Иванов А.О. / Кафедра Дифференциальной геометрии и приложений /

А.О.Иванов является известным в нашей стране и за рубежом специалистом в области топологического вариационного исчисления, теории экстремальных сетей, в частности, разветвленных геодезических и проблемы Штейнера, минимальных заполнений конечных метрических пространств, теории графов, компьютерной геометрии, метрической геометрии, в частности, геометрии гиперпространств с расстоянием Громова-Хаусдорфа. Его кандидатская диссертация «Минимальные поверхности и формы калибровки» (научный руководитель: А.Т.Фоменко) посвящена изучению особенностей многомерных минимальных поверхностей с симметриями. А.О.Иванову удалось эффективно применить методы форм калибровки, созданные известными американскими специалистами Р.Харви и Х.Б.Лоусоном, к случаю многообразий с симметриями. Построенные им новые примеры глобально минимальных конусов большой коразмерности вызвали большой интерес у специалистов по многомерной проблеме Плато.

Позднее научные интересы А.О.Иванова сконцентрировались в области известной проблемы Штейнера (одномерный аналог проблемы Плато) и ее обобщений. А.О.Иванов — один из авторов теории разветвленных экстремалей одномерных вариационных задач. Эта теория возникла на стыке дифференциальной геометрии, вариационного исчисления и теории графов при попытке найти геометрический подход к решению проблемы Штейнера. Она дала возможность обнаружить ряд новых геометрических эффектов, найти взаимосвязи между геометрией граничных множеств и топологией экстремальных сетей, между структурой экстремальных сетей и метрическими и топологическими характеристиками объемлющего многообразия. К возможным приложениям теории разветвленных экстремалей относятся транспортные задачи, молекулярная биология, теория эволюции, математическая экономика, теория нано-систем и пр.

А.О.Иванов и А.А.Тужилин ввели в рассмотрение заполнения конечных метрических пространств, обобщив на их случай понятие заполнения риманова многообразия в смысле М.Громова. Связный граф с весами на ребрах, содержащий конечное метрическое пространство как подмножество множества вершин, является его заполнением, если расстояние по графу не меньше чем в исходном пространстве. Как и в случае М.Громова, интерес представляют заполнения наименьшего возможного веса — минимальные заполнения, которые оказались тесно связаны с кратчайшими деревьями, в частности, вес минимального заполнения дает нижнюю оценку длины кратчайшего дерева с той же границей. Вес минимального заполнения может быть найден по минимаксной формуле, в которой максимум берется по множеству вершин многомерного выпуклого многогранника, строящегося по типу заполнения — дереву, соединяющему метрическое пространство.

В настоящее время А.О.Иванов и А.А.Тужилин также интересуются геометрией гиперпространств: метрических пространств, точками которых являются подмножества данного метрического пространства, и более общо, сами метрические пространства. В первом случае в качестве расстояния обычно выбирается расстояние Хаусдорфа, а во втором — расстояние Громова-Хаусдорфа. Интерес к гиперпространствам вызван не только красотой и сложностью математических конструкций, но и широким набором разнообразных приложений, таких как сравнение и распознавание изображений, моделирование докинга ферментов и пр.

Также А.О.Иванов с коллегами занимается прикладными задачами, связанных с сравнением изображений, улучшением качества усиливаемого сигнала, обработкой видео. Под его руководством уже осуществлено три успешных коммерческих проекта с компанией Хуавэй Технолоджи.

Перечислим некоторые результаты А.О.Иванова (часть которых получена совместно с А.А.Тужилиным, С.Д.Илиадисом, И.М.Никоновым, Г.В.Носовским, а также студентами и аспирантами кафедры дифференциальной геометрии и топологии).

