Математика и Живопись / Кафедра Дифференциальной геометрии и приложений /

МАТЕМАТИКА: ЗВЕЗДНАЯ ДИАГРАММА ГЕРЦШПРУНГА–РЕССЕЛА

Чтобы выяснить, нет ли какой-нибудь зависимости между спектральным классом и светимостью звезды, в начале ХХ века два астронома — голландец Герцшпрунг и американец Рессел — независимо друг от друга построили следующую диаграмму. Вдоль горизонтальной оси они отложили последовательность спектральных классов, а по вертикальной оси — абсолютные звездные величины звезд. Причем так, чтобы они убывали вверх по оси и, следовательно, светимости росли. Каждая звезда изобразилась на диаграмме точкой. Оказалось, что искомая зависимость существует. Звезды расположились на диаграмме не хаотически, а вдоль нескольких «линий». На рисунке условно изображена так называемая главная последовательность звезд и субкарлики. В астрономии эта диаграмма сегодня называется диаграммой спектр-светимость. Наше Солнце расположено приблизительно в центре изогнутой, «утолщенной» линии. Сегодня нет общепризнанной версии — какова природа этой зависимости.

Библейское пророчество Даниила рассказывает о пире царя Валтасара, прогневавшего Бога. Валтасар — сын Навуходоносора — устраивает пир, на котором пользуется священными сосудами, захваченными его отцом в Иерусалиме. Из стены храма появилась человеческая рука, пальцы которой написали на стене три загадочных слова: Мене, Текел, Упарсин. В ту же самую ночь Валтасар был убит (Даниил 5).

Дж.Дж.Фрэзер сообщает следующий факт. Правитель города Каликута на Малабарском берегу носил титул Саморина. В прошлом, по истечении двенадцатилетнего царствования, Саморин был обязан публично перерезать себе горло. Смерть до окончания этого срока спасала его от мучительной церемонии публичного самоубийства на воздвигнутом специально для этой цели помосте. Сначала он давал пир многочисленной местной знати. По окончании пира приветствовал гостей и всходил на эшафот, чтобы на глазах присутствующих надлежащим образом исполнить мрачный ритуал. Тут же на престол поднимался следующий царь. Впрочем, такие обычаи, вероятно, существовали лишь ограниченное время. Следующие правители наконец пришли к простой и здравой мысли, что вместо себя можно посылать на эшафот «заместителя». Например, преступника. Либо же трансформировать кровавый ритуал в некий символический и неопасный обряд. Именно это вскоре и произошло в реальной истории средневековых обычаев престолонаследия.

Известно, что текстовая и зрительная информация часто избыточна. Например, из литературного текста можно, без особого ущерба для понимания, выбросить фрагменты многих слов. А иногда и целые слова, встречающиеся внутри устойчивых, привычных словосочетаний. При этом, смысл текста не утратится. Точно так же, из зрительного образа можно удалить многие фрагменты, и тем не менее он останется узнаваемым. Конечно, нужно удалять лишь малосущественные детали, сохраняя главное. На этой идее основаны многие современные методы теории распознавания образов. Женский портрет лишен некоторых деталей, и тем не менее, он сохраняет самые существенные, характерные, легко узнаваемые черты оригинала. Отсюда видно — насколько устойчиво зрительное восприятие к «белому шуму» помех.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ В ГЕОМЕТРИИ И ТОПОЛОГИИ

Алгоритмическая неразрешимость задачи классификации многообразий в размерностях, больших чем три. Одним из проявлений математической бесконечности является алгоритмическая неразрешимость некоторых задач топологии. Каждое гладкое компактное многообразие можно представить в виде симплициального комплекса. Следовательно, составив таблицу, в которой перечислены все симплексы, их грани и коэффициенты инцидентности, мы можем задать многообразие таблицей, рассматривая ее как код многообразия. Возникает задача алгоритмической классификации многообразий фиксированной размерности. А именно, существует ли алгоритм, действующий «по единой программе» (допускающий в принципе реализацию на компьютере) и отвечающий на вопрос: определяют ли два произвольных кода (поданных на «вход» алгоритма) диффеоморфные (или гомеоморфные) многообразия или нет? Многообразия размерности 1 и 2 классифицированы. Причем это описание очень простое. Относительно многообразий размерности 3 ситуация существенно иная. Сегодня пока неизвестен алгоритм распознавания и классификации. Далее, доказано, что многообразия размерностей 4, 5, 6 и т. д. невозможно классифицировать. Это — строгая математическая теорема. Итак, начиная с размерности 4, не существует алгоритма, определенного на множестве кодов всех многообразий и отвечающего на вопрос: задают ли два любые кода, поданные на его «вход», диффеоморфные многообразия или нет.

