научная стипендия «Молодые ученые России» , 1995 г. -- А.А. Тужилин.
  • Государственная научная стипендия «Молодые ученые России» , 1995 г. -- А.И. Шафаревич.
  • Государственная премия РФ по науке и технике, 1996 г. -- А.Т. Фоменко (совместно с А.С. Мищенко).
  • Государственная научная стипендия «Выдающиеся ученые» , 1998 г. -- А.О. Иванов.
  • Премия им. И.И. Шувалова (МГУ), 2000 г. -- А.В. Болсинов.
  • Премия им. И.И. Шувалова I степени (МГУ), 2001 г. -- А.О. Иванов и А.А.Тужилин.
  • премия Тан Чин Туан (TanChinTuan) по прикладной математике (Сингапур, 2005) – Г.В.Носовский.
  • Стипендии Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова молодым преподавателям и научным сотрудникам, 2012 г. -- Д.П.Ильютко.
  • Первая премия за достижения в научно-исследовательской деятельности, способствующие решению задач Программы развития МГУ, 2016 г. –- А.И.Шафаревич.
  • Вторая премия за достижения в научно-исследовательской деятельности, способствующие решению задач Программы развития МГУ, 2016 г. –- А.Б.Жеглов.
  • Вторая премия за достижения в научно-исследовательской деятельности, способствующие решению задач Программы развития МГУ, 2016 г. –- Д.П.Ильютко.
  • Вторая премия за достижения в научно-исследовательской деятельности, способствующие решению задач Программы развития МГУ, 2016 г. –- И.К.Козлов.
  • Вторая премия за достижения в научно-исследовательской деятельности, способствующие решению задач Программы развития МГУ, 2016 г. –- И.М.Никонов.
  • Вторая премия за достижения в научно-исследовательской деятельности, способствующие решению задач Программы развития МГУ, 2016 г. –- А.А.Тужилин.
  • Третья премия за достижения в научно-исследовательской деятельности, способствующие решению задач Программы развития МГУ, 2016 г. –- Е.А.Кудрявцева.
  • Премия за достижения в преподавании и методической работе, способствующие решению задач Программы развития МГУ, 2016 г. –- А.О.Иванов.
  • Премия за достижения в преподавании и методической работе, способствующие решению задач Программы развития МГУ, 2016 г. –- А.А.Ошемков.
  • Премия за достижения в преподавании и методической работе, способствующие решению задач Программы развития МГУ, 2016 г. –- Ф.Ю.Попеленский.
  • Премия за достижения в преподавании и методической работе, способствующие решению задач Программы развития МГУ, 2016 г. –- А.Т.Фоменко.


Научные интересы сотрудников кафедры

Фоменко Анатолий Тимофеевич

Фоменко Анатолий Тимофеевич

Фоменко Анатолий Тимофеевич, дфмн, профессор, академик РАН, заведующий кафедрой . Научные интересы: Многомерное вариационное исчисление, минимальные поверхности, геометрическая теория групп и алгебр Ли, симплектическая геометрия и топология, гамильтоновы динамические системы. Новое научное направление – теория топологической классификации интегрируемых динамических систем и их симметрий. Построение инвариантов, описывающих топологический тип и группы симметрий особенностей (бифуркаций) функций, гладких отображений и векторных полей. Руководит курсовыми, дипломными и диссертационными работами. Некоторые темы см. например, на сайте, в разделе «Наши диссертации». Результаты, получаемые в том числе студентами и аспирантами, применяются в геометрии, топологии, в математической физике и теоретической механике.

Иванов Александр Олегович

Иванов Александр Олегович

Иванов Александр Олегович, дфмн, профессор, заместитель заведующего, ученый секретарь кафедры. Также руководит группой в Международной лаборатории им. Делоне. Научные интересы: геометрические оптимизационные задачи (минимальные сети, минимальные заполнения), дискретная геометрия (геометрия многогранников, геометрическая теория графов), метрическая геометрия (геометрия пространств Александрова, геометрия групп), компьютерная геометрия. В течение многих лет вместе с профессором А.А.Тужилиным руководит исследовательским семинаром по геометрии экстремальных сетей, руководит курсовыми, дипломными и диссертационными работами. Некоторые актуальные исследовательские задачи можно найти на сайте кафедры и лаборатории .

Тужилин Алексей Августинович

Тужилин Алексей Августинович

Тужилин Алексей Августинович, профессор, заведующий лабораторией компьютерной геометрии. Научные интересы: Вариационное исчисление, метрическая геометрия, теория экстремальных сетей, в частности, разветвленных геодезических, проблема Штейнера и ее обобщения, теория графов, компьютерная геометрия. Новое научное направление – теория минимальных заполнений в смысле Громова. Задачи такого типа, решаемые в том числе студентами и аспирантами, имеют приложения в геометрии и топологии, в транспортных задачах и проектировании микросхем, в биоинформатике и теории эволюции. Тематика развивается совместно с профессором А.О.Ивановым. На сайте кафедры размещен обновленный список некоторых интересных задач в этой области.

Шафаревич Андрей Игоревич

Шафаревич Андрей Игоревич

Шафаревич Андрей Игоревич, дфмн, профессор. Также руководит группой в Международной лаборатории им. Бернулли. Научные интересы: математическая физика, геометрическое и асимптотическое квантование, геометрическая и асимптотическая теория уравнений в частных производных, спектральная теория. Теория квазиклассического квантования инвариантных многообразий гамильтоновых систем. Квантование комплексных многообразий и многообразий с особенностями. Спектральная геометрия операторов с сингулярными коэффициентами и операторов на сингулярных пространствах. Асимптотическая теория нелинейных уравнений в частных производных. Руководит курсовыми, дипломными и диссертационными работами.

Ошемков Андрей Александрович

Ошемков Андрей Александрович

Ошемков Андрей Александрович, дфмн, профессор. Научные интересы: симплектическая и пуассонова геометрия, алгебры Ли, динамические системы, топология особенностей интегрируемых систем. Руководит студентами и аспирантами.

Болсинов Алексей Викторович

Болсинов Алексей Викторович

Болсинов Алексей Викторович, дфмн, профессор. Научные интересы: 1) Интегрируемые гамильтоновы системы: интегрируемые геодезические потоки, алгебраическая интегрируемость, топологические инвариантны интегрируемых систем, топологические препятствия интегрируемости, интегрируемые волчки в динамике твердого тела, согласованные пуассоновы структуры и бигамильтоновы системы. 2) Особенности: особенности отображения момента интегрируемых систем, их топологические и симплектические инварианты, алгоритмическая классификация, особенности лиувиллевых слоений. 3) Группы Ли и алгебры Ли: динамические системы на группах Ли и однородных пространствах, лиевы пучки, гамильтонова редукция, гамильтоновы системы на алгебрах Ли. 4) симплектическая геометрия и риманова геометрия.

Носовский Глеб Владимирович

Носовский Глеб Владимирович

Носовский Глеб Владимирович, кфмн, доцент. Научные интересы: Теория управления стохастическими процессами на многообразиях, нелинейные дифференциальные уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана, компьютерная геометрия, финансовая математика, прикладная статистика, анализ данных. См. подробнее на сайте кафедры.

Кудрявцева Елена Александровна

Кудрявцева Елена Александровна

Кудрявцева Елена Александровна, кфмн, доцент. Научные интересы: Теоретическая геофизика – задача Эйлера обращения годографа (т.е. нахождение зависимости скорости волны от глубины по зависимости времени пробега сейсмической волны в земле от расстояния между источником и приемником на поверхности земли) при наличии «волноводов» (зон пониженной скорости). Гамильтоновы системы – семейства периодических решений, теория возмущений, усреднение, быстрые и медленные переменные, небесная механика (задача n тел типа планетной системы со спутниками), магнитные поля, инварианты симплектоморфизмов и магнитных полей. Интегрируемые гамильтоновы системы – устойчивые инварианты топологической сопряженности, аналог теоремы Лиувилля для систем с неполными потоками, связь с многоугольниками Ньютона. Маломерная топология – минимизация числа точек пересечения и совпадения (теория Нильсена) на поверхностях, абсолютная степень отображений, квадратные уравнения в свободных группах, подгруппы фундаментальных групп поверхностей, реализация неразложимых разветвленных накрытий между поверхностями (задача Гурвица). Особенности гладких функций, параметрическая теория Морса (топология и стратификация пространств функций с заданными особенностями) на поверхностях. Руководит студентами и аспирантами.

Попеленский Федор Юрьевич

Попеленский Федор Юрьевич

Попеленский Федор Юрьевич, кфмн, доцент. Научные интересы: алгебраическая топология, гомологическая алгебра, некоммутативная геометрия, К-теория, компьютерная геометрия, динамические системы.

Ильютко Денис Петрович

Ильютко Денис Петрович

Ильютко Денис Петрович, кфмн, доцент. Работает на кафедре с 2003 года и с 2011 года в должности доцента. В 2005 году защитил кандидатскую диссертацию «Геометрия локально минимальных и экстремальных сетей в нормированных пространствах» по специальности 01.01.04. Научные интересы: вариационные задачи, в частности проблема Штейнера; маломерная топология и теория узлов; дискретная математика; компьютерная геометрия.

Никонов Игорь Михайлович

Никонов Игорь Михайлович

Никонов Игорь Михайлович, кфмн, доцент. Научные интересы: некоммутативная геометрия, вариационное исчисление и маломерная топология. Изучение некоммутативных характеристических классов. Исследование комбинаторных инвариантов узлов. Определение геометрических свойств экстремальных сетей в нормированных пространствах. Для решения подобных задач привлекаются средства геометрии, топологии, алгебры и комбинаторики.

Жеглов Александр Борисович

Жеглов Александр Борисович

Жеглов Александр Борисович, кфмн, доцент. Научные интересы: Исследования в области алгебры, алгебраической геометрии, алгебраической теории чисел и их приложениях к теории гамильтоновых динамических систем. Одно из актуальных направлений исследований – развитие и обобщение теории, связанной с решениями уравнения Кадомцева-Петвиашвили.

Шарыгин Георгий Игоревич

Шарыгин Георгий Игоревич

Шарыгин Георгий Игоревич,кфмн, доцент. Научные интересы: Некоммутативная геометрия, К-теория (топологическая и С*-алгебр), характеристические классы векторных расслоений и других объектов. Циклические и хохшильдовы гомологии и когомологии, их вариации и применения. Деформационное квантование, формальность, высшие гомотопические операции, операды.

Коняев Андрей Юрьевич

Коняев Андрей Юрьевич

Коняев Андрей Юрьевич, кфмн, ассистент. Научные интересы: Алгебра и геометрия интегрируемых систем, алгебры Ли, пуассонова и бигамильтонова геометрии. Вопросы глобального строения симплектических слоений. Классификация алгебр Ли с орбитами малой размерности, дискриминант спектральной кривой и бифуркационная диаграмма отображения момента на классических комплексных алгебрах Ли.

Козлов Иван Константинович

Козлов Иван Константинович

Козлов Иван Константинович, кфмн, ассистент. Научные интересы: симплектическая геометрия, интегрируемые гамильтоновы системы.

Толченников Антон Александрович

Толченников Антон Александрович

Толченников Антон Александрович, кфмн, ассистент. Научные интересы: спектральные свойства операторов на декорированных графах и асимптотическая теория уравнений в частных производных.

Ведюшкина (Фокичева) Виктория Викторовна

Ведюшкина (Фокичева) Виктория Викторовна

Ведюшкина (Фокичева) Виктория Викторовна, кфмн, ассистент. Научные интересы: теории математического биллиарда, интегрируемые гамильтоновы системы.

Романова Светлана Владимировна

Романова Светлана Владимировна

Романова Светлана Владимировна, учебный мастер. Ведет большую организационную на кафедре (16 этаж, комната 1619 главного здания МГУ).

ПОДРОБНЕЕ ОБ ОСНОВНЫХ НАУЧНЫХ ДОСТИЖЕНИЯХ КАФЕДРЫ.

Симплектическая геометрия и топология. Динамические системы. Теория классификации интегрируемых дифференциальных уравнений в гамильтоновой физике и механике, приложения к теории групп и алгебр Ли (А.Т.Фоменко, А.В.Болсинов, А.А.Ошемков, Е.А.Кудрявцева, В.В.Трофимов, А.Б.Жеглов, А.Ю.Коняев, А.М.Изосимов).

Результаты А.Т.Фоменко, его учеников и коллег.

Открыты и развиты новые качественные методы исследования интегрируемых гамильтоновых систем. Хорошо известно, что многие системы дифференциальных уравнений в физике, геометрии и механике, описывающие совершенно различные явления, тем не менее, тесно связаны, «похожи». Изучению таких связей (изоморфизмов разного рода) между динамическими системами традиционно посвящалось много работ. Упомянем здесь лишь некоторых авторов, например, С.Смейла, Дж.Марсдена, Ю.Мозера, М.Адлера, П.ван Мербеке, Х.Кноррера, Л.Гаврилова, В.В.Козлова и др. В первую очередь речь идет о следующих трех хорошо известных отношениях эквивалентности между динамическими системами: сопряженность, траекторная эквивалентность (непрерывная и гладкая) и лиувиллева эквивалентность (для интегрируемых систем).

Напомним, что две гладкие динамические системы называются топологически (гладко) сопряженными, если существует гомеоморфизм (диффеоморфизм) между многообразиями, на которых заданы эти системы, переводящий системы друг в друга. Другими словами, такие системы совершенно идентичны, переходят друг в друга в результате некоторой замены переменных, причем с сохранением параметра времени на траекториях.

При траекторной эквивалентности гомеоморфизм (диффеоморфизм) переводит траектории первой системы в траектории второй системы, но не обязательно сохраняет время на траекториях.

Лиувиллева эквивалентность возникает для гамильтоновых систем, интегрируемых по Лиувиллю. То есть таких, у которых существует полный набор коммутирующих независимых интегралов (другими словами, находящихся в инволюции относительно скобки Пуассона, имеющейся на симплектических многообразиях). Согласно теореме Лиувилля, совместные компактные регулярные связные поверхности таких интегралов являются торами, именуемыми торами Лиувилля. Они расслаивают симплектическое многообразие (фазовое пространство системы) на торы Лиувилля (размерность которых равна половине размерности многообразия), а также, возможно, на некоторые особые (сингулярные) слои. Возникающее слоение называется слоением Лиувилля. Слоями общего положения здесь являются торы Лиувилля. Две динамические системы считаются лиувиллево эквивалентными, если их фазовые пространства одинаковым образом расслоены на торы Лиувилля. Более точно, если существует гомеоморфизм (диффеоморфизм) одного многообразия на другое, переводящий слоение Лиувилля в слоение Лиувилля, то есть переводящий торы - в торы, а особые слои - в особые слои.

Вопрос о классификации динамических систем в смысле указанных отношений эквивалентности является классическим. Например, изучению топологии слоений Лиувилля посвящались многочисленные работы С.Смейла, М.П.Харламова, Т.И.Погосяна, Я.В.Татаринова, Р.Кушмана, Л.Бейтс, Х.Кноррера, М.Оден, Л.Гаврилова и др.

Школой академика А.Т.Фоменко было получено решение задачи лиувиллевой и траекторной классификации для одного из важнейших классов динамических систем, а именно, для невырожденных интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. В основе этой классификации лежит новый подход в качественной теории интегрирования систем, предложенный А.Т.Фоменко, и построенная затем им совместно с Х.Цишангом, С.В.Матвеевым, А.В.Болсиновым, А.А.Ошемковым теория топологической классификации таких систем.

А.Т.Фоменко предложил сопоставлять каждой интегрируемой гамильтоновой системе в качестве ее топологического инварианта некоторый граф $W$, названный им «молекулой системы». При этом вершинами молекулы являются «атомы», изображающие бифуркации (перестройки) слоения Лиувилля, отвечающие особым слоям. С помощью этого инварианта удалось полностью описать структуру расслоения изоэнергетического 3-мерного многообразия (то есть 3-многообразия постоянной энергии) на инвариантные двумерные торы Лиувилля и тем самым классифицировать системы с двумя степенями свободы в смысле лиувиллевой эквивалентности [1]. Оказалось, что для этого необходимо снабдить граф некоторым набором числовых меток. Такой оснащенный граф $W^*$ был назван «меченой молекулой» интегрируемой системы. Это - инвариант Фоменко-Цишанга. Затем был рассмотрен класс $(H)$ всех компактных 3-многообразий, являющихся изоэнергетическими 3-многообразиями интегрируемых невырожденных гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Оказалось, что этот класс совпадает с другим известным классом $(W)$ 3-многообразий, а именно с многообразиями Вальдхаузена, то есть $(H)=(W)$. В 1996 году этот цикл работ А.Т. Фоменко был удостоен Государственной Премии Российской Федерации.

Молекулу $W^*$ естественно рассматривать как портрет интегрируемой системы. В случае траекторной эквивалентности пришлось решать более деликатную проблему. Нужно было научиться полностью описывать слоение изоэнергетического 3-многообразия системы на траектории (а не только на лиувиллевы торы) и классифицировать системы с точностью до траекторной эквивалентности. Для этого «портрет системы» $W^*$ следовало сделать более подробным, дополнив его новыми, уже траекторными инвариантами. Эта задача в случае топологической (непрерывной) траекторной эквивалентности была успешно решена А.Т. Фоменко и А.В.Болсиновым, а для еще более сложного случая гладкой траекторной эквивалентности - А.В. Болсиновым. См. [2],[3],[4],[5].

В настоящее время эти исследования по топологии интегрируемых систем активно развиваются как в России, так и за рубежом. В частности, были описаны топологические портреты и дана лиувиллева и траекторная классификация многих конкретных физических и механических интегрируемых систем с двумя степенями свободы. Укажем здесь на работы Е.А. Аношкиной, Ю.А. Браилова, В.В. Калашникова (мл.), В.В. Корнеева, Н.В. Коровиной, Б.С. Кругликова, Е.А. Кудрявцевой, В.О. Мантурова, В.С. Матвеева, П.В. Морозова, Т.З. Нгуена, О.Е. Орел, А.А. Ошемкова, Л.С. Поляковой, Е.Н. Селивановой, Е.Я. Татариновой, П. Топалова, В.В. Трофимова, П. Рихтера, Х. Дуллина, А.Виттека, П.В.Морозова, А.Ю.Москвина, Д.В.Новикова, Н.С.Славиной (Логачевой), С.С.Николаенко и многих других.