Классификация плоских локально минимальных бинарных деревьев с выпуклой границей.
Описание локальной структуры локально минимальных сетей на римановых многообразиях.
Классификация замкнутых локально минимальных сетей на замкнутых поверхностях неотрицательной кривизны.
Ограничения на возможную топологию плоского локально минимального бинарного дерева в терминах количества уровней выпуклости его граничного множества.
Описание пространства локально минимальных сетей заданной топологии с данной границей в многомерном пространстве.
Построение теории разветвленных экстремалей функционалов типа Лагранжа.
Описание структуры экстремальных сетей на манхеттенской плоскости и в других нормированных пространствах.
Оценка на отношение Штейнера произвольного риманова многообразия в терминах отношения Штейнера евклидова пространства.
Вычисление отношения Штейнера плоских торов, плоских бутылок Клейна, проективной плоскости, поверхности равногранного тетраэдра.
Изучение погруженных многоугольников, построение их диагональных триангуляций.
Описание счетных подмножеств метрического пространства, допускающих соединение деревом конечной длины.
Доказательство единственности кратчайшего дерева на евклидовой плоскости для граничных множеств общего положения.
Теорема о возможности превратить локально минимальное дерево в кратчайшее, добавляя граничные вершины и не меняя дерево как подмножество пространства.
Метод описания и моделирования конформаций биополимеров, основанный на дискретных аналогах кривизны и кручения ломаных, описывающих структуру рассматриваемых молекул.
Формула для вычисления длины экстремальной сети фиксированной топологии на данном граничном множестве, обобщающая известную формулу Максвелла.
Теория минимальных заполнений конечных метрических пространств, формулы веса минимального заполнения, Оценки снизу для длины кратчайшего дерева, описание многогранников, соответствующих бинарным деревьям, оценка кратности неприводимых мультиобходов для вычисления веса минимального заполнения.
Разработаны основы теории, описывающей минимальные сети Штейнера в пространствах компактных подмножеств метрических пространств с метрикой Хаусдорфа. Приведен нетривиальный пример несимметричного решения проблемы Штейнера для симметричной границы, составленной из трех пар точек евклидовой плоскости (совместно с А.Тропиным и А.Галстяном).
Доказано, что метрика Громова-Хаусдорфа, ограниченная на множество классов изометрии компактных метрических пространств (метрика пространства Громова--Хаусдорфа), является строго внутренней, т.е. любые две точки пространства Громова-Хаусдорфа соединяются кратчайшей кривой, длина которой равна расстоянию между ее концами (совместно с Н.Николаевой).
Доказано, что расстояние Громова-Хаусдорфа между компактными метрическими пространствами достигается как на некотором соответствии, так и на некоторой псевдометрике, заданной на дизъюнктном объединение этих пространств и продолжающей метрики этих пространств.
Доказано, что каждое конечное подмножество пространства Громова-Хаусдорфа, состоящее из конечных метрических пространств, соединяется некоторым кратчайшим деревом, причем это дерево можно выбрать так, чтобы все его точки Штейнера были конечными метрическими пространствами (совместно с Н.Николаевой).
Доказано, что каждое конечное метрическое пространство изометрично вкладывается в пространство Громова-Хаусдорфа.
Для пространства Громова-Хаусдорфа вычислены отношение Штейнера и отношение Штейнера-Громова; суботношение Штейнера оценено сверху (оно оказалось меньше 1).
Доказано, что длины ребер минимального остовного дерева, построенного на конечном метрическом пространстве, равны расстояниям Громова-Хаусдорфа от этого пространства до подходящих симплексов (метрических пространств с одинаковыми ненулевыми расстояниями).
Доказано, что группа изометрий пространства Громова-Хаусдорфа тривиальна, несмотря на наличие локальных симметрий.
Предложено решение обобщённой проблемы Борсука в терминах расстояния Громова-Хаусдорфа.
В терминах расстояния Громова-Хаусдорфа вычислено хроматическое число и минимальный размер кликового покрытия произвольного графа.
В рамках аксиоматики фон Неймана-Бернайса-Гёделя описано формальное построение собственного класса всех метрических пространств, рассматриваемых с точностью до изометрии, снабженного расстоянием Громова-Хаусдорфа. Показано, что на этом классе расстояние Громова-Хаусдорфа является полной внутренней обобщенной псевдометрикой.
Показано, что каждое ограниченное метрическое пространство изометрично вкладывается в метрический класс всех метрических пространств.

Эти и другие результаты А.О.Иванова хорошо известны как у нас в стране, так и за рубежом. В 1997 году ему присуждалась Государственная стипендия для выдающихся ученых. В 1998 году А.О.Иванов защитил докторскую диссертация на тему «Геометрия минимальных сетей на римановых многообразиях». А.О.Иванов — автор более 170 научных публикаций, в том числе четырех монографий, а также семи учебных пособий. За цикл работ по теории разветвленных экстремалей одномерных вариационных задач А.О.Иванов (совместно с А.А.Тужилиным) удостоен премии Шувалова первой степени за 2001 год.