Майя есть непреодолимая для обыкновенного человека и неизбежная иллюзия текучести бытия. Школа Шанкары признает майю необъяснимой и отождествляет ее с «незнанием». Это — некая вселенская нереальность. Философские школы по-разному трактовали это индийское мировоззрение. Действительность понимается лишь как греза божества, а мир — это божественная игра. Часто майя выступает как божественная женщина небесного происхождения. Иногда майя появляется как обман, хитрость, колдовское изменение вида.

АНТИДЮРЕР. ИЗ АВТОРСКОГО ЦИКЛА «ДИАЛОГ С АВТОРАМИ XVI ВЕКА»

В истории живописи особое место занимают художники XVI–XVII веков. В их работах ярко отразились средневековая философия и научные концепции той эпохи. Интересно проследить эволюцию научных представлений за прошедшие с тех пор 300 лет. Так возник мой цикл работ «Диалог с авторами XVI века». Настоящая работа возникла как результат размышлений над известной гравюрой А.Дюрера «Меланхолия». За прошедшие со времен Дюрера три столетия многое изменилось в восприятии научных достижений. Приведем пример. Дюрер поместил в верхний правый угол магический квадрат. У нас он заменен десятичным разложением числа e:

Эта последовательность цифр записана по квадратной спирали, раскручивающейся от центра квадрата (см. цифру 2 в центре) против часовой стрелки. Изображены первые 121 знаков десятичного разложения числа e. Такие десятичные разложения (некоторых иррациональных чисел) используются как датчики случайных чисел. Дело в том, что последовательность цифр десятичного разложения числа e (или, например, числа π), является (в некотором смысле, который мы здесь не уточняем) случайной последовательностью. Сегодня, при помощи компьютеров, вычислено много тысяч знаков десятичного разложения чисел π и e. Зритель может также найти здесь изображение сепаратрисной диаграммы критической точки индекса 1 гладкой функции, заданной на трехмерном пространстве. Это «колокольчик» с языком-сепаратрисой (рядом с числом e).

Средневековый мистицизм достиг одной из своих вершин в толковании чисел, пытаясь при помощи арифметических операций над числами, открыть законы бытия. Например, характер протекания времени зависел от того — кто «наблюдает» за ним. Считалось, что один день творения для Бога — это тысяча лет с точки зрения обычного человека. Складывая числа, средневековый мистик был убежден, что он «суммирует» отвечающие им сущности.

АНТИБРЕЙГЕЛЬ. ИЗ ЦИКЛА «ДИАЛОГ С АВТОРАМИ XVI ВЕКА»

Работа создана по мотивам известной гравюры Питера Брейгеля "Алхимики". Понятия математической бесконечности (уходящие за горизонт чаши с расплавленным металлом), динамических потоков, аналитических функций (облака в небе), гомеоморфизма и гомотопии (в виде деформаций человеческого тела). Отражена эволюция математических представлений за триста лет, прошедших со времен Брейгеля.

