DiffGeom Logo
 
О кафедре
История кафедры
Фотоальбом
Сотрудники
Наши студенты
Наши аспиранты
Научная работа
Научные достижения
Лаборатория компьютерных методов
Digital Vision Laboratory
Где работают наши выпускники
Международные и внутри-российские связи кафедры
Публикации
Наши книги
Наши статьи
Диссертации
Работы студентов
Студентам
Спецкурсы
Спецсеминары
Учебные материалы
Задачи для исследования
Олимпиада кафедры
Наглядная и компью­терная геометрия и топология
Геометрические сюжеты
Энциклопедические статьи
Задать вопрос


Научные интересы

А.А.Тужилин является известным в нашей стране и за рубежом специалистом в области топологического вариационного исчисления, теории экстремальных сетей, в частности, разветвленных геодезических и проблемы Штейнера, теории графов, компьютерной геометрии. Его кандидатская диссертация «Исследование глобальных свойств минимальных поверхностей, их индексов» (научный руководитель: А.Т.Фоменко), защищенная на механико-математическом факультете МГУ в 1990 году, посвящена изучению индексов типа Морса двумерных минимальных поверхностей. А.А.Тужилин разработал эффективные методы вычисления индексов двумерных минимальных поверхностей в трехмерном евклидовом пространстве в терминах представления Вейерштрасса, что позволило получить конкретные значения для индексов всех классических двумерных минимальных поверхностей. Кроме того, А.А.Тужилин исследовал устойчивость катеноидов в трехмерном пространстве Лобачевского. Полученные А.А.Тужилиным новые результаты вызвали большой интерес у специалистов как в СССР, так и за рубежом.

В дальнейшем научные интересы А.А.Тужилина сконцентрировались в области известной проблемы Штейнера (одномерный аналог проблемы Плато) и ее обобщений. А.А.Тужилин — один из авторов теории разветвленных экстремалей одномерных вариационных задач. Эта теория возникла на стыке дифференциальной геометрии, вариационного исчисления и теории графов при попытке найти геометрический подход к решению проблемы Штейнера. Она дала возможность обнаружить ряд новых геометрических эффектов, найти взаимосвязи между геометрией граничных множеств и топологией экстремальных сетей, между структурой экстремальных сетей и метрическими и топологическими характеристиками объемлющего многообразия. К возможным приложениям теории разветвленных экстремалей относятся транспортные задачи, молекулярная биология, теория эволюции, математическая экономика и пр. Эта тематика легла в основу докторской диссертации А.А.Тужилина «Классификация локально минимальных плоских сетей с выпуклыми границами», защищенной на механико-математическом факультете МГУ в 1997 году.

Перечислим важнейшие результаты А.А.Тужилина (часть которых получена совместно с А.О.Ивановым, С.Илиадисом и учениками).