Затем школой А.Т. Фоменко были разработаны методы вычисления инвариантов интегрируемых гамильтоновых систем, что позволило дать топологическую классификацию многих случаев интегрируемости, известных в математической физике, механике, геометрии. Разработаны приемы построения бифуркационной диаграммы отображения момента, проверки невырожденности интегрируемой системы (так называемой боттовости системы), способы определения типов бифуркаций и, наконец, созданы методы вычисления «меченых молекул» интегрируемых систем. Некоторые из перечисленных способов анализа гамильтоновых систем носят алгоритмический характер и работают во многих случаях. В частности, они были реализованы на компьютерах. Напротив, некоторые приемы, ввиду их нетривиальности, нуждаются в отдельном анализе каждой индивидуальной интегрируемой системы.

Создана теория лиувиллевой и траекторной классификации интегрируемых геодезических потоков на двумерных римановых поверхностях малого рода. Здесь нужно напомнить, что аналитические интегрируемые геодезические потоки существуют лишь на 2-поверхностях небольшого рода, а именно, для рода 0 и 1. Итак, для поверхностей рода 0 и 1 были описаны метрики, геодезические потоки которых интегрируемы при помощи линейных и квадратичных интегралов. Получены как локальная, так и глобальная классификация интегрируемых геодезических потоков на поверхностях, гомеоморфных тору, бутылке Клейна, сфере, проективной плоскости.

Далее, подробно изучена топология лиувиллевых слоений в классических интегрируемых случаях динамики тяжелого твердого тела в трехмерном пространстве (и некоторые ее обобщения). В частности, получена топологическая классификация интегрируемых систем следующих типов: Эйлера, Лагранжа, Ковалевской, Жуковского, Горячева - Чаплыгина - Сретенского, Клебша, Стеклова, систем типа четырехмерного твердого тела. Получен полный список молекул, встречающихся в основных интегрируемых случаях динамики твердого тела.

В качестве одного из приложений теории топологической классификации интегрируемых систем были открыты неожиданные изоморфизмы между интегрируемыми системами различной природы. Например, А.В. Болсинов и А.Т. Фоменко обнаружили, что известная задача Якоби о геодезических на эллипсоиде и случай Эйлера в динамике твердого тела лиувиллево и даже непрерывно траекторно эквивалентны. Другими словами, имеется гомеоморфизм, переводящий интегральные траектории геодезического потока трехосного эллипсоида в интегральные траектории системы Эйлера в динамике твердого тела (при этом время вдоль траекторий не сохраняется). В то же время оказалось, что с гладкой точки зрения эти две известные системы все-таки различны. А именно, было обнаружено, что указанный выше гомеоморфизм нельзя заменить на диффеоморфизм. То есть задача Якоби и задача Эйлера не являются гладко траекторно эквивалентными.

Теория топологической классификации интегрируемых систем достаточно неожиданно пересеклась с теорией гиперболических 3-многообразий. Напомним, что многообразие называется гиперболическим, если на нем задана риманова метрика постоянной отрицательной секционной кривизны. Можно считать, что она равна -1. Объем такого многообразия (подсчитанный относительно указанной метрики) называется гиперболическим объемом. Особый интерес представляют гиперболические многообразия конечного гиперболического объема, в первую очередь, компактные гиперболические многообразия. Хорошо известно, что двумерные гиперболические поверхности топологически классифицируются своей площадью, то есть две такие поверхности гомеоморфны в том и только в том случае, когда их площади («двумерные гиперболические объемы») совпадают. В трехмерном случае ситуация более сложная. Можно рассмотреть отображение, сопоставляющее полному гиперболическому 3-многообразию с конечным объемом его гиперболический объем. В результате получается множество точек (чисел) на вещественной оси. Йоргенсон и Громов доказали, что множество объемов всех полных гиперболических 3-многообразий вполне упорядочено и имеет тип $\omega^\omega$. Причем, существует лишь конечное число различных гиперболических 3-многообразий с одинаковых объемом. Таким образом, оказалось, что объем гиперболических 3-многообразий является «почти полным инвариантом», то есть различает гиперболические многообразия с точностью до конечного числа возможностей. В связи с этим подсчет гиперболических объем превратился в интересную задачу, которой посвящено много работ (Терстон, Адамс, Викс и др.). В частности, несомненный интерес представляет проблема обнаружения гиперболического многообразия наименьшего объема (известно, что он положителен). В. Терстон выдвинул гипотезу, что некоторое, указанное им конкретное гиперболическое 3-многообразие $Q$ имеет наименьший возможный объем, причем этот объем примерно равен $0,98139$.

С.В. Матвеев и А.Т. Фоменко подошли к этой проблеме с другой стороны, скомбинировав построенную С.В. Матвеевым теорию сложности 3-многообразий и созданную А.Т. Фоменко теорию топологической классификации интегрируемых систем. Сложность (по Матвееву) является целым числом $d(M)$, в значительной степени описывающим топологию 3-многообразия $M$. А именно, сложность многообразия $M$ это - число вершин минимального (в смысле числа вершин) почти специального спайна многообразия $M$.

Важным обстоятельством является то, что для любого неотрицательного целого числа $k$ существует лишь конечное число различных (то есть не гомеоморфных) замкнутых неприводимых 3-многообразий сложности $k$. Следовательно, неприводимые замкнутые 3-многообразия можно упорядочить в порядке возрастания их сложности. Далее выяснилось, что в классе $(H)$ 3-многообразий (то есть являющихся изоэнергетическими 3-многообразиями интегрируемых систем, см. выше) нет гиперболических многообразий. Потом было выяснено, что все неприводимые замкнутые 3-многообразия малой сложности принадлежат классу $(H)$, то есть «в зоне малой сложности» нет гиперболических многообразий. Более точно, доказано следующее: каждое замкнутое неприводимое 3-многообразие сложности, не превышающей восьми, принадлежит классу $(H)$.

Таким образом, лишь начиная со сложности 9 можно было ожидать первого появления гиперболических многообразий (в классе всех 3-многообразий, упорядоченных по возрастанию сложности). И действительно, как обнаружили С.В. Матвеев и А.Т. Фоменко, среди многообразий сложности 9 действительно есть два компактных гиперболических многообразия $Q$ и $D$. Первое из них оказалось известным ранее многообразием, предложенным Терстоном в качестве «кандидата на звание« гиперболического многообразия наименьшего объема. Второе многообразие оказалось новым. Причем, его объем оказался меньше объема многообразия $Q$, а именно, $vol(D)=0,94272...$. Это же многообразие $D$ независимо было обнаружено Виксом. Следовательно, возник новый кандидат на «звание» компактного гиперболического 3-многообразия наименьшего объема. А именно, согласно гипотезе, сформулированной С.В. Матвевым и А.Т. Фоменко, таковым является многообразие $D$. Эта гипотеза С.В. Матвеева и А.Т. Фоменко была доказана лишь недавно. В частности, следует подчеркнуть, что многообразия $Q$ и $D$ появились как два самых первых гиперболических многообразия в «списке« всех неприводимых 3-многообразий, упорядоченных по росту их сложности. Все остальные гиперболические многообразия, обнаруженные вплоть до последнего времени в результате обширных компьютерных экспериментов, проводимых как в России, так и за рубежом, следуют за многообразиями $Q$ и $D$ в смысле их сложности, а также имеют бо'льшие гиперболические объемы. Но поскольку тут речь идет компьютерных вычислениях, строго математически поставленная проблема остается пока открытой.

  1. Фоменко А.Т. Симплектическая топология вполне интегрируемых гамильтоновых систем// УМН. 1989. т.44, вып.1 (265), с.145-173.
  2. А.В.Болсинов, А.Т.Фоменко. Введение в топологию интегрируемых гамильтоновых систем. - Москва, Наука, 1997.
  3. Болсинов А.В. Гладкая траекторная классификация интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы// Матем. сборник, 1995, т.186, No. 1. с.3-28.
  4. А.В.Болсинов, А.Т.Фоменко. Геометрия и топология интегрируемых геодезических потоков на поверхностях. - Москва, УРСС, 1999. В серии «Библиотека RC Dynamics. Регулярная и хаотическая динамика», том. 2.
  5. А.В.Болсинов, А.Т.Фоменко. Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия. Топология. Классификация. Тома 1 и 2. - Издательский дом «Удмуртский университет», Ижевск, 1999.
  6. Матвеев С.В., Фоменко А.Т. Изоэнергетические поверхности гамильтоновых систем, перечисление трехмерных многообразий в порядке возрастания их сложности и вычисление объемов замкнутых гиперболических многообразий// УМН, 1988, т.43, вып.1 (259), с.5-22.

Результаты А.В. Болсинова и его соавторов

Пусть $\{ , \}_0$ и $\{ , \}_1$ --- пара согласованных скобок Пуассона. Предположим, что векторное поле $v$ бигамильтоново, т.е. гамильтоново относительно каждой нетривиальной линейной комбинации $\lambda \{ , \}_0+\mu \{ , \}_1$. Тогда функция Казимира скобки $\lambda \{ , \}_0+\mu \{ , \}_1$ является первым интегралом поля $v$. Вопрос, возникающий довольно часто, состоит в том, чтобы выяснить, гарантируют ли такие интегралы полную интегрируемость по Лиувиллю векторного поля $v$. В работах А.В. Болсинова [2,3] доказан критерий, позволяющий эффективно отвечать на этот вопрос. В частных случаях этот критерий дает необходимые и достаточные условия полной интегрируемости многих гамильтоновых систем на алгебрах Ли.

Пусть $\dot x=v(x)$ --- интегрируемая гамильтонова система с $n$ степенями свободы. Согласно теореме Лиувилля, фазовое пространство этой системы расслоено на инвариантные торы размерности $n$. Это слоение имеет, однако, особенности в тех точках, где первые интегралы становятся зависимыми. Для изучения глобальных свойств системы (как, например, типов бифуркаций торов Лиувилля) нужно уметь описывать и классифицировать эти особенности. Результат работы А.В. Болсинова [4] --- топологическая классификация особенностей типа седло-седло для интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы в случае, когда особый слой содержит 2 особые точки (такая ситуация довольно часто встречается в приложениях). Было показано, что существует 39 типов таких особенностей.

Рассмотрим ограничение интегрируемой гамильтоновой системы $\dot x=v(x)$ на уровень постоянной энергии $Q=\{H=const\}$, где $H$ --- гамильтониан поля $v$. В случае двух степеней свободы этот уровень имеет размерность 3. Топологическая структура слоения $Q$ на двумерные инвариантные торы полностью описывается инвариантом Фоменко--Цишанга. В работах А.В. Болсинова [4, 19] предложен метод для вычисления этого инварианта, в качестве приложения этот инвариант вычислен для всех значений энергии интегрируемого случая Ковалевской.

В теории интегрируемых гамильтоновых систем в геометрии есть два вопроса, ставших уже классическими:

  1. Какие гладкие компактные многообразия допускают интегрируемые геодезические потоки?
  2. Каковы топологические препятствия интегрируемости геодезических потоков?
Классические примеры многообразий с интегрируемыми геодезическими потоками --- это сфера и тор. В размерности 2 других ориентируемых поверхностей с таким свойством не существует, если метрика и первый интеграл предполагаются вещественно аналитическими (теорема Козлова). Известно также, что существуют интегрируемые геодезические потоки на компактных группах Ли (Фоменко, Мищенко), симметрических пространствах (Тимм, Мищенко, Браилов), на некоторых однородных пространствах (Тимм, Микитюк, Степин, Патернайн, Спатцер, Батлер) и на отдельных неоднородных многообразиях (Патернайн, Спатцер, Базайкин). А.В. Болсинов и Б. Йованович [21] доказали, что на самом деле все однородные пространства $G/H$ так же как двойные частные $K\backslash G/H$ компактной группы Ли $G$ допускают интегрируемые геодезические потоки.

В работах [17,18] А.В. Болсинов и И.А. Тайманов построили примеры интегрируемых геодезических потоков с положительной топологической энтропией. Хотя фазовое пространство в этих примерах расслоено почти всюду на инвариантные торы с квазипериодической динамикой, существует сингулярный слой, на котором динамика хаотична. Эти примеры, в частности, показывают, что положительная топологическая энтропия не может рассматриваться как препятствие интегрируемости.

Две римановых метрики $g$ и $g'$ на многообразии $M$ называются проективно эквивалентными, если они имеют одинаковые геодезические. Известно, что в такой ситуации их геодезические потоки оказываются часто вполне интегрируемыми. В [20] приводится новое условие необходимое и достаточное для того, чтобы две данные метрики были проективно эквивалентны и показывается, что их геодезические потоки всегда являются бигамильтоновыми.

  1. Болсинов А.В. Критерий полноты семейства функций в инволюции, построенного методом сдвига аргумента // Доклады АН СССР. --- 1988. --- т. 301 (5). --- с. 1037--1040.
  2. Болсинов А.В. Согласованные скобки Пуассона на алгебрах Ли и полнота семейства функций в инволюции // Известия АН СССР. Сер. матем. --- 1991. --- т. 55, N 1. --- c. 69--89.
  3. Bolsinov A.V. Commutative families of functions related to consistent Poisson brackets // Acta Applicandae Mathematicae. --- 1991. --- v. 24. --- p. 253--274.
  4. Bolsinov A.V. Methods of calculation of Fomenko--Zieschang topological invariant // Adv. in Sov. math. --- 1991. --- v. 6. --- p. 147--183.
  5. Болсинов А.В., Федоров Ю.Н. Многомерные интегрируемые обобщения систем Стеклова--Ляпунова // Вестник МГУ. Серия 1. --- 1992. --- N. 6. --- c. 53--56.
  6. Болсинов А.В., Фоменко А.Т. Траекторная эквивалентность интегрируемых систем с двумя степенями свободы. Теорема классификации. I, II // Матем. сборник. --- 1994. --- Т. 185, N. 4.--- с.27-80. --- N. 5. --- с. 27-78.
  7. Болсинов А.В., Фоменко А.Т. Интегрируемые геодезические потоки на сфере, порожденные системами Горячева-Чаплыгина и Ковалевской в динамике твердого тела. // Матем. заметки --- 1994. --- Т. 56. --- Вып. 2.--- с. 139-142.
  8. Болсинов А.В. Гладкая траекторная классификация интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы// Матем. сборник. --- 1995. --- Т. 186. --- Вып. 1. --- с. 3--28.
  9. Болсинов А.В., Козлов В.В., Фоменко А.Т. Принцип Мопертюи и геодезические потоки, возникающие из интегрируемых случаев динамики твердого тела // Успехи матем. наук --- 1995. --- Т. 50 --- Вып. 3. --- с. 3--32.
  10. Болсинов А.В., Фоменко А.Т. Траекторная классификация геодезических потоков двумерных эллипсоидов. Задача Якоби траекторно эквивалентна интегрируемому случаю Эйлера в динамике твердого тела // Функц. анализ и его прилож. --- 1995. --- Т. 29. --- Вып. 3. --- с. 1--15.
  11. Bolsinov A.V., Dullin H., Wittek A. Topology of energy surfaces and existence of transversal Poincar\'e sections // J. Phys. A: Math. Gen. --- 1996. --- Vol. 29. --- pp.4977--4985.
  12. Болсинов А.В. Дуллин Х. О случае Эйлера в динамике твердого тела и задаче Якоби // Регулярная и хаотическая динамика. --- 1997. --- T. 2, вып. 1. --- с. 13--25.
  13. Болсинов А.В. Инварианты Фоменко в теории интегрируемых гамильтоновых систем // Успехи матем. наук. --- 1997. --- T. 52, вып. 5(317). --- с. 113--132.
  14. Bolsinov A.V. Multidimensional Euler and Clebsch cases and Lie pencils// In book: Tensor and Vector Analysis. Gordon and Breach Science Publ., Amsterdam, 1998, pp.25--30.
  15. Болсинов А.В., Матвеев В.С., Фоменко А.Т. Двумерные римановы метрики с интегрируемым геодезическим потоком. Локальная и глобальная геометрия// Матем. сборник, 1998, Т. 189, n.5, с. 5--30.
  16. Bolsinov A.V., Borisov A.V., Mamaev I.S. Lie algebras in vortex dynamics and celestial mechanics --- IV // Regular and Chaotic Dynamics, 4(1999) No. 1, pp. 23--50.
  17. Bolsinov A. V., Taimanov I. A. Integrable geodesic flows with positive topological entropy// Invent. Math., 2000, Vol. 140, pp. 639--650.
  18. Болсинов А.В., Тайманов И.А. Интегрируемые геодезические потоки на надстройках автоморфизмов торов// Труды МИРАН, 2000, Т. 231, с. 46--63.
  19. Болсинов А.В., Рихтер П., Фоменко А.Т. Метод круговых молекул и топология случая Ковалевской// Матем. сборник, 2000, Т. 191, вып. 2, с. 3--42.
  20. Bolsinov A. V., Matveev V.S. Benenti systems and projective equivalence// Preprintserie der Mathematischen Fakultät, Universität Freiburg, 2001, No. 01-11.
  21. Bolsinov A. V., Jovanovic B. Integrability, moment map and geodesic flows// Preprintserie der Mathematischen Fakultät, Universität Freiburg, 2001, No. 01-09.
  22. Болсинов А.В., Йованович Б. Интегрируемые геодезические потоки на однородных пространствах. Матем. сборник, 2001.

Результаты А.А. Ошемкова и его учеников

А.А.Ошемковым были вычислены топологические инварианты и доказана боттовость интегралов для основных классических случаев интегрируемости в динамике твердого тела (случаи Эйлера, Лагранжа, Жуковского, Ковалевской, Горячева--Чаплыгина, Клебша, Стеклова) и некоторых их обобщений (см. [1--3]).