Согласно убеждению средневековых алхимиков, металлы образуют единую систему, шкалу. Следовательно, могут превращаться друг в друга. Особое внимание уделялось превращениям, в результате которых должно было получиться золото. Многие легенды описывают попытки средневековых мастеров изготовить золото из более распространенных металлов. Например, из свинца. Даосские алхимические трактаты уделяли особое внимание киновари, наделяя ее волшебными свойствами. Считалось, что при правильной многократной перегонке киновари можно получить не только золото, но даже эликсир бессмертия. Согласно некоторым рецептам, в особенно критические моменты изготовления золота, в кипящий расплав нужно добавлять такие совершенно необходимые компоненты, как сушеный хвостик мыши и т.п. Алхимики работали при дворах европейских монархов, постоянно держа их в напряжении обещаниями "вот-вот" получить груды золота. Неудачи объяснялись, естественно, происками врагов. Впрочем, современная химия в значительной мере выросла из алхимии. Как астрономия - из астрологии.

МУЗЫКАЛЬНЫЙ КЛУБ "ТОПАЗ" МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО ФАКУЛЬТЕТА МОСКОВСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Юмористический рисунок посвящен юбилею музыкального клуба, организованного А.Т.Фоменко в 1963 году для студентов и сотрудников механико-математического факультета Московского государственного университета. Изображены (в шутливой манере) студенты и аспиранты (математики и физики), принимавшие в разные годы активное участие в работе клуба. Слева направо: Александр Звонкин, Анатолий Фоменко, Юрий Лезнер (внизу), Владимир Кузнецов (вверху), Энно Йоон, Валерий Пахомов. Сидящая мужская фигура справа - композитор XIX века Антон Брукнер, произведения которого часто исполнялись и обсуждались на заседаниях клуба.

Математика присутствует здесь в виде сложного рельефа двумерных поверхностей. Характер линий излома, особых точек и ветвей поверхностей напоминает об аналитических функциях. Справа можно увидеть листы однозначности римановой поверхности алгебраической функции.

Из цикла "Апокалипсис". "И увидел я мертвых, малых и великих, стоящих пред Богом, и книги раскрыты были,... и судимы были мертвые по написанному в книгах, сообразно с делами своими... И кто не был записан в книге жизни, тот был брошен в озеро огненное."(Апокалипсис. 20:12-15). Средневековая легенда утверждает, что скоро (относительно конкретных сроков имеются разногласия) состоится второе пришествие Христа-судьи. Он призовет всех на суд и воздаст каждому по делам его. Мотив суда тесно связан с действиями дьявола, выступающего в качестве оппонента Иисуса. Считается, что в будущем сатана получит кратковременный реванш во времена антихриста, однако затем будет окончательно заключен в аду. Средневековая фантазия была неутомима в описании образа сатаны, приписывая ему смешение антропоморфных и животных черт. Пасть сатаны отождествлялась со входом в ад, у него - три лица (красное, бледно-желтое и черное), шесть крыльев нетопыря.

Геометрическая фантазия на темы библейской книги Апокалипсис. Использованы разнообразные математические образы. Например, математическая бесконечность, гомотопия и гомеоморфизм (деформации человеческих тел), элементы фрактальной геометрии, линзовые пространства - класс многообразий из трехмерной топологии, особые точки алгебраических поверхностей. Мотив Страшного Суда - один из самых популярных в средневековой идеологии. Злые люди будут отделены от добрых, "плевелы" от "пшеницы". Вселенная придет в движение, космос содрогнется. Земля и море, звери, птицы, рыбы, отдают назад поглощенные ими тела мертвецов. Человек, очнувшийся от смертного сна, со страхом видит перед собой Христа-судью и ждет приговора. Раскрываются книги, где записаны все свершенные дела. Меркнут луна и солнце, звезды падают с неба, небо лопается и сворачивается как свиток. Земля разрезается гигантской трещиной, достигающей ада.

По мотивам известной средневековой легенды об искушении святого Антония. Использован язык математических образов. Видны поверхности Бельтрами. Это - "трубы", "воро'нки", на которых реализуется гиперболическая метрика (метрика Лобачевского). Математическая бесконечность, гомеоморфизм, непрерывная деформация. Напоминается также о некоторых знаменитых математических задачах: о проблеме Ферма и проблеме Пуанкаре (является ли односвязное компактное трехмерное многообразие стандартной сферой). Обе эти проблемы были решены уже после того как рисунок был создан.