  • Классификация плоских локально минимальных бинарных деревьев с выпуклой границей. Разработан оригинальный язык так называемых паркетов, на котором удалось получить эффективное описание возможных структур локально минимальных бинарных деревьев, позволившее доказать ряд нетривиальных результатов о геометрии минимальных бинарных деревьев с выпуклыми границами.
  • Описание локальной структуры локально минимальных сетей на римановых многообразиях. Рассмотрено два основных класса допустимых деформаций сетей (так называемые параметрические сети и сети-следы) и для каждого из них описана локальная структура соответствующих экстремалей.
  • Доказаны теоремы существования экстремальных сетей на римановых многообразиях.
  • Получена классификация замкнутых локально минимальных сетей на замкнутых поверхностях неотрицательной кривизны. Оказалось, что типы таких сетей классифицируются фактор пространством целочисленных матриц по действию некоторой циклической группы порядка 6. Полученные результаты, в частности, позволяют для каждого рассматриваемого многообразия получить полный список возможных топологий замкнутых минимальных сетей.
  • Получены ограничения на возможную топологию плоского локально минимального бинарного дерева в терминах количества уровней выпуклости его граничного множества. Более того, оказалось, что эти результаты обобщаются на случай обычных плоских линейных деревьев (без каких бы то ни было предположений об экстремальности) и их так называемых геометрических границ.
  • Получено описание пространства локально минимальных сетей заданной топологии с данной границей в многомерном пространстве. Показано, что это пространство представляет собой многогранное множество, размерность которого может быть вычислена в терминах заданной топологии сети.
  • Описана структура экстремальных сетей на манхеттенской плоскости и в других нормированных пространствах. Оказалось, что в случае нормированных пространств класс локально минимальных сетей и класс экстремальных сетей отличаются друг от друга. Для манхеттенской плоскости получен критерий экстремальности локально минимальной сети.
  • Построена теория разветвленных экстремалей функционалов типа Лагранжа. Для таких экстремалей описана локальная структура и доказаны теоремы существования.
  • Получена оценка на отношение Штейнера произвольного риманова многообразия в терминах отношения Штейнера евклидова пространства.
  • Вычислены отношения Штейнера плоских торов, плоских бутылок Клейна, проективной плоскости в терминах отношения Штейнера евклидовой плоскости.
  • Доказана дифференцируемость по направлениям и получены явные формулы для производных функций длины минимального остовного дерева, кратчайшего дерева и отношения Штейнера на римановых многообразиях как функций граничного множества. Найден критерий экстремальности граничного множества для отношения Штейнера.
  • Изучение погруженных многоугольников, т.е. кусочно-аффинных отображений обычного плоского многоугольника в плоскость. Показано, что погруженный многоугольник допускает диагональную триангуляцию. Доказано, что замыкание произвольной монотонной ломаных представляет собой границу некоторого погруженного многоугольника.
  • Описаны счетные подмножества метрического пространства, допускающие соединение деревом конечной длины. Полученный критерий, в частности, позволяет вычислить длину минимального остовного дерева как интеграл от некоторой вещественной функции, построенной по граничному множеству.
  • Доказательство единственности кратчайшего дерева на евклидовой плоскости для граничных множеств общего положения.
  • Доказана теорема о стабилизации локально минимальной сети, состоящая в том, что при добавлении на ребра локально-минимального дерева достаточного числа граничных вершин дерево превращается в кратчайшее.
  • Получено общение формулы Максвелла, вычисляющей длину плоского локально минимального бинарного дерева.
  • Описаны малые окрестности лунок плоских минимальных деревьев Штейнера. В частности, получено обобщение теоремы стабилизации на случай двух непересекающихся локально минимальных деревьев (совместно с О.Съединой).
  • Написана программа моделирования химической лаборатории живой клетки (первая версия этой программы была разработана профессором А.С.Мищенко).
  • Предложен геометрический подход к исследованию конформации полимеров в терминах кривизны и кручения характеризующих эти конформации ломаных линий.
  • Написана программа моделирования возникновения и эволюции тканей в живых организмах.
  • Создана новая математическая теория, возникшая на стыке теории экстремальных сетей и теории минимальных заполнений Громова.
  • Найдены условия существования минимального остовного дерева для бесконечных границ.
  • Разработаны основы теории, описывающей минимальные сети Штейнера в пространствах компактных подмножеств метрических пространств с метриками Хаусдорфа. Приведен нетривиальный пример решения проблемы Штейнера для границы, составленной из трех пар точек евклидовой плоскости: в каждую такую пару входит вершина некоторого фиксированного правильного треугольника и точка, полученная из нее поворотом на 60 градусов относительно центра треугольника (совместно с А.Тропиным).
  • Доказано, что метрика Громова-Хаусдорфа, ограниченная на множество классов изометрии компактных метрических пространств (метрика пространства Громова--Хаусдорфа), является строго внутренней, т.е. любые две точки пространства Громова-Хаусдорфа соединяются кратчайшей кривой, длина которой равна расстоянию между ее концами (совместно с Н.Николаевой).
  • Доказано, что расстояние Громова-Хаусдорфа между компактными метрическими пространствами достигается как на некотором соответствии, так и на некоторой псевдометрике, заданной на дизъюнктном объединение этих пространств и продолжающей метрики этих пространств.
  • Доказано, что каждое конечное подмножество пространства Громова-Хаусдорфа, состоящее из конечных метрических пространств, соединяется некоторым кратчайшим деревом, причем это дерево можно выбрать так, чтобы все его точки Штейнера были конечными метрическими пространствами (совместно с Н.Николаевой).
  • Доказано, что каждое конечное метрическое пространство изометрично вкладывается в пространство Громова-Хаусдорфа.
  • Для пространства Громова-Хаусдорфа вычислены отношение Штейнера и отношение Штейнера-Громова; суботношение Штейнера оценено сверху (оно оказалось меньше 1).
  • Доказано, что длины ребер минимального остовного дерева, построенного на конечном метрическом пространстве, равны расстояниям Громова-Хаусдорфа от этого пространства до соответствующих симплексов.