Одна из основных задач, возникающих при изучении топологии интегрируемой гамильтоновой системы --- исследование ее особенностей, т.е. множества точек, где интегралы зависимы. На отдельной неособой изоэнергетической поверхности интегрируемой гамильтоновой системы с двумя степенями свободы множество таких точек есть объединение критических окружностей дополнительного интеграла. Критические уровни дополнительного интеграла, содержащие эти окружности, могут быть устроены достаточно сложно, но их классификация, а также классификация перестроек торов Лиувилля при прохождении этих критических уровней была получена в работах А.Т.Фоменко (см. выше). Если же рассматривать все 4-мерное фазовое пространство интегрируемой гамильтоновой системы, то множество точек, где интегралы зависимы, является двумерным комплексом. При некоторых естественных предположениях о невырожденности особенностей системы (обобщение условия боттовости интеграла) этот комплекс $K$ является объединением двумерных погруженных подмногообразий, пересекающихся (или самопересекающихся) трансверсально.

В работе А.А.Ошемкова [5] описаны некоторые топологические свойства этого «комплекса особенностей» $K$. Структура комплекса $K$ такова, что с помощью симплектической формы можно определить каноническую ориентацию на его двумерных компонентах. Кроме того, симплектическая форма определяет ориентацию на всем 4-мерном фазовом пространстве. Это позволяет рассматривать класс гомологий $[K]$ как сумму классов гомологий, определяемых компонентами комплекса $K$. В работе [5] доказано, что класс гомологий $[K]$ двойственен по Пуанкаре первому классу Чженя $c_1(M)$ фазового пространства $M$, где $c_1(M)$ вычисляется для некоторой почти комплексной структуры $J$ на $M$, согласованной с симплектической формой (можно показать, что класс $c_1(M)$ не зависит от выбора такой структуры $J$). Кроме того, в работе [5] описаны некоторые другие топологические свойства комплекса $K$. Например, получены соотношения, связывающие эйлеровы характеристики двумерных компонент комплекса $K$ и фазового пространства $M$.

Некоторые другие результаты были получены А.А.Ошемковым в связи с комбинаторным (алгоритмическим) перечислением различных инвариантов динамических систем. В работе [4] было введено понятие $f$-графа (это граф, все вершины которого имеют степень 3, а часть ребер ориентирована, причем для каждой вершины имеется ровно одно «входящее» и ровно одно «выходящее» ребро). Как оказалось, с помощью $f$-графов удобно описывать перестройки торов Лиувилля интегрируемых гамильтоновых систем, а также легко реализовать алгоритм перечисления таких перестроек.

Затем $f$-графы были использованы в работе [6] для классификации потоков Морса--Смейла на двумерных многообразиях. Следует отметить, что классификация таких потоков была проведена ранее в работах М.Пейксото, но там были обнаружены неточности, что и послужило одним из поводов для написания статьи [6].

Некоторое обобщение понятия $f$-графа было также использовано для алгоритмического перечисления особенностей ранга $0$ интегрируемых гамильтоновых систем, т.е. для топологической классификации инвариантных окрестностей точек, являющихся (невырожденными) положениями равновесия системы (см. [7]).

Еще одно приложение теории топологической классификации было реализовано в работе [8]. В этой работе рассматривается задача о движении точки по стандартной двумерной сфере в поле двух притягивающих центров. Эта задача является аналогом классической задачи двух центров на плоскости, проинтегрированной Эйлером. В работе [8] проведен топологический анализ задачи двух центров на сфере. В частности, описана некоторая регуляризация системы, позволяющая применить методы теории топологической классификации для исследования (регуляризованной) системы, и вычислены инварианты Фоменко--Цишанга. Отметим, что некоторые из этих инвариантов не встречались в исследованных ранее интегрируемых задачах механики и физики.

  1. Ошемков А.А., Топология изоэнергетических поверхностей и бифуркационные диаграммы для некоторых интегрируемых случаев динамики твердого тела на $so(4)$ // Успехи матем. наук, 1987, Т.42, Вып.6, С.199--2OO.
  2. Ошемков А.А. Описание изоэнергетических поверхностей для некоторых интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы // Труды семинара по вект. и тенз. анализу, Т.23, М.: МГУ, 1988, С.122--131.
  3. Ошемков А.А., Вычисление инвариантов Фоменко для основных интегрируемых случаев динамики твердого тела // Труды семинара по вект. и тенз. анализу, Т.25, М.: МГУ, 1993, С.23--109.
  4. Ошемков А.А., Функции Морса на двумерных поверхностях. Кодирование особенностей // Труды МИРАН, Т.205, С.131--140, М.: Наука, 1994.
  5. Ошемков А.А., О топологической структуре множества особенностей интегрируемых гамильтоновых систем // В кн.: «Топологические методы в теории гамильтоновых систем» Москва, «Факториал», 1998, С.272--287.
  6. Ошемков А.А., Шарко В.В., О классификации потоков Морса--Смейла на двумерных многообразиях // Матем. Сборник, 1998, Т.189, No.8, С.93--140.
  7. Матвеев В.С., Ошемков А.А., Алгоритмическая классификация инвариантных окрестностей точек типа «седло-седло» // Вестник МГУ, Сер.1, Математика. Механика,1999, No.2, С.62-65.
  8. Возмищева Т.Г., Ошемков А.А., Топологический анализ задачи двух центров на сфере // Матем. Сборник, 2002, Т.193.

Результаты В.В. Трофимова

В.В. Трофимовым создал новый метод построения вполне интегрируемых гамильтоновых систем на тензорных расширениях алгебр Ли. В качестве приложения этой методики найдены новые примеры вполне интегрируемых гамильтоновых систем. Доказана полная интегрируемость ранее известных уравнений, обобщающих на многомерный случай конечномерные аналоги уравнений магнитной гидродинамики.

В.В. Трофимов разработал эффективный метод построения коммутативных наборов функций по цепочкам подалгебр.Предположим, что $H$ -- подалгебра Ли в алгебре Ли $G$. Имеет место естественная проекция $\pi:G^*\to H^*$, которая определяется ограничением линейных функционалов, $\pi(h)=h|_H$. В этом случае функции, заданные на $H^*$, можно поднимать на $G^*$; точнее, если $F$ -- гладкая функция на $H^*$, то определена функция $\pi^*F=F\circ\pi$, которая называется подъемом функции $F$ на $G^*$.

Если гладкие функции $f,g$ на $H$ находятся в инволюции на всех орбитах представления $Ad^*$, то из подъемы $\pi^*f$, $\pi^*g$ на $G^*$ находятся в инволюции на всех орбитах коприсоединенного представления $Ad^*$ группы Ли $P$, отвечающей алгебре Ли $G$.

Предположим, что $H\subset G$, $f$ -- инвариант коприсоединенного представления $Ad^*(P)$, а $g$ -- подъем функции с $H^*$. Тогда $f$ и $g$ находятся в инволюции на всех орбитах коприсоединенного представления группы Ли $P$, отвечающей алгебре Ли $G$.

Пусть $H$ и $G$ -- такие алгебры Ли6 что $H\subset G^\prime$, где $G^\prime$ -- производная алгебра Ли и $f$ -- полуинвариант представления $Ad^*(P)$. Если $\partial g/\partial x_\alpha=0$, то $\{f,g\}=0$ на всех орбитах коприсоединенного представления $Ad^*(P)$, $P$ отвечает $G$.

Итак, по каждой цепочке подалгебр $H_s\subset\dots\subset H_1\subset G$ в алгебре ли $G$ можно строить функции в инволюции на $G^*$, используя достаточно большой запас функций в инволюции на $H_s^*$, например полученных с помощью сдвигов инвариантов, и на каждом шаге добавляя инварианты коприсоединенного представления группы Ли $Q_i$, отвечающей алгебре Ли $H_i$. Если выполняется условие $H_s\subset H_{s-1}^\prime\subset H_{s-1}\subset\dots\subset H_1^\prime\subset H_1\subset G^\prime\subset G$, то на каждом шаге можно добавлять полуинварианты. Оказывается, эту конструкцию можно обобщить: на каждом шаге можно добавлять не только полуинварианты, но и функции из некоторых представлений.

Простейший вариант конструкции В.В. Трофимова получается в том случае, когда $H_s\subset G$ -- максимальная абелева подалгебра в $G^\prime\subset G$. В качестве инвариантов абелевой подалгебры $H_s$ можно взять любой ее элемент, рассматриваемый как функция на дуальном пространстве $H_S^*$. Вообще говоря, инвариантов максимальной абелевой подалгебры не хватает для построения вполне интегрируемых систем, и приходится использовать несколько подалгебр.

Итог исследования подводит следующая
Теорема (В.В. Трофимов) Пусть дана пара алгебр Ли $(K,L)$, $L\subset K$. Тогда, если функции $f,g$ на $L^*$ находятся в инволюции на всех орбитах представления $Ad^*(T)$, где $T$ -- группа Ли, отвечающая алгебре Ли $L$, то подъемы $\tilde f,\tilde g$ функций $f,g$ находятся в инволюции на всех орбитах представления $Ad^*S$, где $S$ -- группа Ли, отвечающая алгебре Ли $K$, и $\tilde f=f\circ\pi$, $\tilde g=g\circ\pi$, $\pi:K^*\to L^*$ -- отображение ограничения; если $f$ -- инвариант коприсоединенного представления группы Ли $S$ и $\tilde g$ -- подъем функции $g$, то $\{f,\tilde g\}=0$ на всех орбитах представления $Ad^*(S)$; если цепочка $L\subset K$, что $L\subset K^\prime\subset K$, $f$ -- полуинвариант представления $Ad^*(S)$ и $\tilde g$ -- подъем функции $g$, то $\{f,\tilde g\}=0$ на всех орбитах коприсоединенного представления $Ad^*(S)$ группы Ли $S$.

Эта методика является обобщением конструкции М. Вернь. В ее работе для построения глобальных симплектических координат на орбитах максимальной размерности представления $Ad^*$ в нильпотентной алгебре Ли использовались цепочки идеалов $G_1\subset\dots\subset G$ такие, что $\operatorname{dim} G_i/G_{i-1}=1$ и инварианты представления $Ad^*(P_i)$ ($P_i$ -- группа Ли, отвечающая алгебре Ли $G_i$), $i=1,\dots, \operatorname{dim}G$, поднимались с помощью естественной проекции $\pi:G^*\to G_i^*$ на $G^*$, что давало требуемые координаты.

Метод тензорных расширений алгебр Ли был впервые предложен В.В. Трофимовым, а затем развит А.В. Браиловым и Ле Нгок Тьеуеном. Пусть $A$ -- коммутативная конечномерная ассоциативная алгебра с единицей. Тензорное произведение $G\otimes A$ алгебры Ли $G$ и $A$ является алгеброй Ли относительно коммутатора $[g\otimes a,h\otimes b]=[g,h]\otimes ab$, $g,h\in G$, $a,b\in A$. Вопрос, который здесь возникает, состоит в том, чтобы, зная полное инволютивное семейство функций на пространстве $G^*$, построить полное инволютивное семейство функций на пространстве $(G\otimes A)^*$. Впервые эта задача изучалась в работах В.В. Трофимова для алгебр $A=R[x_1,\dots,x_n]/(x_1^{m_1+1},\dots, x_n^{m_n+1})$, где $R[x_1,\dots,x_n]$ -- кольцо многочленов от переменных $x_1,\dots,x_n$ а $(x_1^{m_1+1},\dots, x_n^{m_n+1})$ -- идеал, натянутый на $x_1^{m_1+1},\dots, x_n^{m_n+1}$. Затем эта задача рассматривалась А.В.Браиловым для алгебр с двойственностью Пуанкаре.

Рассмотрим случай кольца $A=R[x_1,\dots,x_n]/(x_1^{m_1+1},\dots, x_n^{m_n+1})$. Пусть $\epsilon_i$ обозначает образ элемента $x_i$ в кольце $A$ при естественном отображении $\pi:R[x_1,\dots,x_n]\to A$, т.е. $\epsilon_i=\pi(x_i)$, а $e_1,\dots,e_r$ -- базис алгебры Ли $G$. Тогда векторы $\epsilon_1^{\alpha_1}\dots\epsilon_n^{\alpha_n}e_j$, $0\leq j\leq r,0\leq\alpha_i\leq m_i$, $1\leq i\leq n$, образуют базис алгебры Ли $G\otimes A$. Дуальный базис в $G^*$ обозначим $e^i$. Координаты в пространстве $G\otimes A$ в базисе, дуальном к $\epsilon_1^{\alpha_1}\dots\epsilon_n^{\alpha_n}e_j$, $0\leq j\leq r,0\leq\alpha_i\leq m_i$, $1\leq i\leq n$, обозначим $x(\alpha_1,\dots,\alpha_n)$, а координаты в $G^*$ в базисе, дуальном к $e_i$, обозначим $x_i$. Введем в пространстве $G\otimes A$ новые переменные $$ z_i=\sum_{\alpha_j+\beta_j=m_j,1\leq j\leq n} \epsilon_1^{\alpha_1}\dots\epsilon_n^{\alpha_n}x(\beta_1,\dots,\beta_n). $$

Алгоритм $(t)$ В.В. Трофимова. Пусть $F$ -- аналитическая функция на пространстве $G^*$ (или на открытом подмножестве в $G^*$) со значениями в $\Bbb R$. Раскладывая $F$ в ряд Тейлора и подставляя вместо $x_i$ выражения для $z_i$, получим конечную сумму, т.к. достаточно высокие степени элементов $\epsilon_i$ равны нулю. Итак, $F$ -- корректно определенная функция на пространстве $(G\otimes A)^*$ со значениями в кольце $A$; ее можно представить в виде $$ F(z_1,\dots,z_n)=\sum_{\alpha_j+\beta_j=m_j,1\leq j\leq n} \epsilon_1^{\alpha_1}\dots\epsilon_n^{\alpha_n}F_{\alpha_1,\dots,\alpha_n}( x(\beta_1,\dots,\beta_n)_i), $$ где $F_{\alpha_1,\dots,\alpha_n}(x(\beta_1,\dots,\beta_n)_i)\in\Bbb R$. Алгоритм $(t)$ по определению будет переводить функцию $F$ на пространстве $G^*$ в набор функций $F_{\alpha_1,\dots,\alpha_n}$.

Теорема (В.В. Трофимов) Пусть функции $F_1(x),\dots,F_N(x)$, определенные на пространстве $G^*$, находятся в инволюции относительно формы Кириллова на всех орбитах коприсоединенного представления группы Ли $P$, ассоциированной с алгеброй Ли $G$. Тогда все функции $(t)(F_1)\cup\dots\cup(t)(F_N)$ на выходе алгоритма $(t)$ находятся в инволюции относительно формы Кириллова на всех орбитах коприсоединенного представления группы Ли $P\otimes A$, ассоциированной с алгеброй Ли $G\otimes A$. При этом, если $F_1,\dots,F_N$ функционально независимы на пространстве $G^*$, то все функции семейства $(t)(F_1)\cup\dots\cup(t)(F_N)$ функционально независимы на пространстве $(G\otimes A)^*$. Если $F_1,\dots,F_N$ --- полный набор, то $(t)(F_1)\cup\dots\cup(t)(F_N)$ --- также полный набор.

В.В. Трофимовым было также построено обобщение известных классов Маслова, изучены свойства обобщенных классов Маслова различных геометрических структур. Исследованы вполне интегрируемые системы с нетривиальными обобщенными классами Маслова на орбитах коприсоединенного представления групп Ли малых размерностей.

  1. В.В. Трофимов. Уравнения Эйлера на борелевских подалгебрах полупростых алгебр Ли. Изв. АН СССР, сер. мат., 1979, т. 43, 3, 160 -- 174.
  2. В.В. Трофимов. Уравнения Эйлера на конечномерных разрешимых группах Ли. Изв. АН СССР, сер. мат., 1980, т. 44, 5, 1191 -- 1199.
  3. В.В. Трофимов. Конечномерные представления алгебр Ли и вполне интегрируемые системы. Мат. сб., 1980, т. 11, 4, 610 -- 621.
  4. В.В. Трофимов. Вполне интегрируемые геодезические потоки левоинвариантных метрик на группах Ли, связанные с коммутативными градуированными алгебрами с двойственностью Пуанкаре. ДАН СССР, 1982, т. 263, 4, 812 -- 816.
  5. В.В. Трофимов. Расширения алгебр Ли и гамильтоновы системы. Изв. АН СССР, сер. мат., 1983, т. 47, 6, 1303 -- 1321.
  6. В.В. Трофимов. Методика построения $S$-представлений. Вестн. МГУ, сер.1, математика, механика, 1984, 1, 3 -- 9.
  7. В.В. Трофимов. Группа голономии и обобщенные классы Маслова подмногообразий в пространствах аффинной связности. Мат. Заметки, 1991, 49, 2, 113 - 123.
  8. В.В. Трофимов. Индекс Маслова лагранжевых подмногообразий симплектических многообразий. Тр. семинара по векторному и тензорному анализу, 1988, 23, 190 - 194.
  9. В.В. Трофимов. Симплектические связности, индекс Маслова и гипотеза Фоменко. ДАН СССР, 1989, 304, 6, 1302 - 1305.
  10. В.В. Трофимов. введение в геометрию многообразий с симметриями. М.: Изд-во МГУ, 1989.

Результаты Е.А. Кудрявцевой

Периодические решения гамильтоновых систем и планетные системы со спутниками.

Рассмотрим гамильтонову систему с гамильтонианом $H$, называемую далее невозмущенной. Пусть $\Lambda$ -- гладкое инвариантное подмногообразие фазового пространства, лежащее на регулярной изоэнергетической поверхности $H^{-1}(h)$ и сплошь заполненное замкнутыми траекториями системы. Пусть $\tilde H$ -- функция, $C^2$-близкая к $H$, т.е. полученная из $H$ малым возмущением. При указанном возмущении системы подмногообразие замкнутых траекторий, вообще говоря, распадается, но вместо него появляется некоторое число замкнутых траекторий, про которые можно сказать, что они выжили после возмущения. Возникает вопрос: каково минимальное число таких траекторий, где они будут расположены, какие из них будут устойчивы?