Согласно легенде о святом Антонии, он выдержал невероятные испытания и искушения, посланные ему. Сюжет был популярен в средневековой живописи. К нему обращаются и современные авторы, усматривая здесь общечеловеческий смысл, сохраняющий актуальность во все эпохи. Бе'сы (особенно распространенные в средневековой Европе) - это бывшие ангелы, отпавшие от Бога и ставшие слугами сатаны ("ангелами бездны"). Они искушают людей, но особенным их вниманием пользуются монахи, отшельники, пустынники, намеренно избиравшие "особо про'клятые места" с целью противостоять бесам. Основатель христианского монашества Антоний Великий - герой многих легенд о преодолении бесовских козней. Чтобы добиться полного доверия соблазняемого, бесы могут принимать образ ангела или даже Христа. В этом образе они стараются совратить монаха с его пути, запугивая или, напротив, расхваливая отшельника. Бесы предлагают себя для блуда (мужчине - в виде женщины - "суккуб", а женщине - в виде мужчины - "инкуб"). Если монах ведет себя правильно, бес исчезает с шумом и серным запахом. Часто бесы являются к подвижнику в виде гротескных чудовищ (огнедышащий змей, медведь со многими головами, жаба). К этой же проблематике относятся и известные европейские образы черного пса (черного пуделя) и черного кота. Бесы инспирируют видения, галлюцинации, бред, могут являться в образе близких людей. Их крылья (следы былого ангельского происхождения) - это крылья летучих мышей или дракона.

В поздне-средневековой Индии существовал удивительный обычай. По окончании празднества (происходившего раз в 12 лет) царь Саморина обязан был четверым из гостей, претендентам на его корону, предоставить возможность совершить дерзкую вылазку: силой оружия проложить себе путь через толпу в несколько тысяч телохранителей, в центре которой находился царь. Тот, кому удастся это практически невозможное предприятие, наследует империю. Вооруженным до зубов телохранителям при этом, естественно, отдавался приказ убить смельчаков. Из толпы выступала группа украшенных цветами и вымазанных золою людей с мечами в руках. Проходит мгновение - и вот они уже прокладывают себе путь среди копий, отбиваются мечами, извиваясь и корчась, как угри. Один за другим они падают, сраженные сталью. Они умирают даже не ради призрачной короны, а чтобы продемонстрировать окружающим свою доблесть. Та же великолепная демонстрация храбрости, то же бесполезное принесение в жертву человеческих жизней повторяется и в остальные дни праздника. (Дж.Дж.Фрэзер. Золотая ветвь).

Он служит опорой, например, оси мира (в древних мифах). Иногда это - вершина горы, к которой пристал Ноев ковчег, когда закончился мировой потоп. Согласно индийской традиции, вселенная, расширяясь после взрыва, распространяется вокруг Пупа земли как своего центра. В византийских мистериях - это идеальный центр медитативного транса. Страбон утверждал, что в Дельфах встретились посланные Зевсом с востока и с запада два орла. В память об этом событии в середине дельфийского храма был установлен мраморный шар. В некоторых традициях Пуп земли отмечается каменными сферами или полусферами (т.е. яйцо или половинка яйца). В Южной Индии такие камни называются до сих пор "пуповыми камнями". Иногда Пуп земли - это место рождения первого человека. У греков Пуп земли рассматривался и как вход в преисподнюю. Кроме Дельф, Пупом земли считался и город Энна в центре Сицилии. Согласно легенде, именно здесь Аид похитил Персефону.

Топологическая фантазия на тему работы известного фотографа Stefan'а Arczyn'ski: "Zdjecie do Plakatu:Pantomima Wroclawska".

Это слова Юлия Цезаря перед смертью, обращенные к Бруту - одному из убийц.

По легендам, Атлант держал на своих плечах небо.

Мрачный корабль с бессмертной командой, встреча с которым сулила морякам беду.

