А.О.Иванов является известным в нашей стране и за рубежом специалистом в области топологического вариационного исчисления, теории экстремальных сетей, в частности, разветвленных геодезических и проблемы Штейнера, теории графов, компьютерной геометрии. Его кандидатская диссертация «Минимальные поверхности и формы калибровки» (научный руководитель: А.Т.Фоменко) посвящена изучению особенностей многомерных минимальных поверхностей с симметриями. А.О.Иванову удалось эффективно применить методы форм калибровки, созданные известными американскими специалистами Р.Харви и Х.Б.Лоусоном, к случаю многообразий с симметриями. Построенные им новые примеры глобально минимальных конусов большой коразмерности вызвали большой интерес у специалистов по многомерной проблеме Плато.

В дальнейшем научные интересы А.О.Иванова сконцентрировались в области известной проблемы Штейнера (одномерный аналог проблемы Плато) и ее обобщений. А.О.Иванов — один из авторов теории разветвленных экстремалей одномерных вариационных задач. Эта теория возникла на стыке дифференциальной геометрии, вариационного исчисления и теории графов при попытке найти геометрический подход к решению проблемы Штейнера. Она дала возможность обнаружить ряд новых геометрических эффектов, найти взаимосвязи между геометрией граничных множеств и топологией экстремальных сетей, между структурой экстремальных сетей и метрическими и топологическими характеристиками объемлющего многообразия. К возможным приложениям теории разветвленных экстремалей относятся транспортные задачи, молекулярная биология, теория эволюции, математическая экономика, теория нано-систем и пр.

Среди важнейших результатов А.О.Иванова (часть которых получена совместно с А.А.Тужилиным):

• классификация плоских локально минимальных бинарных деревьев с выпуклой границей;
• описание локальной структуры локально минимальных сетей на римановых многообразиях;
• классификация замкнутых локально минимальных сетей на замкнутых поверхностях неотрицательной кривизны;
• ограничения на возможную топологию плоского локально минимального бинарного дерева в терминах количества уровней выпуклости его граничного множества;
• описание пространства локально минимальных сетей заданной топологии с данной границей в многомерном пространстве;
• построение теории разветвленных экстремалей функционалов типа Лагранжа;
• описание структуры экстремальных сетей на манхеттенской плоскости и в других нормированных пространствах;
• оценка на отношение Штейнера произвольного риманова многообразия в терминах отношения Штейнера евклидова пространства;
• вычисление отношения Штейнера плоских торов, плоских бутылок Клейна, проективной плоскости;
• изучение погруженных многоугольников, построение их диагональных триангуляций;
• описание счетных подмножеств метрического пространства, допускающих соединение деревом конечной длины;
• доказательство единственности кратчайшего дерева на евклидовой плоскости для граничных множеств общего положения;
• теорема о возможности превратить локально минимальное дерево в кратчайшее, добавляя граничные вершины и не меняя дерево как подмножество пространства;
• метод описания и моделирования конформаций биополимеров, основанного на дискретных аналогах кривизны и кручения ломаных, описывающих структуру рассматриваемых молекул;
• новая формула для вычисления длины экстремальной фиксированной топологии на данном граничном множестве, обобщающая известную формулу Максвелла.

Эти и другие результаты А.О.Иванова хорошо известны как у нас в стране, так и за рубежом. В 1997 году ему присуждалась Государственная стипендия для выдающихся ученых. В 1998 году А.О.Иванов защитил докторскую диссертация на тему «Геометрия минимальных сетей на римановых многообразиях». А.О.Иванов — автор более 70 научных публикаций, в том числе четырех монографий. За цикл работ по теории разветвленных экстремалей одномерных вариационных задач А.О.Иванов (совместно с А.А.Тужилиным) удостоен премии Шувалова первой степени за 2001 год.

А.О.Иванов является одним из создателей и руководителей научного семинара по теории экстремалей геометрических вариационных задач, работающего на механико-математическом факультете МГУ. Руководит курсовыми, дипломными и диссертационными работами. Некоторые темы курсовых и дипломных работ, написанных под его руководством:

• «Бифуркации замкнутых минимальных сетей на плоских торах при деформации их метрик»
(Е.Борисова, курсовая, опубликована в Вестнике МГУ)
• «Треугольные паркеты для взвешенных бинарных деревьев»
(Д.Аверичева, диплом)
• «Замкнутые минимальные сети на поверхности куба»
(М.Гортинский, диплом)
• «Свойства замкнутых локально-минимальных сетей с одной ячейкой на двумерных поверхностях постоянной отрицательной кривизны»
(А.Вартанов, диплом)
• «Задача Ферма на три-плоскости»
(К.Гвоздева, диплом)
• «Алгоритм Мелзака на три-плосоксти»
(Ю.Акашева, курсовая, опубликована)

Под его руководством защищено 5 кандидатских диссертации, посвященные геометрии экстремальных сетей.

• «Замкнутые локально минимальные сети на замкнутых двумерных поверхностях постоянной гауссовой кривизны»
(И.В.Птицына; совместное руководство с А.Т.Фоменко и А.А.Тужилиным)
• «Теория Морса минимальных сетей»
(Г.А.Карпунин; совместное руководство с А.А.Тужилиным)
• «Геометрия локально минимальных и экстремальных сетей в пространствах с нормами»
(Д.П.Ильютко; совместное руководство с А.А.Тужилиным)
• «Многомерные многогранники-следы и геометрические вариационные задачи»
(Н.С.Гусев)
• «Минимальные сети на поверхностях многогранников»
(Н.П.Стрелкова; совместное руководство с А.А.Тужилиным)

В последние годы А.О.Иванов также интересуется молекулярной биологией и биоинформатикой. Совместно с профессорами механико-математического факультета МГУ А.А.Тужилиным и А.С.Мищенко, он неоднократно читал спецкурс по приложениям геометрии к биоинформатике для студентов этого факультета. Он принимает участие в совместном проекте РФФИ-НЦНИ по разработке математических методов идентификации структур больших молекул. А.О.Иванов является одним из руководителей научного семинара на механико-математическом факультете МГУ, посвященного проблемам математического моделирования в биологии, сотрудничает со специалистами из РНЦРР.

А.О.Иванов ведет активную педагогическую деятельность. Его педагогический стаж составляет 24 года. Он регулярно читает обязательные курсы «Классическая дифференциальная геометрия» и «Дифференциальная геометрия и топология» на механико-математическом факультете МГУ, является автором учебного пособия «Лекции по классической дифференциальной геометрии» (совместно с А.А.Тужилиным). Он также ведет курс дискретной математики на факультете ИУ в МГТУ им. Баумана. А.О.Иванов читает специальные курсы, принимает участие в руководстве несколькими научными семинарами, в работе экзаменационных комиссий. А.О.Иванов — один из создателей практикума по компьютерной геометрии для студентов механико-математического факультета МГУ.