Нижние оценки для числа периодических решений возмущенных систем получили А.Пуанкаре (1899), Дж.Риб (1952), F.B.Fuller (1967), J.Moser (1970, 1976), A.Weinstein (1973, 1977, 1978, 1986), В.И. Арнольд (1974), Красинский (1973), M.Bottkol (1977). Наиболее общим является результат А.Вейнстейна (1978), где предполагается, что $\Lambda$ компактно и на нем задано локально-свободное действие окружности $S^1$, все орбиты которого являются замкнутыми траекториями невозмущенной системы и что $\Lambda$ невырождено (условие типа боттовости). Вейнстейн доказал, что в этом случае число замкнутых траекторий возмущенной системы, лежащих на изоэнергетической поверхности $\tilde H^{-1}(h)$, не меньше, чем минимальное число критических орбит $S^1$-инвариантной функции на $\Lambda$.

Е.А. Кудрявцева дала новое, более геометрическое и простое, доказательство теоремы Вейнстейна, аналогичное доказательству Ботткола (1977) и опирающееся на классическую теорему о неявной функции. Она доказала также обобщения теоремы Вейнстейна для следующих двух задач -- 1) когда $\Lambda$ содержит, вообще говоря, точки покоя, и 2) когда гамильтониан и симплектическая структура имеют вид $H_1(p_1,q_1)+\varepsilon H_2(p_1,p_2,q_1,q_2, \varepsilon)$ и $dp_1\wedge dq_1+\varepsilon dp_2\wedge dq_2$ (такая ситуация возникает в задачах, описывающих системы с «быстрыми» и «медленными» переменными; соответствующий результат применим, например, в задаче о планетной системе со спутниками).

Функции высоты на поверхностях.

В 1998 г. Е.А. Кудрявцева доказала критерий, дающий ответ на следующий естественный вопрос. Какие гладкие функции на замкнутых поверхностях $S$, с конечным числом критических точек, можно или нельзя реализовать в виде функций высоты при погружении поверхности в евклидово трехмерное пространство ${\Bbb R}^3$? Нетрудно показать, что окрестность $f^{-1}[c-\epsilon ,c+\epsilon ]$ критического уровня $c$ функции Морса $f$ всегда можно так погрузить в ${\Bbb R}^3$, что функция $f$ на нем превратится в функцию высоты. Препятствия появляются только тогда, когда требуется решить задачу в целом, т.е. представить заданную функцию $f$ как функцию высоты сразу на всей двумерной замкнутой поверхности $M_g$ рода $g$. Критерий Е.А. Кудрявцевой состоит в следующем: если поверхность $S$ ориентируема, то функция $f$ на $S$ с критическими точками $x_1,\dots,x_n$ является функцией высоты в том и только том случае, когда существуют $\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n\in\{1,-1\}$, такие, что $\varepsilon_1c_1+\dots+\varepsilon_nc_n=0$, где $c_i$ -- индекс точки $x_i$. Если $S$ неориентируема, то функция $f$ всегда является функцией высоты.

Топологический тип пространства функций Морса на поверхностях.

С.В.Матвеев (1998), В.В. Шарко (1998) и Х. Цишанг доказали разными способами, что пространство функций Морса с фиксированными точками локальных минимумов и локальных максимумов и произвольными седловыми точками на замкнутой поверхности $S$ связно. Ю. Бурман исследовал пространство $\tilde F$ гладких функций без критических точек на открытой поверхности $S$ и построил биекцию $\pi_0(\tilde F)\to H^1(M,\partial M;{\Bbb Z})$.

М. Басманова и Е. Кудрявцева исследовали топологию пространства $F$ функций Морса с фиксированными множествами $\{x_1,\dots,x_p\}$, $\{y_1,\dots,y_q\}$, $\{z_1,\dots,z_r\}$ локальных минимумов, локальных максимумов и седловых точек на замкнутой поверхности $S$. Они доказали (2002), в частности, что $F$ не является связным и что инвариант Бурмана не различает все компоненты связности пространства $F$. При этом они опирались на теорию А.Т. Фоменко (1975) о послойной эквивалентности функций Морса на поверхностях.

Обозначим через $G$ пространство диффеоморфизмов $S$, оставляющих неподвижной каждую точку $\{x_i,y_j,z_k\}$ и сохраняющих локальные ориентации $S$ в этих точках. Диффеоморфизм $h\in G$ назовем допустимым для $f$, если для некоторых $f_i\in F$ и $h_i\in G$, $h_1\ldots h_N$ принадлежит компоненте связности $h$ в $G$, $f_i$ принадлежит компоненте связности $f$ в $F$, и $f_i=f_ih_i$. Обозначим через $A_f$ пространство допустимых диффеоморфизмов для $f$. Две функции назовем подобными, если они имеют одни и те же связные компоненты линий уровня, и одно и то же направление роста. Если $f\in F$ подобна $gh$ для некоторого $h\in G$ (соотв. $h\in A_f$, или $h$ гомотопно в $G$ тождественному отображению), то функции $f,g$ называются послойно эквивалентными (соотв. допустимо послойно эквивалентными, послойно изотопными). Отображение $\tilde K\to K$ между полиэдрами называется обобщенным разветвленным накрытием, если локально оно является отображением «на», и его ограничение на каждую клетку является изоморфизмом клеток.

М. Басманова и Е. Кудрявцева доказали (2002), что пространство $F$ имеет слабый гомотопический тип $(r-1)$-мерного полиэдра $\tilde K$, где $r$ -- число седел. При этом группа $G$ действует на $\tilde K$ автоморфизмами полиедра, так что фактор-пространства $\tilde K$ по $G$ и по действию допустимыми диффеоморфизмами являются $(r-1)$-мерными полиэдрами $K$ и $K'$, где $K$ конечен и связен. При этом клетки $\tilde K$ (соотв. $K'$, $K$) находятся во взаимно-однозначном соответствии с классами послойной изотопности (соотв.\ допустимой послойной эквивалентности, послойной эквивалентности в $F$. Проекция $K'\to K$ является регулярным накрытием, а проекция $\tilde K\to K'$ -- обобщенным разветвленным накрытием, индуцирующим биекцию $\pi_0(\tilde K) \to \pi_0(K')$.

Устойчивые топологические инварианты интегрируемых гамильтоновых систем.

В теории А.Т.Фоменко и А.В. Болсинова (1994) топологической классификации интегрируемых гамильтоновых систем на поверхностях построен полный инвариант топологической сопряженности систем (здесь две системы называются сопряженными, если существует гомеоморфизм, переводящий фазовый поток одной системы в фазовый поток другой системы). Инвариантом является «молекула», на ребрах и вершинах которой поставлены числовые метки. При этом сама молекула является полным инвариантом топологической траекторной эквивалентности систем (здесь системы считаются эквивалентными, если существует диффеоморфизм, переводящий траектории в траектории без сохранения параметра на них). При этом метки гладким образом зависят от системы в классе систем с фиксированной молекулой; эти метки и образуют систему топологических инвариантов. Однако при малом возмущении системы молекула может качественно измениться -- некоторые ее атомы распадутся и тем самым увеличится число ее атомов и ребер, а значит, изменится число меток -- топологических инвариантов. Более того, при возмущении происходит бифуркация топологических инвариантов – метки на атомах «превращаются» в метки на ребрах, т.е.\ меняется качественная природа меток. Возникает вопрос: есть ли связь между метками на молекулах до и после возмущения. Иными словами: есть ли «устойчивые топологические инварианты», т.е.\ инварианты, которые «не замечают» бифуркации – они непрерывно зависят от системы, хотя их природа меняется? С этим связан также вопрос: могут ли топологически несопряженные системы стать сопряженными при сколь угодно малом возмущении?

Е.А. Кудрявцева обнаружила связь между устойчивостью инвариантов и топологией атома, распадающегося при рассматриваемом возмущении. Если атом плоский, то устойчивых инвариантов нет, и любые две системы на этом атоме можно сделать топологически сопряженными при подходящих возмущениях. В то же время, Е.А. Кудрявцева описала две серии атомов, для которых есть устойчивые инварианты: для атомов одного типа («бициклических» атомов) она построила устойчивый $m$-инвариант, а для атомов другого типа -- устойчивый $\Lambda$-инвариант. Кроме того, она показала, что для атомов малой сложности ($\le 3$) нет других устойчивых инвариантов.

При этом оказалось, что устойчивость обнаруженных инвариантов имеет место лишь по отношению к специальным типам возмущений атома: при возмущениях другого типа свойство устойчивости инварианта пропадает. Ю.А. Браилов и Е.А. Кудрявцева (1999) доказали, что максимально симметричные атомы и только они обладают максимальным набором устойчивых (бициклических) $m$-инвариантов, т.е. таким набором инвариантов, что для любого типа возмущения атома существует инвариант набора, который является устойчивым по отношению к возмущениям этого типа. Тем самым, для почти любой пары систем на таких атомах, эти системы нельзя сделать топологически сопряженными ни при каких достаточно малых возмущениях.

Кривые на поверхностях и комбинаторная теория групп.

В разных областях топологии и алгебры возник интерес к так называемым нормальным автоморфизмам групп, т.е. автоморфизмам, которые переводят любую нормальную подгруппу в себя. В частности, внутренние автоморфизмы являются нормальными. Магнус показал, что любой нормальный автоморфизм свободной группы является внутренним. Богопольский, Кудрявцева и Цишанг (2002) получили такой же результат для фундаментальных групп поверхностей, отличных от тора и бутылки Клейна (в обоих этих случаях фактор-группа группы нормальных автоморфизмов по внутренним изоморфна ${\Bbb Z}_2$). Методы доказательства -- геометрические, и связаны с теорией минимизации числа точек (само)-пересечения кривых на поверхностях.

  1. Кудрявцева Е.А., Устойчивые топологические и гладкие инварианты сопряженности гамильтоновых систем на поверхностях. В книге: Топологические методы в теории гамильтоновых систем. М., Факториал, 1998. C. 147-202.
  2. Kudryavtseva E.A., Generalization of geometric Poincare theorem for small perturbations. Regular and Chaotic Dynamics, 1998. V. 3, No. 2, p. 46-66.
  3. Кудрявцева Е.А., Реализация гладких функций на поверхностях в виде функций высоты. Мат. сборник, 1999. Т.190, No.3, с.29-88.

Результаты А.Ю.Жеглова

Результаты А.Б.Жеглова связаны с развитием различных аспектов арифметической теории многомерных локальных полей и их приложениями к задачам алгебры, геометрии, а в последнее время в основном к задачам из теории интегрируемых систем.

Локальные поля естетственно возникают в алгебраической геометрии и алгебраической теории чисел при установлении различных связей между локальными и глобальными свойствами полей алгебраических чисел, арифметических схем и алгебраических многообразий.

Первоначально примеры одномерных локальных полей возникли в прошлом веке в комплексном анализе и алгебраической теории чисел. Это поле рядов Лорана ${\bf C}((z))$, элементы которого возникают при разложении мероморфных функций на Римановой поверхности в ряд по локальному параметру $z$ в аналитической окрестности точки, и поле $p$-адических чисел ${\mathbb Q}_p$, возникающее как естественное пополнение поля рациональных чисел ${\mathbb Q}$ по неархимедову $p$-адическому нормированию.

Несколько позже, уже в тридцатых годах нашего века, появились уже и первые примеры локальных тел. Это были конечномерные тела над классическими локальными полями, которые были полностью исследованы Хассе, Брауэром, Нетер и Албертом. К этому же периоду относятся работы Витта о телах над полными дискретно нормированными полями, положившие начало исследованиям по телам над гензелевыми полями, основные результаты о структуре которых были получены сравнительно недавно Джекобом-Уодствортом. Витту же принадлежит идея естественного сопоставления телам алгеброгеометрических объектов.

В середине 70-x А.Н. Паршиным было предложено понятие многомерного локального поля, обобщающее понятие обычного локального поля. $n$-мерным локальным полем называется полное поле дискретного нормирования, полем вычетов которого является $n-1$-мерное локальное поле.

Один из типичных примеров такого поля --- это поле итерированных рядов Лорана $k((z_1))((z_2)) \ldots ((z_n))$. Элементы $z_1, \ldots, z_n$ называются локальными параметрами этого поля. Такие поля служат естественным обобщением локальных объектов на 1-мерных схемах на случай многомерных схем. При помощи $n$-мерных локальных полей, ассоциированных с полными флагами на многообразиях, были обобщены со случая кривых на случай высших размерностей классическая формула о равенстве нулю суммы вычетов рациональной дифференциальной формы, классический закон взаимности Вейля на кривой.

В последние 25 лет развитие и применение методов локальных полей происходило еще в одном направлении. Это применение в алгебраической геометрии и теории интегрируемых систем, связанные с соответствием Кричевера-Сато-Вилсона на кривой, которое помогло установить связь между решениями одного известного уравнения математической физики --- уравнения Кадомцева-Петвиашвили (КП) --- коммутативными подкольцами в кольце дифференциальных операторов и некоторыми алгебро-геометрическими данными. Найденная связь помогла решить проблему Шоттки выделения якобианов алгебраических кривых среди торов, а также старую проблему классификации коммутативных подколец в кольце дифференциальных операторов.

В недавних работaх А.Н.Паршина были развиты идеи, заложенные в соответствии Кричевера-Сато-Вилсона для кривых, на случай многообразий высшей размерности в духе теории многомерных локальных полей. В них, в частности, было обобщено понятие многомерного локального поля и предложено классифицировать такие объекты. Там же были сделаны первые шаги в этом направлении.

В качестве основополагающего примера в этих работах было кольцо псевдодифференциальных операторов, играющее важную роль при решении иерархии КП, a в качестве первых примеров многомерных локальных тел были рассмотрены тела псевдодифференциальных операторов от нескольких переменных.

Ряд работ А.Б.Жеглова был посвящен исследованию многомерных локальных тел. В частности, была получена классификация расщепимых локальных тел с коммутативным телом вычетов с точностью до непрерывного автоморфизма с случае тел нулевой характеристики. В случае тел положительной характеристики вопрос о классификации остается открытым, однако, в этом случае были получены новые результаты о строении группы Брауэра над полями лорановских рядов с произвольным полем вычетов. В частности, удалось доказать гипотезу М.Артина о равенстве экспоненты и индекса для тел над $C_2$-полями, в случае тел над полями, указанными выше. Стоит отметить, что в общем случае гипотеза остается открытой и представляет большой интерес среди специалистов, занимающихся алгебраической теорией чисел и К-теорией. Недавно она была доказана М.Артиным и А.Де Йонгом в еще одном важном случае тел над полями функций рационально связных алгебраических поверхностей над алгебраически замкнутыми полями.

Для некоторых тел из списка классификации были выведены новые уравнения, обобщающие уравнение КП. Их физический смысл пока неясен.

В существующем обобщении соответствия Кричевера, предложенном А.Н.Паршиным и Д.В.Осиповым, определена конструкция, сопоставляющая обобщенному набору геометрических данных на $n$-мерном алгебраическом многообразии подпространство в $n$-мерном локальном поле. Эта конструкция дает гипотетическое обобщение части соответствия Кричевера между геометрическими данными и точками грассманиана. Стоит отметить, что построение искомого грассманиана даже для двумерного поля является сложной и пока нерешенной задачей. Она интересна специалистам из разных областей математики.

Многомерные иерархии КП возникают естественным образом при попытке обобщения классической алгебраической теории Сато уравнений КП в высшие размерности. Они были введены А.Н.Паршиным по аналогии с одномерным случаем как динамические системы на некотором бесконечномерном многообразии. B двумерном случае имеет смысл рассматривать различные подсистемы обобщенной иерархии, для которых оказывается возможным доказать разрешимость задачи Коши и построить явные формальные решения. Доказательство разрешимости и явные решения получаются в результате обобщения разложения Биркгофа, предложенного в статье М.Муласе, где в свое время этим методом была доказана разрешимость задачи Коши и построены явные решения обычной и супер иерархий КП. Этому посвящены работы [9], [10] А.Б.Жеглова.

Связь некоторых решений обобщенных иерархий КП и геометрических данных, обобщающих данные на алгебраических поверхностях, описана в совместных работах А.Б.Жеглова с Д.В.Осиповым и H.Kurke, см. [7], [11]-[13].

Обобщение классификации колец коммутирующих обыкновенных дифференциальных операторов в терминах геометрических данных и в терминах точек бесконечномерного грассманиана было предложено в работе А.Б.Жеглова [14]. Это обобщение классифицирует все подкольца коммутирующих операторов (удовлетворяющих некоторым слабым условиям) в пополненном кольце дифференциальных операторов от двух переменных. Некоторые необходимые условия на геометрические данные, описывающие кольца коммутирующих дифференциальных операторов в частных производных, приведены в работе А.Б.Жеглова с Д.В.Осиповым и H.Kurke [16].

Стоит отметить, что дальнейшие исследования в этом направлении представляют особый интерес, так как могут привести к решению ряда задач из разных областей, прежде всего --- задач, аналогичных задачам, решенным в одномерном случае, упоминавшихся выше, а также к нахождению новых нетривиальных уравнений в частных производных, имеющих явные решения, и решению некоторых проблем из теории интегрируемых систем (конечномерных и бесконечномерных). При этом используются знания и методы из многих областей математики, таких как алгебраическая геометрия, теория диф. уравнений, дифференциальная алгебра, теория представлений, К-теория, и т. д.

Еще одна задача, которая входит в сферу интересов А.Б.Жеглова --- описание возможных топологических типов вещественных трехмерных многообразий, возникающих как поверхности уровней интегралов интегрируемых систем. К решению этой задачи стало возможно применять разные сильные результаты из алгебраической геометрии после серии интересных работ Я.Коллара о гипотезе Нэша.