МАТЕМАТИКА: ТЯЖЕЛЫЙ ВОЛЧОК, ПЛАВАЮЩИЙ В ПРОСТРАНСТВЕ

Тяжелый гироскоп - это волчок, симметричное твердое тело, стремительно вращающееся вокруг своей оси. Замечательным его свойством является то, что ось волчка сохраняет свою ориентацию в окружающем пространстве, независимо от того, как перемещается аппарат, внутри которого помещен гироскоп (например, самолет). Это - важный прибор, применяемый в навигационной технике для ориентации аппаратов в окружающем пространстве. Уравнения движения тяжелого твердого тела изучаются сегодня методами теории дифференциальных уравнений, симплектической геометрии, алгебры и топологии. Если твердое тело имеет "произвольную форму", не обладает никакими симметриями, то тогда его движение будет хаотично, тело будет беспорядочно кувыркаться в пространстве.

Ледяная скала-сосулька, расплавившаяся в космосе. По поверью индейцев-сеналов (Америка) весь мир был когда-то огненным шаром, а от него огненная стихия перешла на деревья. Именно поэтому, если потереть друг о друга два куска дерева, появляется огонь. Аналогично, племя майду убеждено, что земля была расплавленным шаром, огонь которого впитали в себя деревья. Да и сегодня, корни могучих дубов уходят в подземную бездну, где до сих пор пылает пламя, и пьют эту энергию. Поэтому молния чаще всего поражает дуб, стремясь быстрее слиться с подземным огнем. Скрытое пламя, которым питается дуб, очищает от скверны всех, приближающихся к нему. Вокруг дуба распространяется облако невидимого огня. У древних германцев дубы, пораженные молнией, были окружены орелом славы, так как в их обугленном расщепленном остове они видели руку Громовержца.

МАТЕМАТИКА: КОНСТРУИРОВАНИЕ СЛОЖНЫХ ПОЛИЭДРОВ ИЗ ПРОСТЫХ

Сложные пространства можно "склеивать" из простых составных элементов: симплексов, кубов и т.п. Каждый из "кирпичей" снабжен кусочно-линейной структурой, имеет грани, являющиеся многогранниками. Если два "кирпича" имеют линейно-изоморфные грани, то можно отождествить их при помощи линейных невырожденных отображений. Склеивая "кирпичи" по их граням, получаем более сложный полиэдр. Нетривиальная математическая идея состоит в том, что хотя локально все операции склейки линейны, однако в результате получаются существенно нелинейные объекты. Например сфера может быть представлена как граница выпуклого многогранника.

МАТЕМАТИКА: ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Хаотическое движение траекторий сложных эргодических систем связано с турбулентностью в потоках жидкости или газа. Движение раскаленных частиц в потоке пламени подчиняется чрезвычайно сложным закономерностям, частично описсываемым дифференциальными уравнениями в частных производных.

Памяти литовского поэта и художника М.К.Чюрлениса. А также: странствующий корабль-парусник в ночном океане. Легенда о Летучем Голландце, обреченном бесконечно бороздить моря и внушать страх встречным кораблям. Раз в году при приближении зимы, Летучий Голландец уходит далеко на юг к мысу Горн и пытается обогнуть его, чтобы прорваться из Атлантического океана в Тихий. Однако тяготеющее над ним проклятие не пускает корабль. А также: легенда о Ноевом ковчеге. В библейской книге Бытие рассказывается, что воды подняли ковчег, и он отправился в плавание по океану, который полностью покрыл всю прежнюю землю. Погибли почти все, жившие до потопа. (Бытие 7:17-20). Когда потоп кончился, вода спала, и ковчег пристал к вершине горы. Согласно одной из версий, это - гора Арарат. Остатки ковчега искали здесь в XIX-XX веках неоднократно, но безуспешно.

МАТЕМАТИКА: АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ПОВЕРХНОСТИ

Интуитивно, таким функциям и многообразий соответствуют плавные, "изящные", геометрические образы. Например, гладкая кривая на плоскости может иметь излом под углом в 90 градусов. А вот аналитическая кривая такого излома иметь не может. Типичная картина аналитического излома - это "клюв", когда две ветви аналитической кривой касаются, и угол между двумя касательными - нулевой (или 180 градусов). Рисунок представляет аналитические кривые, поверхности, их особые точки и т.д. Видны некоторые минимальные поверхности (мыльные пленки, мыльные пузыри). Замечательным фактом является аналитичность минимальной поверхности во всех ее регулярных, т.е. неособых точках. Показаны также поверхности постоянной средней кривизны - границы раздела двух физических сред, находящихся в равновесии. Минимальные поверхности - это частный случай, когда давления в соприкасающихся средах одинаковы.

