Тужилин А.А. / Кафедра Дифференциальной геометрии и приложений /

А.А.Тужилин является известным в нашей стране и за рубежом специалистом в области топологического вариационного исчисления, теории экстремальных сетей, в частности, разветвленных геодезических и проблемы Штейнера, теории графов, компьютерной геометрии. Его кандидатская диссертация «Исследование глобальных свойств минимальных поверхностей, их индексов» (научный руководитель: А.Т.Фоменко), защищенная на механико-математическом факультете МГУ в 1990 году, посвящена изучению индексов типа Морса двумерных минимальных поверхностей. А.А.Тужилин разработал эффективные методы вычисления индексов двумерных минимальных поверхностей в трехмерном евклидовом пространстве в терминах представления Вейерштрасса, что позволило получить конкретные значения для индексов всех классических двумерных минимальных поверхностей. Кроме того, А.А.Тужилин исследовал устойчивость катеноидов в трехмерном пространстве Лобачевского. Полученные А.А.Тужилиным новые результаты вызвали большой интерес у специалистов как в СССР, так и за рубежом.

В дальнейшем научные интересы А.А.Тужилина сконцентрировались в области известной проблемы Штейнера (одномерный аналог проблемы Плато) и ее обобщений. А.А.Тужилин — один из авторов теории разветвленных экстремалей одномерных вариационных задач. Эта теория возникла на стыке дифференциальной геометрии, вариационного исчисления и теории графов при попытке найти геометрический подход к решению проблемы Штейнера. Она дала возможность обнаружить ряд новых геометрических эффектов, найти взаимосвязи между геометрией граничных множеств и топологией экстремальных сетей, между структурой экстремальных сетей и метрическими и топологическими характеристиками объемлющего многообразия. К возможным приложениям теории разветвленных экстремалей относятся транспортные задачи, молекулярная биология, теория эволюции, математическая экономика и пр. Эта тематика легла в основу докторской диссертации А.А.Тужилина «Классификация локально минимальных плоских сетей с выпуклыми границами», защищенной на механико-математическом факультете МГУ в 1997 году.

Перечислим важнейшие результаты А.А.Тужилина (часть которых получена совместно с А.О.Ивановым, С.Илиадисом и учениками).