А.А.Тужилин является одним из создателей и руководителей научного семинара по теории экстремалей геометрических вариационных задач и метрической геометрии, работающего на механико-математическом факультете МГУ. Руководит курсовыми, дипломными и диссертационными работами. Под руководством А.А.Тужилина защищены 5 кандидатских диссертаций:

Некоторые темы курсовых и дипломных работ, выполненных под руководством А.А.Тужилина:

  • «Локально минимальные сети на римановых многообразиях»
  • «Теория Морса плоских локально минимальных деревьев»
  • «Геометрия локально минимальных и экстремальных сетей в пространствах с нормами»
  • «Проблема Штейнера с частично свободной границей»
  • «Аффинное преобразование пространства и скалярная кривизна поверхностей»
  • «Исследование проблемы Штейнера на гексагональной плоскости»
  • «Замкнутые локально-минимальные сети на тетраэдрах»
  • «Локальная структура лунок кратчайших сетей»
  • «Число скрещивания в конечном графе»
  • «Непериодические живые траектории дискретных динамических систем, моделирующих клеточный цикл»
  • «Построение динамической модели графа молекулярных взаимодействий»
  • «Анализ временных рядов, возникающих при моделировании клеточного цикла»
  • «Математическое моделирование синтеза белка в живой клетке и приложение к исследованию генно-белковых сетей»
  • «Реконструкция филогенетического дерева по множеству поддеревьев, порожденных четверками его висячих вершин»
  • «Моделирование пространственной структуры полимеров»
  • «Тестирование модели аттенюаторной классической регуляции экспрессии генов у бактерий»
  • «Бифуркации замкнутых минимальных сетей на плоских торах при деформации их метрик»
  • «Треугольные паркеты для взвешенных бинарных деревьев»
  • «Замкнутые минимальные сети на поверхности куба»
  • «Свойства замкнутых локально-минимальных сетей с одной ячейкой на двумерных поверхностях постоянной отрицательной кривизны»
  • «Задача Ферма на три-плоскости»
  • «Алгоритм Мелзака на три-плосоксти»
  • «Замкнутые локально-минимальные сети на выпуклых многогранниках»
  • «Суботношение Штейнера и отношение Штейнера-Громова евклидовой плоскости»
  • «Стабилизация вдоль регулярной кривой»
  • «Стабилизация локально минимального леса»
  • «Топологические свойства веса минимального заполнения»
  • «Проблема Штейнера в пространстве с метрикой Хаусдорфа»
  • «Проблема Штейнера для правильного многоугольника на плоскости Лобачевского»
  • «Проблема Штейнера для правильного многоугольника на сфере»
  • «Минимальные заполнения для правильного многоугольника на евклидовой плоскости»
  • «Построение локально минимальных сетей с помошью шарнирных механизмов»
  • «Преобразования метрики, сохраняющие типы минимальных заполнений»
  • «Единственность решения проблемы Штейнера для границ общего положения»

А.А.Тужилин также интересуется молекулярной биологией и биоинформатикой. Совместно с профессорами механико-математического факультета МГУ А.О.Ивановым и А.С.Мищенко, он неоднократно читал спецкурс по приложениям геометрии к биоинформатике для студентов этого факультета. Был руководителем одной из групп в совместном проекте РФФИ-НЦНИ по разработке математических методов идентификации структур больших молекул. А.А.Тужилин является одним из руководителей научного семинара, посвященного проблемам математического моделирования в биологии, сотрудничает со специалистами из Российского научного центра рентгенорадиологии.

А.А.Тужилин ведет активную педагогическую деятельность. Он читает обязательный курс «Наглядная геометрия и топология» на механико-математическом факультете МГУ, является автором учебного пособия «Лекции по классической дифференциальной геометрии» (совместно с А.О.Ивановым). А.А.Тужилин читает специальные курсы, принимает участие в руководстве несколькими научными семинарами, в работе экзаменационных комиссий. А.А.Тужилин — один из создателей практикума по компьютерной геометрии для студентов механико-математического факультета МГУ.

Назад Дальше