Данный курс представляет собой обзор современной теории узлов и ее связей с маломерной и алгебраической топологией. С полными доказательствами приводятся ключевые теоремы теории узлов, строятся скейн-инварианты, теория линк-гомотопий Милнора, инварианты Васильева (и интеграл Концевича), теория гомологий Хованова. Приводятся алгоритмы распознавания кос.

Программа осеннего семестра:

1. Узлы, движение Рейдемейстера и простейшие инварианты
2. Скобка Кауфмана и полином Джонса
3. Группа узла
4. Почти полный инвариант узлов – дистрибутивный группоид
5. Раскраски узлов и скейн-алгебры
6. Арифметика узлов и поверхности Зейферта
7. Косы, теорема Александера и движения Маркова
8. Инварианты Васильева и алгебры хордовых диаграмм
9. Интеграл Концевича

Программа весеннего семестра:

1. Гомологии Хованова.
2. Инвариант Расмуссена.
3. Виртуальные узлы и их простейшие инварианты.
4. Гомологии Хованова для виртуальных узлов.
5. 3-многообразия. Теорема Хегора. Исчисление Кирби.
6. Алгебра Темперли-Либа. Инварианты Джонса-Виттена.
7. Лежандровы узлы. Классические инварианты. Дифференциальные градуированные алгебры.
8. Инварианты Ожвата-Сабо узлов и трехмерных многообразий.

Литература: В.О. Мантуров, Теория узлов, РХД, 2005.

Слайды лекций:

• Лекция 1. Узлы, движение Рейдемейстера и простейшие инварианты
• Лекция 2. Скобка Кауфмана и полином Джонса
• Лекция 3. Фундаментальная группа и группа узла
• Лекция 4. Фундаментальный группоид (квандл) - почти полный инвариант узлов
• Лекция 5. Инварианты крашеных узлов, алгебры Конвея и скейн-инварианты
• Лекция 6. Арифметика узлов и поверхности Зейферта
• Лекция 7. Группа кос
• Лекция 8. Теорема Маркова
• Лекция 9. Инварианты Васильева
• Лекция 10. Алгебра хордовых диаграмм
• Лекция 11. Интеграл Концевича
• Лекция 12. Гомологии Хованова
• Лекция 13. Гомологии Ли
• Лекция 14. Инвариант Расмуссена
• Лекция 15. 3-многообразия и исчисление Кирби
• Лекция 16. Инварианты Виттена-Решетихина-Тураева
• Лекция 17. Лежандровы узлы

Видеозапись лекций В.О.Мантурова по курсу "Теория узлов"