Классификация плоских локально минимальных бинарных деревьев с выпуклой границей. Разработан оригинальный язык так называемых паркетов, на котором удалось получить эффективное описание возможных структур локально минимальных бинарных деревьев, позволившее доказать ряд нетривиальных результатов о геометрии минимальных бинарных деревьев с выпуклыми границами.
Описание локальной структуры локально минимальных сетей на римановых многообразиях. Рассмотрено два основных класса допустимых деформаций сетей (так называемые параметрические сети и сети-следы) и для каждого из них описана локальная структура соответствующих экстремалей.
Доказаны теоремы существования экстремальных сетей на римановых многообразиях.
Получена классификация замкнутых локально минимальных сетей на замкнутых поверхностях неотрицательной кривизны. Оказалось, что типы таких сетей классифицируются фактор пространством целочисленных матриц по действию некоторой циклической группы порядка 6. Полученные результаты, в частности, позволяют для каждого рассматриваемого многообразия получить полный список возможных топологий замкнутых минимальных сетей.
Получены ограничения на возможную топологию плоского локально минимального бинарного дерева в терминах количества уровней выпуклости его граничного множества. Более того, оказалось, что эти результаты обобщаются на случай обычных плоских линейных деревьев (без каких бы то ни было предположений об экстремальности) и их так называемых геометрических границ.
Получено описание пространства локально минимальных сетей заданной топологии с данной границей в многомерном пространстве. Показано, что это пространство представляет собой многогранное множество, размерность которого может быть вычислена в терминах заданной топологии сети.
Описана структура экстремальных сетей на манхеттенской плоскости и в других нормированных пространствах. Оказалось, что в случае нормированных пространств класс локально минимальных сетей и класс экстремальных сетей отличаются друг от друга. Для манхеттенской плоскости получен критерий экстремальности локально минимальной сети.
Построена теория разветвленных экстремалей функционалов типа Лагранжа. Для таких экстремалей описана локальная структура и доказаны теоремы существования.
Получена оценка на отношение Штейнера произвольного риманова многообразия в терминах отношения Штейнера евклидова пространства.
Вычислены отношения Штейнера плоских торов, плоских бутылок Клейна, проективной плоскости в терминах отношения Штейнера евклидовой плоскости.
Доказана дифференцируемость по направлениям и получены явные формулы для производных функций длины минимального остовного дерева, кратчайшего дерева и отношения Штейнера на римановых многообразиях как функций граничного множества. Найден критерий экстремальности граничного множества для отношения Штейнера.
Изучение погруженных многоугольников, т.е. кусочно-аффинных отображений обычного плоского многоугольника в плоскость. Показано, что погруженный многоугольник допускает диагональную триангуляцию. Доказано, что замыкание произвольной монотонной ломаных представляет собой границу некоторого погруженного многоугольника.
Описаны счетные подмножества метрического пространства, допускающие соединение деревом конечной длины. Полученный критерий, в частности, позволяет вычислить длину минимального остовного дерева как интеграл от некоторой вещественной функции, построенной по граничному множеству.
Доказательство единственности кратчайшего дерева на евклидовой плоскости для граничных множеств общего положения.
Доказана теорема о стабилизации локально минимальной сети, состоящая в том, что при добавлении на ребра локально-минимального дерева достаточного числа граничных вершин дерево превращается в кратчайшее.
Получено общение формулы Максвелла, вычисляющей длину плоского локально минимального бинарного дерева.
Описаны малые окрестности лунок плоских минимальных деревьев Штейнера. В частности, получено обобщение теоремы стабилизации на случай двух непересекающихся локально минимальных деревьев (совместно с О.Съединой).
Написана программа моделирования химической лаборатории живой клетки (первая версия этой программы была разработана профессором А.С.Мищенко).
Предложен геометрический подход к исследованию конформации полимеров в терминах кривизны и кручения характеризующих эти конформации ломаных линий.
Написана программа моделирования возникновения и эволюции тканей в живых организмах.
Создана новая математическая теория, возникшая на стыке теории экстремальных сетей и теории минимальных заполнений Громова.
Найдены условия существования минимального остовного дерева для бесконечных границ.
Разработаны основы теории, описывающей минимальные сети Штейнера в пространствах компактных подмножеств метрических пространств с метриками Хаусдорфа. Приведен нетривиальный пример решения проблемы Штейнера для границы, составленной из трех пар точек евклидовой плоскости: в каждую такую пару входит вершина некоторого фиксированного правильного треугольника и точка, полученная из нее поворотом на 60 градусов относительно центра треугольника (совместно с А.Тропиным).
Доказано, что метрика Громова-Хаусдорфа, ограниченная на множество классов изометрии компактных метрических пространств (метрика пространства Громова--Хаусдорфа), является строго внутренней, т.е. любые две точки пространства Громова-Хаусдорфа соединяются кратчайшей кривой, длина которой равна расстоянию между ее концами (совместно с Н.Николаевой).
Доказано, что расстояние Громова-Хаусдорфа между компактными метрическими пространствами достигается как на некотором соответствии, так и на некоторой псевдометрике, заданной на дизъюнктном объединение этих пространств и продолжающей метрики этих пространств.
Доказано, что каждое конечное подмножество пространства Громова-Хаусдорфа, состоящее из конечных метрических пространств, соединяется некоторым кратчайшим деревом, причем это дерево можно выбрать так, чтобы все его точки Штейнера были конечными метрическими пространствами (совместно с Н.Николаевой).
Доказано, что каждое конечное метрическое пространство изометрично вкладывается в пространство Громова-Хаусдорфа.
Для пространства Громова-Хаусдорфа вычислены отношение Штейнера и отношение Штейнера-Громова; суботношение Штейнера оценено сверху (оно оказалось меньше 1).
Доказано, что длины ребер минимального остовного дерева, построенного на конечном метрическом пространстве, равны расстояниям Громова-Хаусдорфа от этого пространства до соответствующих симплексов.
Доказано, что группа изометрий пространства Громова-Хаусдорфа тривиальна.

А.А.Тужилин является одним из создателей и руководителей научного семинара по теории экстремалей геометрических вариационных задач и метрической геометрии, работающего на механико-математическом факультете МГУ. Руководит курсовыми, дипломными и диссертационными работами. Под руководством А.А.Тужилина защищены 5 кандидатских диссертаций:

«Замкнутые локально минимальные сети на замкнутых двумерных поверхностях постоянной гауссовой кривизны»
«Теория Морса минимальных сетей»
«Геометрия локально минимальных и экстремальных сетей в пространствах с нормами»
«Многомерные многогранники-следы и геометрические вариационные задачи»
«Минимальные сети на поверхностях многогранников»