  1. A. B. Zheglov, On a structure of two-dimensional local skew fields , Izv. Ross. Akad. Nauk, 1, 2001, pp. 25-61, in russian, English transl. in Izvestiya: Mathematics {\bf 65:1} (2001) 23-55
  2. A. B. Zheglov, On a classification of two-dimensional local skew fields, Usp. Matem. Nauk, v. 54, 4, 1999, pp. 169-170.
  3. A. B. Zheglov, On a classification of two-dimensional local skew fields II, Usp. Matem. Nauk, v. 55, 6, 2000, pp. 135-136.
  4. A. B. Zheglov, On a classification of automorphisms of a two-dimensional local field, preprint, $\rm$ 12, 2000, 32 p., in russian, published as a part of the thesis in http://edoc.hu-berlin.de/browsing/dissertationen/, in english
  5. A. B. Zheglov, Higher local skew-fields, in Proceedings of Muenster's conference «Invitation to higher local fields«,Part II, section 8 , Geometry and Topology Monographs, Warwick, Vol. 3, 2000, 281-292; math.NT/0012158
  6. A. B. Zheglov, On wild division algebras over fields of power series, Mat. Sb., {\bf 195:6} (2004), 21-56; English transl. in Sb. Math. {\bf 195:6} (2004), 783-817.
  7. Zheglov A. B., Osipov D. V., On some questions related to the Krichever correspondence, Matematicheskie Zametki, n. 4 (81), 2007, pp. 528-539 (in Russian); english translation in Mathematical Notes, 2007, Vol. 81, No. 4, pp. 467-476; see also e-print arXiv:math/0610364 [math.AG].
  8. H.Kurke, A.Martin-Pizarro, A.Zheglov, I.Zhukov, Motivic integration: seminar talks, preprint, 2005, 34p.
  9. A. B. Zheglov, Solvability of the 2-dimensional KP systems, preprint of Humboldt University, $\rm$ 12, 2003, 18p., http://www.mathematik.hu-berlin.de/publ/pre/2003/M-03-12.html
  10. A. B. Zheglov, Two dimensional KP systems and their solvability, preprint of Humboldt University, $\rm$ 4, 2005, 42p., \\ http://www.mathematik.hu-berlin.de/publ/pre/2005/M-05-04.html
  11. A.B. Zheglov, D.V. Osipov, Higher KP-hierarchies and punctured ribbons, in «Modern problems of mathematics and mechanics. Volume III «Mathematics«. Issue 2 «Geometry and topology«. Edited by A.T. Fomenko, Moscow State University, 2009, pp. 15-35 (in Russian).
  12. Herbert Kurke, Denis Osipov, Alexander Zheglov, Formal punctured ribbons and two-dimensional local fields, Journal f\«ur die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal). Volume 2009, Issue 629, Pages 133 - 170, see also e-print \mbox{arXiv:0708.0985 [math.AG].}
  13. Herbert Kurke, Denis Osipov, Alexander Zheglov, Formal groups arising from formal punctured ribbons, International Journal of Mathematics, Volume: 21, Issue: 6 (2010) pp. 755-797, see also e-print arXiv:0901.1607 [math.AG].
  14. Zheglov A.B., On rings of commuting partial differential operators, St.-Petersburg Math. J., 25, no. 5 , 2013, 86-145; e-print arXiv:1106.0765v4
  15. Zheglov A.B., Mironov A.E., Baker-Akhieser modules, Krichever sheaves and commutative rings of partial differential operators, Fareast Math. J., Vol. 12 (1), 2012 (in Russian)
  16. Kurke H., Osipov D., Zheglov A., Commuting differential operators and higher-dimensional algebraic varieties, Oberwolfach Preprint Series, 2, 2012, \\ http://www.mfo.de/scientific-programme/publications/owp , e-print arXiv:1211.0976

Алгебраическая топология, теория многообразий малой размерности, теория топологических инвариантов (гомологий и когомологий) с симметриями (Ю.П.Соловьев, Ф.Ю.Попеленский,И.М.Никонов, Г.И.Шарыгин)

Первый крупный цикл работ Ю.П.Соловьев выполнил во второй половине 70-х годов. Эти работы были посвящены доказательству гипотезы о высших сигнатурах для широкого класса гладких многообразий. Эта гипотеза состоит в следующем. С каждым замкнутым гладким многообразием $M$ с фундаментальной группой $\pi=\pi_1(M)$ можно связать семейство характеристических чисел вида $$ \sigma_x(M)=\langle L(M)f^*(x),[M]\rangle,$$ где $f:\pi_x(M)\to B\pi$ --- характеристическое отображение для фундаментальной группы, $x\in H^*(B\pi,Q)$ --- некоторый рациональный когомологический класс классифицирующего пространства $B\pi$, $L(M)$ --- класс Хирцебруха многообразия $M$. Числа $\sigma_x(M)$ называются высшими сигнатурами многообразия $M$.

Еще в конце 60-х годов А.С. Мищенко показал, что любые гомотопически инвариантные характеристические числа Понтрягина неодносвязного многообразия должны иметь вид высших сигнатур. Тогда же С.П. Новиков выдвинул гипотезу, что все высшие сигнатуры являются гомотопическими инвариантами. В полном объеме эта гипотеза остается недоказанной до настоящего времени. Для различных классов многообразий эта гипотеза была доказана С.П.Новиковым, В.А.Рохлиным, А.С.Мищенко, Г.Г.Каспаровым, С. Кэппелом, А. Конном, Ж. Скандалисом, А. Московичи и другими авторами. В указанном цикле работ Ю.П.Соловьев доказал гипотезу о высших сигнатурах для многообразий, фундаментальные группы которых изоморфны дискретным подгруппам групп Ли над локально--компактными полями и адельных групп Ли. В дальнейшем Ю.П.Соловьев обобщил это доказательство для категории гомологических многообразий.

Следующий цикл работ, выполненный Ю.П.Соловьевым совместно с А.С.Мищенко, был посвящен градуированным бесконечномерным представлениям $C^*$--алгебр. В этих работах были получены общие формулы типа Хирцебруха, разработана теория алгебраических комплексов Пуанкаре.

В начале 80-х годов Ю.П.Соловьев выполнил ряд работ по алгебраической $K$--теории. Совместно с А.И.Немытовым им были построены эрмитовы алгебраические $K$--теории, классифицирующие пространства которых получаются конструкцией Вагонера--Володина для систем корней $B_n, C_n, D_n$ и доказано совпадение этих $K$--теории с теориями Квиллена-Каруби. Кроме того, Ю.П.Соловьев показал, что упомянутые классифицирующие пространства допускают бесконечнократное распетливание.

В это же время Ю.П.Соловьев разработал унитарную алгебраическую $K$-теорию топологических пространств, исследовал их классифицирующие пространства, показав, в частности, что они допускают бесконечнократное распетливание. Полученные результаты нашли многочисленные применения в топологии многообразий и алгебраической $K$-теории.

Начиная с середины 80-х годов научные интересы Соловьева Ю.П. переключаются на теорию гомологий с внутренними симметриями. Им разработана теория диэдральных гомологий и установлены ее связи с циклическими гомологиями. Главный результат этой теории --- доказательство совпадения рангов унитарных алгебраических $K$--групп односвязных многообразий и диэдральных гомологий их алгебр коцепей. В результате был разработан эффективный метод вычисления рациональных гомотопических групп $\pi_k(Diff(M))\otimes \mathbb Q$ для групп диффеоморфизмов односвязных многообразий. Основанный на теории рационального гомотопического типа, этот метод позволил в явном виде вычислить ранги указанных групп для полных пересечений в комплексных проективных пространствах, комплексных многообразий Грассмана и многообразий флагов, некоторых симметрических пространств.

В конце 80-х годов -- начале 90-х годов Ю.П.Соловьев выполнил несколько работ по геометрии и топологии калибровочных полей. В частности, им были исследованы геометрические структуры на многообразии взаимодействующих полей Янга--Миллса.

В начале 70-х годов была решена задача распознавания n-кратных пространств петель. Решение было предложено независимо несколькими авторами (Дж.Бордман, Р.Фогт, Дж.П.Мэй). Дж.П.Мэй предложил формулировку принципа распознавания, использующую операды в топологической категории. В начале 80-х годов В.А.Смирнов показал, что понятие операды может быть перенесено в категорию цепных комплексов. Понятие операды оказалось крайне удобным, в настоящее время их использование далеко выходит за рамки той области, в которой они появились. Этот, если так можно сказать, общематематический статус операд был подтвержден проведением в 1995-1996 годах нескольких конференций под общим девизом «Renaissance d'Operads«. Модули над одной из наиболее интересных операд --- $A_\infty$--операдой --- появились гораздо раньше --- в начале 60-х годов в работах Дж.Сташефа, посвященных $H$--пространствам. Такие модули сейчас принято называть алгебрами Сташефа. В конце 90-х годов В.А. Смирнов показал, как можно с помощью алгебр Сташефа описывать когомологии ассоциативных алгебр и получил полное описание в терминах образующих и соотношений когомологий алгебры Стинрода $A_2$. Ф.Ю.Попеленский перенес это описание на случай алгебр Стинрода $A_p$, где $p>2$ --- простое число. Ценность этого описания определяется тем, что когомологии алгебры Стинрода являются вторым членом спектральной последовательности Адамса для стабильных гомотопических групп сфер. Для использования такого описания необходимо развить технику вычислений в алгебрах Сташефа. Для ассоциативных алгебр, которые являются частным случаем алгебр Сташефа, имеется богатая теория базисов Гребнера. Эта теория позволяет эффективно проводить вычисления в ассоциативных алгебрах, заданных образующими алгебры и идеалом соотношений. Базис Гребнера --- это набор образующих в идеале соотношений, обладающий рядом специальных свойств. Ф.Ю.Попеленский построил соответствующую теорию для специального класса алгебра Сташефа.

Стабильные когомологические операции в теории когомологий с коэффициентами в $\mathbb Z/p$ могут быть построены двумя способами - с помощью так называемой квадратичной конструкции Стинрода и с помощью когомологий пространств Эйленберга-Маклейна, составляющих представляющий спектр соответствующей теории когомологий. Как известно, в случае теорий кобордизмов эти два способа приводят к принципиально различным операциям. Первый способ приводит к алгебре операций Ландвебера-Новикова, используемым, в частности, при построении спектральной последовательности Адамса-Новикова. Второй способ приводит к операциям Таммо том Дика, которые не образуют алгебру. В конце 90-х годов В.А.Смирнов предложил понятие биоперады и мультипликативного семейства над ним. С помощью этих инструментов ему удалось построить алгебры операции типа Стинрода в O-,U- и Sp-кобордизмах. Для этого необходимо было построить структуру мультипликативного семейства над подходящей биоперадой для соответствующих спектров Тома.

Ф.Ю.Попеленский построил структуры мультипликативных семейств на представляющих спектрах Тома для SO и SU кобордизмов, тем самым были построены алгебры операций типа Стинрода в указанных теория кобордизмов. Кроме того, им было показано, как связаны операции Стинрода, предложенные том Диком, и операции построенные методом биоперад в $O-, SO-, U-, SU-, Sp-$ кобордизмах.

В совместной работе Ю.П.Соловьева и Ф.Ю. Попеленского были построены характеристические классы Чженя для пар Ли-Картана. Эта теория является некоммутативным аналогом теории Чженя-Вейля для комплексных векторных расслоений.

Результаты И.М.Никонова

Продолжая работу Е.В. Корнеевой (Белокуровой), И.М. Никонов вычислил ядро характера Чженя для аппроксимативно конечных С*-алгебр и алгебр Неймана. Никонов И.М. совместно с Г.И.Шарыгиным построил спаривание в циклических гомологиях алгебр Хопфа с коэффициентами, а также отображения, связывающие построенное спаривание с известными конструкциями спаривания. Никонов И.М. построил конструкцию эквивариантной К-теории с коэффициентами для модульных алгебр над алгеброй Хопфа.

Топология и вариационное исчисление, теория минимальных поверхностей, оптимизационные алгоритмы в транспортных задачах, теория минимальных графов и сетей, проблема Штейнера (А.Т.Фоменко, А.О.Иванов, А.А.Тужилин, Д.П.Ильютко)

Результаты А.Т. Фоменко

А.Т.Фоменко принадлежит решение известной многомерной проблемы Плато в классе так называемых «спектральных поверхностей с краем». Пусть $M$ - компактное замкнутое риманово многообразие и $A$ - фиксированный компакт в $M$. Пусть $H$ - приведенная непрерывная и относительно инвариантная обобщенная спектральная теория гомологий или когомологий. Рассмотрим произвольный непустой класс «поверхностей», то есть класс, состоящий из компактов, реализующих какой-либо фиксированный класс гомологий или когомологий в группе относительных (ко)гомологий $H(M,A)$. Тогда в каждом таком классе «поверхностей» проблема Плато решается положительно. То есть, всегда существует глобально минимальная поверхность, стратифицированный объем которой (в том числе и обычный старший объем) является наименьшим в смысле лексикографического упорядочивания.

Если в качестве обобщенной теории гомологий взять группы спектральных бордизмов, то получается решение многомерной задачи Плато на абсолютный минимум в классе поверхностей, являющихся образами спектров гладких многообразий с заранее фиксированным краем $A$ в многообразии $M$. Это - так называемый случай минимальных поверхностей с фиксированной границей. Если же рассмотреть другой предельный случай этой общей теоремы, то получается теорема существования глобально минимальной поверхности в классе всех «спектральных поверхностей», реализующих произвольный, заранее фиксированный класс бордизмов объемлющего риманова многообразия $M$. Подробности см. в книгах А.Т.Фоменко на эту тему, приведенные в общем списке книг в конце настоящей статьи.

Результаты А.О. Иванова и А.А. Тужилина

А. О. Ивановым и А. А. Тужилиным создана теория экстремальных сетей --- новый раздел математики, изучающий разветвленные экстремали одномерных вариационных функционалов. Напомним, что классическая задача вариационного исчисления состоит в описании экстремалей вариационных функционалов, заданных на пространствах кривых, соединяющих некоторые две фиксированные точки объемлющего пространства. Теория таких экстремалей хорошо разработана и входит в стандартные университетские курсы оптимального управления, дифференциальной геометрии и теоретической механики. Возникают естественные вопросы: как обобщить эту теорию на случай, когда фиксировано не две, а больше точек объемлющего пространства? Как обобщить понятие экстремальной кривой? Так возникает идея ввести в рассмотрение новый объект --- сети, --- связные одномерные континуумы, которые можно представлять себе как объединения конечного числа кривых.

Экстремальные сети для простейших вариационных функционалов, таких как функционал длины, возникали в том или ином виде в различных теоретических и прикладных разработках, однако, систематического исследования проведено не было. И это несмотря на классическую по своей постановке задачу. По-видимому, первые постановки задачи этого типа возникли у французских математиков, среди которых Жерон, Клайперон и Ламе. Такими задачами интересовался также Гаусс, который в своем письме к Шумахеру \cite{Gauss} поднимает вопрос о том, как построить кратчайшую систему дорог, соединяющую четыре немецких города: Гамбург, Бремен, Ганновер и Брауншвейг. Общая задача о поиске кратчайшей сети, соединяющей данное конечное множество точек плоскости, была поставлена Ярником и К\«есслером в 1934 и, впоследствии, благодаря знаменитой книге Куранта и Роббинса (1941), стала широко известна под именем проблемы Штейнера. Отметим, что у проблемы Штейнера имеются разновидности, одной из которых является так называемая прямоугольная проблема Штейнера, состоящая в описании кратчайших сетей на плоскости, ребра которых представляют собой ломаные линии с параллельными осям координат звеньями. Эта проблема естественно возникает при разводке электронных печатных плат.

Таким образом, сама идея изучения сетей возникла несколько сотен лет назад. За прошедшее время интерес к проблеме Штейнера не угас. Более того, сейчас, систематическое изучение сетей, удовлетворяющих тем или иным условиям, а особенно условиям экстремальности, становится еще более актуальным в связи с бурным развитием сетей разного типа и уровня, таких как транспортные сети, компьютерные сети, сети, заданные химической структурой сложных молекул, скажем молекул ДНК и т.д.

Основы созданной А. О. Ивановым и А. А. Тужилиным теории экстремальных сетей изложены в трех монографиях. Опишем, вкратце, основные отличия их подхода от исследований других авторов.

Во-первых, задача, которую поставили А. О. Иванов и А. А. Тужилин, --- построить общую теорию сетей, экстремальных по отношению к произвольным функционалам в произвольных объемлющих пространствах, скажем, в гладких многообразиях и многообразиях с особенностями, таких как поверхности многогранников или пространства А. Д. Александрова. Работы других авторов, связанные с экстремальными сетями, посвящены, как правило. изучению кратчайших сетей, причем в качестве функционалов рассматривается или функционал евклидовой длины в векторном пространстве, в основном, на плоскости, или функционал манхеттенской длины (манхеттенская длина вектора равна сумме длин его проекций на координатные оси), также в основном на плоскости. Имеются, конечно, и немногочисленные работы, посвященные другим функционалам, см., например, работы Моргана, Цислика, и др.

Во-вторых, при изучении кратчайших сетей локальная структура сети, т.е. устройство достаточно малых окрестностей точек сети, определяется достаточно жестко. Если же вместо кратчайших сетей рассматривать экстремали, то возникает несколько возможностей. Отметим, что экстремальность --- это свойство сети, характеризующее поведение функционала при малых деформациях сети. Для кривых деформации определяются достаточно естественно и, более или менее, однозначно. Для сетей можно рассматривать несколько существенно разных типов деформаций. Мы выделяем ровно два: деформации, сохраняющие структуру сети, и деформации, расщепляющие вершины. Заметим, что сеть $\Gamma$, затягивающая вершины квадрата и имеющая ровно одну внутреннюю вершину $v$, расположенную в центре этого квадрата, является экстремалью функционала длины по отношению к деформациям, сохраняющим структуру сети. Однако, деформация, расщепляющая вершину $v$ на две так, что в каждой из полученных вершин ребра сети стыкуются по три, уменьшает длину сети $\Gamma$ с ненулевой скоростью, поэтому сеть $\Gamma$ уже не является экстремальной по отношению к таким деформациям.