А.О.Иванов является одним из создателей и руководителей научного семинара по теории экстремалей геометрических вариационных задач и метрической геометрии, работающего на механико-математическом факультете МГУ. Руководит курсовыми, дипломными и диссертационными работами. Некоторые темы курсовых и дипломных работ, написанных под его руководством:

«Бифуркации замкнутых минимальных сетей на плоских торах при деформации их метрик»
«Треугольные паркеты для взвешенных бинарных деревьев»
«Замкнутые минимальные сети на поверхности куба»
«Свойства замкнутых локально-минимальных сетей с одной ячейкой на двумерных поверхностях постоянной отрицательной кривизны»
«Задача Ферма на три-плоскости»
« Геометрия сетей в нормированных пространства»
« Вероятностные характеристики топологий минимальных заполнений конечных метрических пространств»
« Формула веса минимального заполнения конечного метрического пространства»
« Периметры и обобщенные минимальные заполнения конечных метрических пространств»
« Обобщенные минимальные заполнения конечных метрических пространств»
« Поведение минимальных заполнений конечных метрических пространств при изменении метрики»
« Суботношение Штейнера пространства p-адических чисел»
« Оценки отношения Штейнера-Громова и суботношения Штейнера римановых многообразий»
« Отношений типа Штейнера метрических пространств»
« Геометрия геодезических в пространстве Громова-Хаусдорфа»
« Локальная структура пространства Громова-Хаусдорфа метрических пространств»
« Кратчайшие кривые в пространстве компактов с метрикой Хаусдорфа»
« Геометрия выпуклых многогранников бинарных деревьев малых размерностей»

Под его руководством защищено 11 кандидатских диссертации, посвященные геометрии экстремальных сетей.

«Замкнутые локально минимальные сети на замкнутых двумерных поверхностях постоянной гауссовой кривизны»
«Теория Морса минимальных сетей»
«Геометрия локально минимальных и экстремальных сетей в пространствах с нормами»
«Многомерные многогранники-следы и геометрические вариационные задачи»
«Минимальные сети на поверхностях многогранников»
«Геометрия минимальных сетей в пространствах ограниченной кривизны в смысле А.Д. Александрова»
«Задачи об оптимальном соединении в пространствах компактов»
«Характеристики конечных метрических пространств, порожденных графами»
«Связь вида нормы и геометрии минимальных сетей»
«Отношения типа Штейнера метрических пространств»
«Бифуркации минимальных сетей и минимальных заполнений конечных подмножеств евклидовой плоскости»

А.О.Иванов также интересуется приложениями современной геометрии в молекулярной биологиии и биоинформатике, обработке изображений и видео, математическом моделировании сложных процессов. Совместно с профессорами механико-математического факультета МГУ А.А.Тужилиным и А.С.Мищенко, он неоднократно читал спецкурс по приложениям геометрии к биоинформатике для студентов этого факультета. Он принимал участие в совместном проекте РФФИ-НЦНИ по разработке математических методов идентификации структур больших молекул. А.О.Иванов руководил группой в междисциплинарном проекте МНОШ «Математические метод анализа сложных систем», руководил несколькими коммерческими проектами по обработке изображений и видео.

А.О.Иванов ведет активную педагогическую деятельность. Он регулярно читал обязательные курсы «Классическая дифференциальная геометрия», «Дифференциальная геометрия и топология», «Наглядная геометрия и топология» на механико-математическом факультете МГУ, является автором ряда учебноых пособий. Он также ведет курсы дискретной математики и исследования операций на факультете ИУ в МГТУ им. Баумана. А.О.Иванов регулярно читает специальные курсы, принимает участие в руководстве несколькими научными семинарами, в работе экзаменационных комиссий. А.О.Иванов — один из создателей практикума по компьютерной геометрии для студентов механико-математического факультета МГУ.

А.О.Иванов также занимается научно-организаторской деятельностью. Он много лет был ученым секретарем, а теперь является заместителем председателя диссертационного совета на механико-математическом факультете, входит в редколлегии нескольких журналов. Как заместитель декана по науке, он занимается организацией научных конференций и школ, координирует взаимодействие факультета с другими научными центрами и организациями, такими как Московский центр фундаментальной и прикладной математики, Математический институт РАН, Sino-Russian Mathematical Center и Sino-Russian Association of Fundamental Science.