Некоторые темы курсовых и дипломных работ, выполненных под руководством А.А.Тужилина:

«Локально минимальные сети на римановых многообразиях»
«Теория Морса плоских локально минимальных деревьев»
«Геометрия локально минимальных и экстремальных сетей в пространствах с нормами»
«Проблема Штейнера с частично свободной границей»
«Аффинное преобразование пространства и скалярная кривизна поверхностей»
«Исследование проблемы Штейнера на гексагональной плоскости»
«Замкнутые локально-минимальные сети на тетраэдрах»
«Локальная структура лунок кратчайших сетей»
«Число скрещивания в конечном графе»
«Непериодические живые траектории дискретных динамических систем, моделирующих клеточный цикл»
«Построение динамической модели графа молекулярных взаимодействий»
«Анализ временных рядов, возникающих при моделировании клеточного цикла»
«Математическое моделирование синтеза белка в живой клетке и приложение к исследованию генно-белковых сетей»
«Реконструкция филогенетического дерева по множеству поддеревьев, порожденных четверками его висячих вершин»
«Моделирование пространственной структуры полимеров»
«Тестирование модели аттенюаторной классической регуляции экспрессии генов у бактерий»
«Бифуркации замкнутых минимальных сетей на плоских торах при деформации их метрик»
«Треугольные паркеты для взвешенных бинарных деревьев»
«Замкнутые минимальные сети на поверхности куба»
«Свойства замкнутых локально-минимальных сетей с одной ячейкой на двумерных поверхностях постоянной отрицательной кривизны»
«Задача Ферма на три-плоскости»
«Алгоритм Мелзака на три-плосоксти»
«Замкнутые локально-минимальные сети на выпуклых многогранниках»
«Суботношение Штейнера и отношение Штейнера-Громова евклидовой плоскости»
«Стабилизация вдоль регулярной кривой»
«Стабилизация локально минимального леса»
«Топологические свойства веса минимального заполнения»
«Проблема Штейнера в пространстве с метрикой Хаусдорфа»
«Проблема Штейнера для правильного многоугольника на плоскости Лобачевского»
«Проблема Штейнера для правильного многоугольника на сфере»
«Минимальные заполнения для правильного многоугольника на евклидовой плоскости»
«Построение локально минимальных сетей с помошью шарнирных механизмов»
«Преобразования метрики, сохраняющие типы минимальных заполнений»
«Единственность решения проблемы Штейнера для границ общего положения»
«Минимальные деревья Штейнера в малых окрестностях точек римановых многообразий»
«Проблема Штейнера в пространстве Громова-Хаусдорфа: случай трехточечных метрических пространств»
«Оптимальное положение компактов в пространствах с евклидово инвариантной метрикой Громова-Хаусдорфа»
«Линейная связность сферы в пространстве Громова-Хаусдорфа»
«Выпуклость шара в пространстве Громова-Хаусдорфа»
«Свойства отображения, сопоставляющего каждому метрическому компакту семейство его непустых компактных подмножеств»
«Некомпактность сегмента в пространстве Громова-Хаусдорфа»
«Проблема Штейнера в пространстве с евклидово инвариантной метрикой Громова-Хаусдорфа»
«Вычисление расстояния Громова–Хаусдорфа до симплекса»

А.А.Тужилин также интересуется молекулярной биологией и биоинформатикой. Совместно с профессорами механико-математического факультета МГУ А.О.Ивановым и А.С.Мищенко, он неоднократно читал спецкурс по приложениям геометрии к биоинформатике для студентов этого факультета. Был руководителем одной из групп в совместном проекте РФФИ-НЦНИ по разработке математических методов идентификации структур больших молекул. А.А.Тужилин является одним из руководителей научного семинара, посвященного проблемам математического моделирования в биологии, сотрудничает со специалистами из Российского научного центра рентгенорадиологии.

А.А.Тужилин ведет активную педагогическую деятельность. Он читает обязательный курс «Наглядная геометрия и топология» на механико-математическом факультете МГУ, является автором учебного пособия «Лекции по классической дифференциальной геометрии» (совместно с А.О.Ивановым). А.А.Тужилин читает специальные курсы, принимает участие в руководстве несколькими научными семинарами, в работе экзаменационных комиссий. А.А.Тужилин — один из создателей практикума по компьютерной геометрии для студентов механико-математического факультета МГУ.

В последнее время А.А.Тужилин, совместно с А.О.Ивановым, каждый год создает и читает новый спецкурс. Здесь можно посмотреть соответствующие материалы.