Сети, которые при деформациях не меняют своей структуры, называются параметрическими. Сети, для которых расщепления вершин разрешены, т.е. сети, структура которых может меняться при деформациях, называются сетями -- следами.

В-третьих, функционалы типа длины не зависят от параметризации. Как следствие, под сетью можно понимать связные совокупности кривых, не заботясь о том, как эти кривые параметризованы. В этом контексте, сеть на плоскости, скажем, можно представлять себе как плоский граф. В общем случае, например, для функционала энергии, параметризация важна. Поэтому при определении сети в рассматриваемой теории приходится дополнительно выбирать некоторые параметризации. Тем самым, мы приходим к понятию оснащенного графа, или графа с фиксированной параметризацией ребер.

В-четвертых, сети по самой своей природе обладают как геометрическими, так и комбинаторными характеристиками, имеют как непрерывные, так и дискретные свойства. Поэтому разработка теории экстремальных сетей потребовала создания новых методов, не имеющих аналогов в классической теории. Возник технический аппарат, объединяющий в себе методы дифференциальной геометрии и классического вариационного исчисления с одной стороны и методы дискретной геометрии и комбинаторики с другой стороны. По-видимому, непрерывно--дискретная природа сетей может позволить по-новому взглянуть на задачи, связанные с геометрическим квантованием в самом широком смысле этого слова: свойства экстремальных сетей (для подходящего вариационного функционала) содержат информацию как о непрерывных (геометрических), так и о дискретных (квантовых) характеристиках объемлющего пространства.

Приведенные особенности излагаемой теории позволяют взглянуть на известные феномены с более общих позиций, что часто приводит к пониманию реальных основ классических результатов. Кроме того, общность теории дает возможность наблюдать в разнообразных приложениях многочисленные новые эффекты, не характерные для функционала длины.

Перечислим теперь основные результаты А. О. Иванова и А. А. Тужилина, их коллег и учеников, относящиеся к теории экстремальных сетей.

  1. Изучена локальная структура сетей, экстремальных по отношению к классическому вариационному функционалу, лагранжиан которого является гладким везде, кроме, быть может, тех точек фазового пространства, в которых скорость равна нулю. Естественным примером такого негладкого функционала является обычная евклидова длина. Получены критерии экстремальности параметрических сетей и сетей--следов и, в качестве следствия, установлено, что нетривиальность проблемы Штейнера, т.е. наличие богатого набора решений разных топологических (комбинаторных) типов, является следствием негладкости функционала длины там, где скорость равна нулю.
  2. Разработаны аспекты геометрической теории линейных сетей в $\Bbb R^N$ (сеть называется линейной, если ее ребра --- прямолинейные отрезки). А именно, изучены связи между топологией линейной сети и геометрией ее естественной границы (теорема о зависимости числа вращения плоского линейного дерева от количества уровней выпуклости его геометрической границы), поведение линейной сети при деформациях границы, пространства взаимно-параллельных линейных сетей с данной топологией и границей (такие пространства нетривиальны при наличии циклов). Отметим, что эти результаты имеют как многочисленные приложения в теории экстремальных сетей, так и самостоятельный интерес для специалистов по теории графов.
  3. Исследованы локальные и глобальные свойства параметрических сетей, экстремальных относительно функционала римановой длины и взвешенной римановой длины (в последнем случае значение функционала на сети равно линейной комбинации длин ребер с заданными положительными коэффициентами --- весами ребер). При анализе локальной структуры допускается вырождение некоторых ребер сети, т.е. эти ребра могут являться точечными кривыми. Это допущение полезно для изучения экстремальных сетей--следов, так как расщепление вершин сети--следа естественно моделируется с помощью именно таких параметрических сетей с вырождениями. Отметим, что наличие вырожденных ребер существенно усложняет критерий экстремальности параметрической сети.
  4. Для параметрических сетей в $\Bbb R^N$, как следствия геометрической теории линейных сетей и теорем о локальной структуре экстремальных сетей, получен ряд результатов о глобальной структуре. В частности, описано семейство всех экстремальных сетей с данной границей и фиксированной топологической структурой: показано, что конфигурационное пространство таких сетей образует выпуклый многогранник и описаны характерные параметры этого многогранника; приведены геометрические инварианты конечных подмножеств, через которые можно оценить «сложность» затягивающих их экстремальных сетей. Отметим, что последние результаты имеют практический выход: используя их, можно существенно уменьшить перебор при построении кратчайших коммуникационных сетей на плоскости, что важно при компьютерном моделировании таких сетей.
  5. Изучены сети--следы, экстремальные по отношению к функционалу евклидовой длины. Рассмотрены сети--следы не только в евклидовых пространствах, но и на евклидовых многообразиях, таких как плоский тор или плоская бутылка Клейна, а также на поверхностях многогранников и на поверхностях постоянной кривизны. Здесь получены следующие основные результаты:
    • полная классификация невырожденных плоских локально минимальных сетей с выпуклой границей;
    • полная классификация минимальных «сетей-скелетов», затягивающих вершины правильных многоугольников;
    • полная классификация замкнутых локально минимальных сетей на замкнутых двумерных поверхностях неотрицательной постоянной кривизны (совместно с И. В. Птицыной);
    • полная классификация замкнутых локально минимальных сетей на поверхности тетраэдра (совместно с И. В. Птицыной), бесконечные серии таких сетей на других платоновых телах (Т. В. Аникеева--Павлюкевич);
    • теорема о зависимости числа вращения плоского минимального бинарного дерева от количества уровней выпуклости его границы;
    • теорема о зависимости числа вращения плоского минимального взвешенного бинарного дерева от количества уровней выпуклости его границы.
Отметим, что разработанные здесь оригинальные идеи и методы находят дальнейшее применение и в общей теории.
  • Изучены сети, экстремальные относительно функционала длины в нормированном пространстве. Наличие дополнительных особенностей у таких лагранжианов приводит к существенно новым эффектам. Одним из таких эффектов является тот факт, что условия экстремальности сети перестают быть локальными: в отличие от экстремалей функционалов с лагранжианам гладкими везде, кроме нулей скоростей, для которых экстремальность сети равносильна экстремальности каждого достаточно малого фрагмента этой сети, для общих норм из экстремальности малых фрагментов уже не следует экстремальность сети в целом. Получен критерий экстремальности сети в нормированном пространстве и, на примере манхеттенской нормы, показано, какие глобальные геометрические и топологические ограничения накладывает на сеть условие ее экстремальности (совместно с Хонг Ван Ле).
  • Получена оценка на отношение Штейнера произвольного риманова многообразия через отношение Штейнера евклидова пространства той же размерности, вычислено (по модулю гипотезы Гилберта--Поллака) отношение Штейнера для плоских торов и плоских бутылок Клейна, а также показано, что у поверхностей отрицательной постоянной кривизны отношение Штейнера меньше, чем у плоских поверхностей (совместно с Д. Цисликом). Найдено геометрическое описание граничных множеств, на которых отношение Штейнера может принимать критические значения.
  • Определены индексы типа Морса минимальных сетей на римановых многообразиях. Получен аналог теоремы Смейла об индексе и вычислены индексы для замкнутых сетей на плоских поверхностях и поверхностях положительной кривизны и для сетей общего вида на поверхностях отрицательной кривизны (М. В. Пронин). Построены аналоги теории Морса для экстремальных сетей по отношению к функционалам евклидовой длины и манхеттенской нормы (нормы, порожденной квадратом). Последнее позволило получить нетривиальные оценки на количества возможных критических сетей, затягивающих фиксированные граничные множества с небольшим количеством точек (Г. А. Карпунин).
  • Получено естественное обобщение алгоритма D. Sankoff'а построения экстремальных деревьев в филогенетических пространствах. Как следствие, получен эффективный алгоритм построения точки Симпсона--Торричелли для произвольного граничного множества (совместно с Д. Цисликом).
  • Создано новое направление в теории одномерных вариационных задач с разветвленными экстремалями — теория одномерных минимальных заполнений в смысле Громова. Являясь частным случаем обобщения проблемы Громова о минимальных заполнениях на стратифицированные многообразия, рассматриваемая проблема может быть представлена также как обобщение проблемы Штейнера о поиске кратчайшей сети.
  • Разаработана техника стабилизации локально-минимальных сетей. Хорошо известно, что, как правило, очень трудно доказать, что конкретная сеть является кратчайшей сетью с данной границей. Напротив, проверка локальной минимальности данной сети сложностей не вызывает. Для локально минимальных сетей в евклидовом пространстве произвольной размерности решена следующая задача: описаны такие семейства ребер локально минимальной сети, что, равномерно добавляя на эти ребра новые граничные вершины степени 2 в достаточном количестве, можно превратить исходную локально минимальную сеть в кратчайшую (с новой границей) (совместно с А.Мельниковой). Это позволило построить новые примеры кратчайших сетей а также полностью описать возможное устройство кратчайших сетей в окрестности лунок их ребер (совместно с О.Съединой).
  • Результаты Д.,П. Ильютко

    Д.П.Ильютко занимался локально минимальными и экстремальными сетями (везде мы используем слово сеть, вместо сеть--след) в нормированных пространствах. Опишем кратко, полученные в данном направлении результаты.

    Рассматривалась $\lambda$-нормированная плоскость, т.е. нормированная плоскость, единичная окружность которой является правильным $2\lambda$-угольником. Структура локально минимальных сетей на таких плоскостях первоначальна была описана в [9]. Но в этой работе имелся недочет. Впоследствии он был независимо исправлен в [10] и [11]. Следующий вопрос, возникающий здесь, --- это геометрическое описание экстремальных сетей. Хорошо известно, что в случае негладких норм, не каждая локально минимальная сеть является экстремальной сетью. Случай $\lambda=2$ был разобран А.О. Ивановым и А.А. Тужилиным, см.\ например [8]. Для остальных $\lambda$ (случаи $\lambda=3,4,6$ рассматривались совместно с И.М. Никоновым) Д.П. Ильютко получил геометрические критерии экстремальности любого дерева на $\lambda$-нормированной плоскости. Кроме того доказаны теоремы о топологической и планарной реализации произвольного дерева в виде локально минимального или экстремального дерева на $\lambda$--нормированной плоскости. Также исследована асимптотика $\lambda$--экстремальных деревьев при $\lambda\to\infty$.

    В теории сетей в евклидовом пространстве хорошо известна формула Максвелла, позволяющая найти длину локально минимального дерева, зная лишь координаты граничных вершин и направления граничных ребер. Д.П. Ильютко совместно с А.Г. Банниковой и И.М. Никоновым доказал формулу Максвелла для экстремальных сетей в нормированных пространствах. Были описаны конструктивные методы, позволяющие находить нормирующие функционалы, фигурирующие в формуле Максвелла.

    1. Gauss C. F. (1917) «Briefwechsel Gauss--Schuhmacher», In book: Werke Bd. X, 1, 459--468, Geottingen.
    2. Jarnik V. and K\«ossler M. (1934) «O minimalnich grafeth obeahujicich n danijch bodu», Cas. Pest. Mat. a Fys., 63, 223--235.
    3. Cieslik D., (1998) Steiner Minimal Trees, Kluwer Academic Publishers.
    4. Hwang F. K., Richards D. and Winter P. (1992) The Steiners Tree Problem, Elsevier Science Publishers.
    5. Ivanov A. O. and Tuzhilin A. A. (1994) Minimal Networks. The Steiner Problem and Its Generalizations, N.W., Boca Raton, Florida, CRC Press.
    6. А. О. Иванов, А. А. Тужилин (1999) Разветвленные геодезические. Геометрическая теория локально минимальных сетей, The Edwin Mellen Press, Lewiston, NY, USA.
    7. Hildebrandt S. and Tromba A. (1996) The Parsimonious Universe, New York, Springer-Verlag.
    8. Ivanov A. O. and Tuzhilin A. A. (2000) Branching Solutions to One-Dimensional Variational Problems, Singapore, New Jersey, London, Hong Kong, World Scientific Publishers.
    9. Иванов А.О., Тужилин А.А. Одномерная проблема Громова о минимальном заполнении. Матем. сб., 2012, т. 203, N 5, с. 65–118.
    10. Ivanov A.O., Tuzhilin A.A. Gromov Minimal Fillings for finite metric spaces. Publications de l’institut Mathematique, Nouvelle serie, 2013, t. 94, N 108, 3–15.
    11. Ivanov A.O., Tuzhilin A.A., GROMOV MINIMAL FILLINGS FOR FINITE METRIC SPACES, PUBLICATIONS DE L’INSTITUT MATHEMATIQUE Nouvelle serie, том 94, с. 3-15 (2013),
    12. Ivanov A., Tuzhilin A. The steiner ratio gilbert-pollak conjecture is still open // Algorithmica (New York). — 2012. — Vol. 62, no. 1-2. — P. 630–632.
    13. Ivanov A., S?edina O., Tuzhilin A. The structure of minimal steiner trees in the neighborhoods of the lunes of their edges // Mathematical Notes. — 2012. — Vol. 91, no. 3. — P. 339–353
    14. M. Sarrafzadeh and C.K. Wong. Hierarchical Steiner Tree Construction in Uniform Orientations // IEEE Trans.\ on Computer-Aided Design. Vol.\ 11. N 9. 1992. Pp.\ 1095--1103.
    15. K.J. Swanepoel. The Local Steiner Problem in Normed Planes // Networks. Vol.\ 36. 2000. Pp.\ 104--113.
    16. Д.П. Ильютко. Локально минимальные сети в $N$-нормированных пространствах // Матем. заметки. 2003. Т. 74. Вып. 5. С. 656--668.

    Математическая физика. Геометрические и топологические аспекты квантовой механики и гидродинамики (Ю.П. Соловьев, А.И. Шафаревич, Е.А. Кудрявцева)

    Результаты Ю.П. Соловьева с соавторами

    Многие научные интересы Ю.П.Соловьва были связаны с математическими проблемами квантовой теории поля. В большом цикле работ, выполненных Ю.П.Соловьевым совместно с В.В.Белокуровым и Е.Т.Шавгулидзе, были разработаны новые методы приближенных вычислений функциональных интегралов, возникающих в квантовой теории поля и квантовой статистической механике с помощью сходящихся рядов по константе связи. С помощью этих методов удалось получить новые результаты в теории теории ренормализационной группы и провести вычисления для ряда конкретных физических задач. В частности, Ю.П.Соловьеву с соавторами принадлежит наиболее точное вычисление критических показателей фазового перехода для жидкого гелия-4.

    Результаты А.И. Шафаревича и его соавторов

    В середине шестидесятых годов В.П. Маслов сформулировал один из вариантов классического принципа соответствия, согласно которому в квазиклассическом пределе изотропным инвариантным многообразиям классических гамильтоновых систем должны при определенных условиях соответствовать спектральные серии (т.е. наборы асимптотических собственных чисел и собственных функций) псевдодифференциальных операторов типа Шредингера. Условия, гарантирующие существования таких серий, изучались в работах Маслова, Бабича, Ралстона, Дюйстермаата, Гийемина, Белова, Доброхотова, Карасева, Воробьева, Колин не Вердье и многих других. Если размерность инвариантного многообразия не максимальна (т.е. меньше, чем половина размерности фазового пространства), спектральные серии описываются при помощи конструкции т.н. комплексного ростка Маслова -- комплексного векторного расслоения над многообразием, удовлетворяющего ряду дополнительных требований. В работе С.Ю. Доброхотова и А.И. Шафаревича было доказано, что существование комплексного ростка Маслова над инвариантным изотропным многообразием эквивалентно существованию в нормальном симплектическом расслоении над ним симплектической связности с компактной группой голономии, согласованной с исходной гамильтоновой системой. Работающая под руководством А.И. Шафаревича аспирантка С.Е. Роганова описала модули всех комплексных ростков, соответствующих данной связности.

    В физических приложениях часто встречаются т.н. резонансные частично интегрируемые гамильтоновы системы, т.е. системы, которые становятся интегрируемыми по Лиувиллю после ограничения на инвариантное симплектическое подмногообразие, причем ограниченная система обладает избыточным набором интегралов. В этом случае лиувиллево слоение на подмногообразии, вообще говоря, не единственно; С.Ю. Доброхотов и А.И. Шафаревич показали, что условие существования спектральных серий приводит к отбору лиувиллевых слоений (т.е. выбору полного набора интегралов), причем близким асимптотическим собственным числам отвечают торы, принадлежащие, вообще говоря, разным слоениям.

    Если интегрируемая гамильтонова система обладает дополнительной дискретной симметрией (например, гамильтониан и дополнительные интегралы -- четные функции по импульсам), совместные множества уровня интегралов содержат, вообще говоря, несколько лиувиллевых торов. Соответствующие такому набору торов асимптотические собственные числа оператора Шредингера очень близки: расстояние между ними экспоненциально мало по квазиклассическому параметру. Для систем с одной степенью свободы, квадратичных по импульсам, методы вычисления такого «расщепления» были развиты в работах М.В. Федорюка при помощи аналитической теории ВКБ-асимптотик в комплексной области. С.Ю. Доброхотов и А.И. Шафаревич вычислили экспоненциальное расщепление асимптотических собственных чисел операторов Лапласа – Бельтрами на двумерных поверхностях с квадратично интегрируемым геодезическим потоком; соответствующие формулы содержат топологические характеристики (интегралы от голоморфных форм по т.н. туннельным циклам) комплексификации лиувиллева тора.

    В работе А.И. Шафаревича описаны спектральные серии, соответствующие одномерным сингулярным инвариантным множествам (сепаратрисным диаграммам) частично интегрируемых гамильтоновых систем. Доказано, что существование серий эквивалентно компактности группы голономии естественной связности, возникающей в нормальном симплектическом расслоении над сепаратрисной диаграммой. Получен алгоритм вычисления асимптотических собственных чисел.

    Одна из работ А.И. Шафаревича (совместная с В.В. Зотовым) посвящена описанию классических и квантовых систем Калоджеро -- Строкки. Эти системы с двумя степенями свободы обладают дополнительным первым интегралом, однако гамильтоновы поля не полны и совместные множества уровня интегралов представляют собой (некомпактные) римановы поверхности произвольного рода. В работе получены условия, при которых на такой поверхности существует семейство периодических траекторий и разработан метод описания соответствующих спектральных серий оператора Шредингера.

    Другое направление научной деятельности А.И. Шафаревича связано с исследованием сингулярных решений уравнений гидродинамики и приближающих их гладких решений уравнений с малой вязкостью. Были разработаны методы построения асимптотических решений линейных и нелинейных уравнений Навье-Стокса, локализованных в малой окрестности некоторой точки, кривой или поверхности в трехмерном пространстве. Такие решения описывают сосредоточенные вихри в жидкости или газе. Установлена связь решений указанного вида с топологическими инвариантами бездивергентных векторных полей на плоскости, а также лиувиллевых слоений трехмерного пространства на двумерные торы. Получены нелинейные уравнения, описывающие локализованные решения; одна из независимых переменных в этих уравнениях меняется на графе - факторе плоскости по траекториям бездивергентного поля или трехмерного пространства по торам лиувиллева слоения. Исследованы уравнения локализованных вихрей; в частности, для них найдены законы сохранения и интегральные тождества, которые в пределе исчезающей вязкости также переходят в законы сохранения, образуя бесконечный набор интегралов.

    Построены асимптотические решения уравнений гидродинамики, описывающие сглаженные тангенциальные разрывы в вязкой жидкости. Получены уравнения, описывающие движение фронта сглаженного разрыва и эволюцию его формы. Исследована связь геометрических характеристик движущейся поверхности (фронта) с изменением амплитуды возмущения.

    Изучены сингулярные решения уравнений магнитной гидродинамики в случае разрывного поля скоростей жидкости. Показано, что магнитное поле в этом случае имеет особенность типа $\delta$-функции на фронте разрыва. Получены уравнения, описывающие особую часть решения.

    1. S.Yu. Dobrokhotov, V.M. Olive, A.A. Ruzmaikin, A.I. Shafarevich. Magnetic field asymptotics in a well conducting fluid. Geophysical and Astrophysical Fluid Dynamics, 82, 1996, pp. 255-280.
    2. С.Ю. Доброхотов, А.И. Шафаревич. О поведении на бесконечности поля скоростей несжимаемой жидкости. Известия РАН, Механика жидкости и газа, 4, 1996 с. 38-42.
    3. В.П. Маслов, А.И. Шафаревич. Асимптотическая теория локализованных решений уравнений Навье- Стокса с малой вязкостью. Вестник МГУ, сер. 1, математика, механика, 6, 1996.
    4. В.П. Маслов, А.И. Шафаревич. Ламинарные асимптотические решения уравнений Навье-Стокса, локализованные в малой окрестности кривой, и их микромасштабные возмущения. Доклады РАН, 351, 1, 1996, с. 52-55.
    5. С.Ю. Доброхотов, В.М. Оливе, А.И. Шафаревич. Замкнутые траектории и двумерные торы в квантовой задаче Кеплера с переменной анизотропией. Доклады РАН, 355, 3, 1997, 267-272.
    6. А.И. Шафаревич. Поведение магнитного поля в проводящей жидкости с быстроменяющимся полем скоростей. Доклады РАН, 360, 1, с. 1-3, 1998.
    7. С.Ю. Доброхотов, А.И. Шафаревич. Квантовый отбор в квазиклассическом приближении изотропных торов частично интегрируемых гамильтоновых систем. Russian Journal of Mathematical Physics, 5, 2, с. 299-302, 1997.
    8. С.Ю. Доброхотов, А.И. Шафаревич. Квазиклассическое квантование инвариантных изотропных многообразий гамильтоновых систем. В кн. «Топологические методы в теории гамильтоновых систем», 1998, «Факториал», Москва, с. 41 -114.
    9. В.П. Маслов, А.И. Шафаревич. Ламинарный след в произвольном внешнем потоке. Доклады РАН, 356, 4, с. 476-480, 1997.
    10. В.П. Маслов, А.И. Шафаревич. Локализованные асимптотические решения уравнений Навье-Стокса и ламинарные следы в несжимаемой жидкости. Прикладная математика и механика, 62, 3, 1998, с. 424-432.
    11. А.И. Шафаревич. Дифференциальные уравнения на графах, описывающие асимптотические решения уравнений Навье-Стокса, сосредоточенные в малой окрестности кривой. Дифференциальные уравнения, 34, 8, с. 1119-1130, 1998.
    12. А.И. Шафаревич. Обобщенные уравнения Прандтля-Маслова на графах, описывающие растянутые вихри в несжимаемой жидкости. Доклады РАН, 358, 6, 1998.
    13. А.И. Шафаревич. Уравнения на графах и асимптотические решения типа «узких струй» системы Навье-Стокса. Успехи математических наук, 53, 4, 1998.
    14. С.Ю. Доброхотов, А.И. Шафаревич. Туннельное расщепление спектра операторов Лапласа-Бельтрами на двумерных поверхностях с квадратично интегрируемым геодезическим потоком. Функциональный анализ и его приложения, 2000, 2.
    15. S.Yu. Dobrokhotov, A.I. Shafarevich. «Momentum» tunneling between tori and the splitting of eigenvalues of the Beltami-Laplace operator on Liouville surfaces. Mathematical Physics, Analysis and Geometry, 1999, 2, 141-177.
    16. А.И. Шафаревич. Асимптотические решений уравнений Навье-Стокса, описывающие сглаженные тангенциальные разрывы. Мат. заметки, 2000.
    17. А.И. Шафаревич. Асимптотическое описание вихревых нитей в несжимаемой жидкости. Прикладная математика и механика, 2000, 64, 2, 266-277.
    18. A.I. Shafarevich. Asymptotic solutions of the Navier-Stokes equations and toplogical invariants of vector fields. Prandtl-Maslov equations on the Reeb graphs and Fomenko invariants. Russian Journal of Mathematical Physics, 2000, 7, 2, pp. 401-447.

    Результаты Е.А. Кудрявцевой в соавторстве с М.Л. Гервером

    Рассмотрим следующую модель строения Земли -- когда скорость $v$ распространения сейсмических волн внутри Земли зависит только от глубины: $v=v(r)$, $0 годографом. Возникает классическая обратная задача математической геофизики: по кривой $T=T(L)$ определить функцию $v=v(r)$. С помощью конформного преобразования круга в полуплоскость, получаем модель в полуплоскости, где скорость распространения волн также зависит от глубины: $u=u(h)$. Хорошо известно, что если искомая функция $u=u(h)$ не убывает, то решение существует, единственно и выражается через $T=T(L)$ явной интегральной формулой. Однако при наличии волновода -- участка $h_0\le h\le h_1$ пониженной скорости -- однозначность решения нарушается при $h>h_0$. Таким образом, уже в этой классической постановке задача имеет бесконечно много решений, причем указанная интегральная формула дает однозначное решение до волновода ($h\le h_0$) и нижнюю огибающую графиков всех решений после волноводов ($h\ge H_1$). Поэтому возникает задача нахождения верхней огибающей семейства решений и, в частности, нахождения максимальной глубины $H_1$ волноводов решений.

    Строение решения глубже волновода ($u(h) \ge u(h_0)$, $h\ge h_1$) однозначно выражается через его строение внутри волновода ($00$, $1\le i\le n$.

    Для каждого натурального $m\le n$ требуется найти максимальное значение функционала $h_m=h_m(da)=\sum_{i=m}^n q_i \int_0^\infty f_i(t) da(t)$ по всем мерам Стилтьеса $da=da(t)$, $t\in(0,\infty)$, удовлетворяющим системе неравенств $\int_0^\infty f_i(t) da(t)\le p_i$, $1\le i\le n$. Хорошо известно, что максимум в такой задаче достигается на единственной мере $da_m$, причем важным свойством этой меры является дискретность: она сосредоточена в $\le n$ точках. Однако последнее свойство не переносится автоматически на интересующую нас ситуацию: когда $n=\infty$ и функции образуют бесконечное непрерывное семейство $f_u$, $0\le u\le 1$. М.Л. Гервер и Е.А. Кудрявцева доказали, что экстремальные меры по-прежнему будут дискретными, если функции $f_u^{(i)}(0)$, $0\le u\le 1$, $i=0,1,\dots$, образуют полную систему. Последнее условие выполнено, например, для системы функций $u^i$, возникающей в рассматриваемой задаче.

    В результате М.Л. Гервер и Е.А. Кудрявцева доказали, что через каждую точку $(u,h)$, $u>u(h_0)$, верхней огибающей семейства решений проходит ровно одно решение, причем ограничение этого решения на волновод является ступенчатой функцией с числом скачков $\le k$, если $u>U_ku(h_0)$. Здесь $U_1>U_2>\dots$ -- так называемая универсальная последовательность, построенная М.Л. Гервером и Е.А. Кудрявцевой, убывающая к $1$. (Числа $U_k$ тесно связаны с корнями многочленов Лежандра, обладают свойством $U_k\in(1+0.3/k^2,1+2.8/k^2)$, и первые числа этой последовательности приблизительно таковы: $1.58,1.19,1.09,1.06,1.04,1.03,\dots$.) Тем самым, они свели задачу о поиске экстремального решения к конечномерной задаче -- поиску максимума функции, заданной в компактной области в ${\Bbb R}^k$.

    Теоретическая физика (В.Л. Голо и ученики)

    В.Л. Голо занимался также исследованиями конформационной динамики ДНК, которая представляет значительный интерес для описания процессов в клетке. В частности, для исследования мутагенеза может быть важно согласованное туннелирование протонов в водородных связях пар оснований молекулы ДНК. Согласно гипотезе выдвинутой Криком и Вотсаном туннелирование протонов может приводить к нарушению процесса узнавания при репликации ДНК и в результате --- к мутациям. В проведенных исследованиях изучалась связь процесса согласованного туннелирования с упругими модами молекулы, [1]. Упругая система ДНК рассматривалась как классическая, а туннелирование протонов описывалось с помощью двухуровневых квантовых систем. Было показано, что согласованное туннелирование протонов может иметь место благодаря взаимодействию с конформационной динамикой двойной спирали. Было получено нелинейное уравнение Шредингера для туннельных амплитуд,[1], и проведено его численное моделирование,[2]. В частности, было обнаружено, что имеет место явление, известное в теории нелинейных процессов как «freak waves«, которое в контексте ДНК означает, что могут иметь место распределения туннельных амплитуд и пар оснований, соответствующие конформации, для которой мутация мало вероятна, но которые могут эволюционировать, двигаясь вдоль ДНК, так что в результате может развиться конформация, соответствующая меньшому сегменту ДНК, для которой мутация становится вероятной.

    Исследования, связанные с квантовой физикой, позволили в течении ряда лет (1998 --- 2000 г.г.) проводить семинар Квантовый Компьютер, который привлек большое внимание как в МГУ, так и в других научных учреждениях Московского региона. На семинаре были подробно разобраны основные идеи квантовых вычислений и возможность их приборной реализации. Кроме того, работа семинара использовалась для изучения проблемы квантовых измерений и квантовой теории информации. Семинар позволил установить научные контакты между исследователями, работающими в разных областях науки, как в МГУ, так и вне его.

    Классическая область квантовых феноменов является физика низких температур, и в том числе теория сверхжидкостей. В частности большой интерес представляют сверхтекучие фазы изотопа гелия, гелия-3 . Его магнитные свойства привлекают большой интерес как теоретиков, так и экспериментаторов. Теоретические исследования в этой области требуют привлечения необычного для теоретической физики аппарата, в частности исследования аттракторных режимов гамильтоновых систем с диссипацией. Исследование этих задач с технической стороны требует сочетания топологических и компьютерных методов, благодаря применению которых удалось построить достаточно полную картину прецессии магнитного момента макроскопического образца гелия-3. Сюда же относятся исследования симметрийных свойств параметра порядка сверхтекучего гелия-3, что позволяет установить интересные связи пространственных конформаций сверхжидкости и топологии ее параметра порядка. Необычные топологические свойства параметра порядка сверхтекучего гелия приводят также к существованию аномально медленных мод спиновых возбуждений, [3].

    Физика мягкой материи — одна из наиболее старых областей физики. Тем не менее, только сравнительно недавно, в 70-х – 90-х годах прошлого века, она оформилась в самостоятельную дисциплину. Причина тому в том, что традиционно физика занимается «жесткими» телами — кристаллами и газами и жидкостями. Однако мягкая материя окружает нас буквально со всех сторон. Действительно, к ней следует отнести подавляющее большинство составляющих субстанций живых организмов, а также очень многие системы неживой природы.

    Характерными признаками мягкой материи является несущественность инерционных эффектов, малость упругих констант и преобладание диссипативных эффектов. В связи с этим многие традиционные методы, применяемые для описания, например, кристаллических тел оказываются неприменимыми. Вместе с тем, очень существенно наличие хаотических эффектов. Для описания такого рода явлений первостепенное значение имеют эффекты энтропийного характера. Поэтому часто говорят, что теоретические методы анализа мягких систем являются триумфом энтропии. По этой причине последовательный анализ задач физики мягкой материи требует последовательного применения статистических методов. С этой целью прибегают к методам статистической механики — как равновесной, так и неравновесной. Однако положение дел здесь существенно отличается от того, что имеет место для теории газов. Причина в том, что объектами теории мягкой материи являются прежде всего макромолекулы, т.е. ансамбли систем, составленных из отдельных субсистем, которые сами могут рассматриваться как макроскопические. Кроме того, сложная пространственная структура макромолекул, таких как белки и нуклеиновые кислоты, ДНК и РНК, требуют привлечения топологических рассмотрений.

    Таким образом, необходимо изучать системы очень большой размерности, доходящей до десятков миллионов, с учетом их топологии. В этой области науки пока больше вопросов, чем ответов. Однако кое-что можно сделать уже сейчас, рассматривая упрощенные системы, которые сохраняют некоторые существенные черты реальных объектов. На этом пути, сочетая аналитические методы механики, топологические соображения и компьютерное моделирование, удается в ряде случаев продвинуться в решении реальных задач. Первостепенное значение принадлежит здесь, конечно, методам компьютерного моделирования, или, как часто говорят, молекулярной динамики. Результаты, которые удается получить, оказываются очень интересными для приложений: создания новых лекарственных препаратов, сенсоров, и целого ряда технических разработок, которые сейчас принято включать в область нано-технологий.

    Деятельность В.Л.Голо была связана в основном задачами, связанными с биофизикой ДНК, [4]. Сюда относятся явления образования дефектов системы пар оснований в двойной спирали ДНК под действием внешних воздействий, образование жидко-кристаллических фаз ДНК в растворах. Исследование возникающих здесь задач требует привлечения аналитических методов, теоретико-группового анализа симметрии системы, которая, как оказывается, имеется и у мягкой материи, и методов компьтерного моделирования. Следует иметь в виду, что последнее должно осуществляться только совместно с аналитическими методами и методами качественного анализа. Таким образом, рассматриваемый круг задач требует обращения к существенно новым необычным математическим методам.

    1. V.L. Golo, E.I. Kats, and M. Peyrard, Письма ЖЭТФ, 70, 225 --- 229 (2001).
    2. В.Л. Голо, Ю.В. Волков, Tautomeric transitions in hydrogen bonds of DNA (готовится к печати).
    3. В.Л. Голо, Текстурно-спиновые волны в гелии-3B, ЖЭТФ (1984).
    4. Ю.С.Волков, В.Л.Голо, Е.И.Кац, С.А.Кузнецова, Жидко­кристал­ли­чес­кие фазы, образованные дуплексами ДНК, содержащими пиро­фосфат­ные группы, ЖЭТФ, 301, с. 559 (2009).

    Дифференциально-геометрические вопросы теории вероятностей и математической статистики (Г.В.Носовский)

    В 1990-1997 годах Г.В.Носовским был разработан метод построения регулярных решений нелинейных уравнений в частных производных типа Гамильтона - Якоби - Беллмана, которые возникают в теории управляемых стохастических процессов как уравнения для интегральной функции выигрыша (или, соответственно, - функции потерь). Этот метод, названный «методом нелинейных потенциалов», определяет явную конструкцию построения из резольвент линейный операторов единственного решения уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана в классе функций с ограниченными первыми соболевскими производными и ограниченными снизу вторыми обобщенными производными [3],[4].

    Уравнениями Гамильтона-Якоби-Беллмана называется следующий класс существенно нелинейных уравнений с частными производными второго порядка: $$\sup_{\alpha \in A} \{ L_{\alpha }u(x) - \lambda u(x) + f(\alpha ,x)\} = 0,$$ где $u(x)$ - неизвестная функция, $\{L_{\alpha }\}_{\alpha \in A}$ - семейство линейных дифференциальных операторов второго порядка, вообще говоря, вырождающегося эллиптического типа, зависящих от параметра $\alpha$ («параметра управления»), $f(\alpha ,x)$ - заданная функция, $ A$ - некоторое множество «управлений». В работе [3] Г.В.Носовским был развит формализм, позволяющий на основе решений линейных уравнений $$ L_{\alpha }u(x) - \lambda u(x) + f(\alpha ,x) = 0,$$ рассматриваемых при фиксированных $\alpha$, с помощью операций предельного перехода сконструировать обобщенное решение уравнения Гамильтона - Якоби - Беллмана в смысле Крандалла - Лионса (viscosity solution). Согласно теореме, доказанной в [3], из оценок определенного вида для производных решений линейных уравнений при фиксированных $\alpha$, вытекают свойства регулярности получаемого методом нелинейных потенциалов решения уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана. Указаны условия, при которых этих свойств регулярности достаточно для того, чтобы данное решение было единственным в классе функций с ограниченными первыми соболевскими производными и ограниченными снизу вторыми обобщенными производными. В статье [4] метод нелинейных потенциалов был применен Г.В.Носовским для случая уравнений Гамильтона-Якоби-Беллмана в $R^d$. В статье [2] вероятностными методами им были получены условия, достаточные для справедливости необходимых для метода нелинейных потенциалов оценок производных решений линейных уравнений вырождающегося эллиптического типа на римановом многообразии.

    В 2001-2004 годах Г.В.Носовским совместно с Е.С.Скрипкой был разработан устойчивый алгоритм склейки проективно-преобразованных изображений, полученных с разных точек зрения. Данная задача является важной задачей современной компьютерной геометрии, имеющей большое количество приложений, связанных, в частности, с развитием и широким внедрением цифровых изображений.

    В 2005-2008 годах Г.В.Носовским совместно с О.Суриной и Д.Лю был разработан метод адаптивной кластеризации множества точек в евклидовом пространстве на основе близости, определяемой евклидовым расстоянием. На основе этого метода был разработан адаптивный алгоритм кластеризации ADACLUS, позволяющий эффективно и без задания, как правило, неизвестных параметров, кластеризовать точки в евклидовом пространстве в случаях существенно изменяющейся плотности – как в кластерах, так и в межкластерной области. Этим он отличается от разработанных ранее алгоритмов, которые плохо работали в условиях неоднородной плотности. Данный алгоритм имеет множество приложений в самых разных областях, в том числе в компьютерной геометрии, особенно в связи с бурно развивающимся в настоящее время поточечным заданием геометрических объектов.

    Г.В.Носовский решил также ряд прикладных задач, связанных с компьютерной геометрией, моделированием диффузионных процессов, кластерным анализом, стохастическими процедурами распознавания, финансовой математикой.

    1. Г.В.Носовский. Оценка модуля характеристической функции целочисленной случайной величины. - Математические заметки, т. 33, вып. 2, 1985, с. 325-333.
    2. Г.В.Носовский. Оценки производных по начальному данному математического ожидания решения стохастического уравнения на многообразии. - Известия АН СССР, сер. матем., 52(1), 1988, с. 164-185.
    3. Nosovskij,G.V. Nonlinear Potentials for Hamilton-Jacobi-Bellman Equations. - Acta Applicandae Mathematicae 30(1993),101-123.
    4. G.V. Nosovskij. Nonlinear Potentials for Hamilton-Jacobi-Bellman Equations.II / Acta Applicandae Mathematicae, vol.46, No.1, 1997, pp.29-48.
    5. T.L.Kunii, G.V.Nosovskij,V.L.Vecherinin. Two-Dimentional Diffusion Model for Diffuse Ink Painting - International Journal of Shape Modelling, vol.7, No.1, 2001, pp.45-58.
    6. G.V.Nosovskiy. Computer Gluing of 2D Projective Images. - Proceedings of the Workshop «Contemporary Geometry and Related Topics», Belgrade, Yugoslavia, 15-21 May, 2002, New Jersey, London, Singapore, «World Scientific»,2004, pp.319-334.
    7. G.V.Nosovskiy. Mathematical Analysis of Stock Market Movement. Proceedings. 2004 International Conference on Cyberworlds. IEEE Computer Society, Los Alamitos, California, USA, 2004, pp.320-322.
    8. А.А.Голованов, Д.П.Ильютко, Г.В.Носовский, А.Т.Фоменко. Компьютерная геометрия: учебное пособие для студентов ВУЗов. - Москва, издательский центр «АКАДЕМИЯ», 2006.
    9. G.V.Nosovskiy, E.S.Skripka. Error Estimation for the Direct Algorithm of Projective Mapping Calculation in Multiple View Geometry. - Proceedings of the Conference «Contemporary Geometry and Related Topics», Belgrade, Serbia&Montenegro, June 26 - July 2, 2005, Faculty of Mathematics, Universty of Belgrade, 2006, pp.399-408.
    10. Gleb V. Nosovskiy, Dongquan Liu, Olga Sourina. Automati clustering and boundary detection algorithm based on adaptive influence function. - Pattern Recognition 41 (2008) 2757-2776.
    11. Liu, D.Q.[Dong-Quan], Nosovskiy, G.V.[Gleb V.], Sourina, O.[Olga], Effective clustering and boundary detection algorithm based on Delaunay triangulation, Pattern Recognition Letters (29), No. 9, 1 July 2008, pp. 1261-1273.
    12. Vladimir V.Kulish, Gleb V.Nosovskiy, Mathematical model for microanalysis of socio-economic behavior, MATHEMATICS IN ENGINEERING, SCIENCE AND AEROSPACE, Vol. 2, No. 2, pp. 173-182, 2011.
    13. Vladimir V.Kulish, Gleb V.Nosovskiy, Applicability of Laplace Transform for fractional PDE with variable rate of derivatives, MATHEMATICS IN ENGINEERING, SCIENCE AND AEROSPACE, Vol.4, No.4, pp.415-27, 2013.

    Дифференциально-геометрические методы в современной математической экономике (В.В.Трофимов, И.М.Никонов)

    Предложено обобщение классической модели монопольного производства на случай $k$-секторной модели. Показано, что функционал, описывающий динамику цен, можно записать в многомерной ситуации, причем он определен на пространстве цепей многообразия цен. Доказано, что в некоторых ситуациях экстремали построенного функционала совпадают с экстремалями функционала длины на римановых многообразиях и получено равенство нулю обобщенных классов Маслова этих экстремалей. Построены классы Маслова подмногообразий в финслеровых пространствах.

    В математической биологии имеется несколько теорий роста. Они позволяют построить широкий класс динамических систем, интересных с точки зрения общей теории дифференциальных уравнений. Предложена визуализация модели биологического роста. Доказано, что биологический рост может быть описан функцией, определенной на клеточном разбиении трехмерного проективного пространства без точки.

    Топологический атлас интегрируемых динамических систем

    Среди проблем, разрабатываемых школой А.Т.Фоменко, одно из первых мест занимает создание «Топологического атласа интегрируемых динамических систем в геометрии, физике и механике».

    Целью этого проекта является во-первых создание по возможности наиболее полного списка известных на сегодняшний день интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы в геометрии, физике и механике, с полным описанием их топологических характеристик таких, как структура слоения фазового пространства на инвариантные торы Лиувилля, типы бифуркаций таких торов и другие топологические инварианты. Второй целью является разработка алгоритмов и программ, позволяющих визуализировать возникающие в этих примерах топологические эффекты, и работать с системами данного класса в интерактивном режиме.

    Алгоритмические и компьютерные методы в топологии, геометрии, физике и механике. Компьютерная геометрия. Математическая теория квантовых компьютеров. Проблемы визуализации математической информации (А.В.Болсинов, В.Л.Голо, А.О.Иванов, Г.В.Носовский, А.А.Ошемков, Ю.П.Соловьев, А.А.Тужилин, А.Т.Фоменко, Д.П.Ильютко, И.М.Никонов)

    Были разработаны компьютерные алгоритмы перечисления топологических инвариантов интегрируемых гамильтоновых систем и составлен список интегрируемых систем и потоков Морса - Смейла малой сложности.

    Разработаны алгоритмы и программы для построения локально-минимальных сетей с заданной границей.

    Развиты алгоритмы компьютерного изучения хаотического поведения в динамике намагниченности в жидком гелии.

    Кафедрой проводилась работа по компьютеризации математического образования и постановке новых курсов геометрии (руководитель -- А.Т. Фоменко).

    Организованы семинары «Квантовый компьютер», «Квантовая механика и квантовые вычисления» по теме «квантовый компьютер», проведена конференция «Рабочее совещание по теме квантовые вычисления», в которой приняли участие сотрудники различных факультетов МГУ а также Института физ. проблем, Института теоретической физики им. Ландау, Института атомной энергии им. Курчатова, СТАНКИНа, Института физики твердого тела.


    Основные книги, опубликованные сотрудниками кафедры.

    На протяжении многих лет сотрудники кафедры дифференциальной геометрии и приложений регулярно издают учебники и монографии по самым разным направлениям современной геометрии и ее приложений. Список некоторых книг по тематике кафедры приведен ниже.

    • Д.Б.Фукс, А.Т.Фоменко, В.Л.Гутенмахер. Гомотопическая топология. - Москва, МГУ, 1969. Английский перевод: Fomenko A.T., Fuchs D.B., Gutenmacher V.L. Homotopic Topology. - Akademiai Kiado, Budapest, 1986. (In English). Японский перевод в 1990 году, в Токио (Япония).
    • С.П.Новиков, А.Т.Фоменко. Дифференциальная геометрия. - Москва, МГУ, 1974.
    • Б.А.Дубровин, С.П.Новиков, А.Т.Фоменко. Современная геометрия. Части 1,2. - Москва, Наука, 1979. Часть 3. - Москва, Наука, 1984. Английский перевод: B.A.Dubrovin, A.T.Fomenko, S.P.Novikov. Modern Geometry. Methods and Applications. Springer-Verlag, GTM 93, Part 1, 1984; GTM 104, Part 2, 1985. Part 3, 1990, GTM 124. Далее последовали: французский, испанский, итальянский переводы.
    • А.С.Мищенко, А.Т.Фоменко. Курс дифференциальной геометрии и топологии. - Москва, МГУ, 1980. Английский перевод: A.Mishchenko, A.Fomenko. A Course of Differential Geometry and Topology. - MIR Publishers, 1988. Второе расширенное и переработанное русское издание Москва, изд-во «Факториал» , 2000.
    • А.С.Мищенко, Ю.П.Соловьев, А.Т.Фоменко. Сборник задач по дифференциальной геометрии. - Москва, МГУ, 1981. Английский перевод: A.S.Mishchenko, Yu.P.Solovyev, A.T.Fomenko. Problems in Differential Geometry and Topology. MIR Publishers, 1985. Готовится к печати новое, существенно расширенное издание.
    • А.Т.Фоменко. Вариационные методы в топологии. - Москва, Наука, 1982. Английский перевод: Fomenko A.T. Variational Principles in Topology. Multidimensional Minimal Surface Theory. Kluwer Acad. Publishers. 1990.
    • А.Т.Фоменко. Дифференциальная геометрия и топология. Дополнительные главы. - Москва, МГУ, 1983. Английский перевод: Fomenko A.T. Differential Geometry and Topology. - Plenum Publ. Corporation. 1987. Ser.Contemporary Soviet Mathematics.Consultants Bureau, New York and London. Японский перевод этой книги сделан в 1996 году, в Токио (Япония).
    • А.Т.Фоменко. Топологические вариационные задачи. - Москва, МГУ, 1984. Английский перевод: Fomenko A.T. Topological variational problems. Gordon and Breach, 1991. Второе русское издание: Ижевск, издательский дом «Удмуртский университет», серия «Регулярная и хаотическая динамика», т.3.
    • Дао Чонг Тхи и А.Т.Фоменко. Минимальные поверхности и проблема Плато. - Москва, Наука, 1987. Английский перевод: Dao Chong Thi, Fomenko A.T. Minimal surfaces and Plateau problem. American Math.Society, 1991.
    • С.П.Новиков, А.Т.Фоменко. Элементы дифференциальной геометрии и топологии. - Москва, Наука, 1987. Английский перевод: Novikov S.P., Fomenko A.T. The basic elements of differential geometry and topology. Kluwer Acad. Publishers, 1990.
    • Fomenko A.T., Trofimov V.V., Integrable systems on Lie algebras and symmetric spaces.- Gordon and Breach, 1987. (In English)
    • A.O. Ivanov, A,A, Tuzhilin. The Steiner peoblem and its generalizations. CRC Press, 1994.
    • А.Т.Фоменко. Симплектическая геометрия. Методы и приложения. - Москва, МГУ, 1988. Английский перевод: Fomenko A.T. Symplectic Geometry. Methods and Applications. - Gordon and Breach , 1988. Second edition 1995.
    • Fomenko A.T. Integrability and Nonintegrability in Geometry and Mechanics. - Kluwer Academic Publishers, 1988. (In English)
    • А.Т.Фоменко, Д.Б.Фукс. Курс гомотопической топологии. - Москва, Наука, 1989. Английский перевод: Fomenko A.T., Fuchs D.B. Course of Homotopic Topology.
    • В.В. Трофимов. Введение в геометрию многообразий с симметриями. Москва, Изд-во МГУ, 1989.
    • V.V. Trofimov. Introduction to Geometry of Manifolds with Symmetry. Kluwer, 1989.
    • Fomenko A.T. The Plateau Problem. vols.1,2. Gordon and Breach, 1990. (Studies in the Development of Modern Mathematics).(In English)
    • Fomenko A.T. Mathematical Impressions. American Math. Society, 1990. (In English)
    • А.А.Тужилин, А.Т.Фоменко. Элементы геометрии и топологии минимальных поверхностей. - Москва, Наука, 1991. Английский перевод: Fomenko A.T., Tuzhilin A.A. Elements of the Geometry of Minimal Surfaces in Three-Dimensional Space. - American Math.Soc. in: Translation of Mathematical Monographs. vol.93, 1991.
    • А.Т.Фоменко. Наглядная геометрия и топология. Математические образы в реальном мире. - Москва, МГУ, 1993. Второе переработанное издание в 1998 году. Английский перевод: Fomenko A.T. Visual Geometry and Topology. Springer-Verlag, 1994.
    • В.В.Трофимов, А.Т.Фоменко. Алгебра и геометрия интегрируемых гамильтоновых дифференциальных уравнений. - Москва. Изд-во «Факториал». Изд-во Удмуртского гос.уни-та «Просперус», 1995.
    • Ю.П. Соловьев, Е.В. Троицкий. С*-алгебры и эллиптические операторы в дифференциальной топологии. Москва, «Факториал», 1996.
    • Ю.П. Соловьев, В.В. Прасолов. Эллиптические функции и алгебраические уравнения. Москва, «Факториал», 1997.
    • С.В.Матвеев, А.Т.Фоменко. Алгоритмические и компьютерные методы в трехмерной топологии. - Москва, МГУ, 1991. Английский перевод: Fomenko A.T., Matveev S.V. Algorithmic and Computer Methods in Three-Manifolds. Kluwer Academic Publishers, The Netherlands, 1997. Второе переработанное и дополненное русское издание: Москва, Наука, 1997.
    • A.T.Fomenko, T.L.Kunii. Topological Modeling for Visualization. - Springer-Verlag, 1997.
    • А.В.Болсинов, А.Т.Фоменко. Введению в топологию интегрируемых гамильтоновых систем. - Москва, изд-во Наука, 1997.
    • «Топологические методы в теории гамильтоновых систем». Сборник научных работ. Под редакцией А.В.Болсинова, А.Т.Фоменко, А.И.Шафаревича. - Москва, изд-во Факториал, 1998.
    • Tensor and Vector Anaysis. Geometry, Mechanics and Physics. Edited by A.T. Fomenko, O.V. Manturov, V.V. Trofimov. Gordon and Breach, 1998.
    • А.В.Болсинов, А.Т.Фоменко. Геометрия и топология интегрируемых геодезических потоков на поверхностях. - Москва, изд-во УРСС, 1999. Серия: Библиотека «Регулярная и хаотическая динамика», том 2.
    • А.В.Болсинов, А.Т.Фоменко. Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия. Топология. Классификация. Тома 1-2. Издательский дом «Удмуртский университет», редакция журнала «Регулярная и хаотическая динамика», 1999. Английский перевод: A.V.Bolsinov and A.T.Fomenko. «Integrable Hamiltonian Systems. Geometry, Topology, Classification». (Монография). - CHAPMAN & HALL/CRC. A CRC Press Company, Boca Raton, London, New York, Washington, D.C. USA, 2004.
    • А.О. Иванов, А.А. Тужилин. Разветвленные геодезические. Геометрическая теория локально минимальных сетей. USA, Edwin Mellen Press, 1999.
    • Bolsinov A.V., Fomenko A.T. Integrable geodesic flows on two-dimensional surfaces. Monographs in Contemporary Mathematics. Plenum Acad. Publ., New York, 2000.
    • Ivanov A. O. and Tuzhilin A. A. (2000) {\it Branching Solutions to One-Dimensional Variational Problems}, Singapore, New Jersey, London, Hong Kong, World Scientific Publishers.
    • Фоменко А.Т. Математика и миф сквозь призму геометрии. - Москва, изд-во Московского университета, 2001 г.
    • A.V.Bolsinov, A.T.Fomenko, A.A.Oshemkov. «Topological Methods in the Theory of Integrable Hamiltonian systems». (Монография). - Cambridge Scientific Publishers, 2006.
    • Н.Н.Голованов, Д.П.Ильютко, Г.В.Носовский, А.Т.Фоменко. «Компьютерная геометрия». Университетский учебник. Серия: Прикладная математика и информатика. - Москва, издательский центр «Академия», 2006.
    • A.T.Fomenko and A.S.Mishchenko. «A Short Course in Differential Geometry and Topology». (Учебник). - Cambridge Scientific Publishers, England, 2009. Объем 273 стр. Это - английский перевод книги: А.С.Мищенко, А.Т.Фоменко. Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии. - Москва, изд-во «Физико-математическая литература», МАИК «Наука/Интерпериодика», 2004.
    • А.С.Мищенко, А.Т.Фоменко. «Курс дифференциальной геометрии и топологии». (Учебник). Издание третье, переработанное и дополненное. Санкт-Петербург, Москва, Краснодар, изд-во Лань, 2010.
    • А.О.Иванов, Д.П.Ильютко, Г.В.Носовский, А.А.Тужилин, А.Т.Фоменко. «Компьютерная геометрия: практикум». - Учебное пособие. В серии: Основы информатики и математики. Москва, изд-во Интернет-Университет Информационных Технологий. 2010.
    • A.T.Fomenko, A.S.Mishchenko, Yu.P.Solovyev. «Selected Problems in Differential Geometry and Topology». - CSP - Cambridge Scientific Publishers, UK, 2013.
    • V.O.Manturov, D.P.Ilyutko. «Virtual Knots. The State of the Art». New Jersey: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. SERIES ON KNOTS AND EVERYTHING: Vol. 51. 2013.