Горящий змей-дракон, падающий с неба. Легенда о грехопадении Адама и Евы. Змей соблазнил Еву съесть запретный плод в раю. Разгневанный Бог проклял за это змею и сказал, что теперь она будет всю жизнь ползать на животе и всегда будет вражда между потомками змеи и потомками Евы: люди будут убивать змею ударом по голове, а она будет жалить людей. Образ огненного змея распространен в мифологии многих народов. Часто радуга - это часть туловища огромного зме'я, смутно видимого сквозь облака после дождя. Старинный обычай в Океании сжигать клубок живых змей на костре под пение ритуальной молитвы. Многие племена считают, что завидный дар бессмертия, достигаемый путем периодического сбрасывания кожи (как у змеи), был некогда доступен человеческому роду, но по несчастной случайности дар перешел к низшим созданиям. На Каролинских островах есть предание, что некогда люди не знали смерти, или точнее, она была лишь кратким сном. Люди умирали вместе с исчезновением луны и возрождались к жизни с новым появлением ее, как бы просыпаясь после освежающего сна. Но злой гений (змей) сумел превратить легкий сон в вечный и непробудный. (Дж.Дж.Фрэзер.Фольклор в Ветхом Завете).

МАТЕМАТИКА: ОСОБЫЕ ТОЧКИ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ И ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ ПРИ ОБТЕКАНИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА В ЖИДКОСТИ

Картина обтекания твердого тела в набегающем потоке жидкости или газа. Интересные события происходят в пограничном слое, т.е. в слое жидкости, примыкающем к твердому телу. Поток жидкости моделируется векторным полем, интегральные траектории которого изображают линии тока, т.е. линии, по которым движутся частицы жидкости. Важные события происходят в особых точках векторного поля. Они могут соответствовать источникам или стокам жидкости, или быть "седловыми". На рисунке видно образование седловой точки потока там, где набегающий поток ударяется о поверхность тела, ортогональную одной из линий тока.

Гибель Аякса - одного из героев Троянской войны. Отличался буйным и дерзким нравом. Во время взятия Трои изнасиловал знаменитую предсказательницу Кассандру, искавшую защиты у алтаря Афины. За это святотатство ахейцы хотели побить его камнями, но Аякс нашел убежище у того же алтаря Афины. Однако при возвращении флота, разгневанная Афина разбила бурей у Кикладских островов корабль Аякса, метнув в него перун. Аякс пытался спастись, уцепившись за скалу, но неосторожно тут же похвалился, что остался жив вопреки воле богов. Это он сделал напрасно. Взбешенный Посейдон ударом трезубца расколол скалу и Аякс погиб в бушующем океане и огне.

Здесь много математических образов. Особые точки аналитических функций. Задача о биллиарде - движение шаров в областях различной формы, причем шары отражаются от стенок по правилу: угол падения равен углу отражения. Бесконечная последовательность изогнутых конусов в виде "шатров". Вершина каждого такого конуса снабжена фигурой, условно изображающей тип особенности в этой точке. Минимальные конусы естественно возникают в теории минимальных поверхностей, поскольку аппроксимируют эти поверхности вблизи их особых точек. В качестве "основания конуса" может выступать не только обычная сфера, но и более сложные многообразия.

Согласно Новому Завету, в момент смерти Христа, разразилась катастрофа. "От шестого же часа тьма была по всей земле до часа девятого; а около девятого часа возопил Иисус громким голосом: Или, Или! лама савахфани? то есть: Боже Мой, Боже Мой! для чего Ты Меня оставил? Некоторые из стоявших там, слыша это, говорили: Илию зовет Он. И тотчас побежал один из них, взял губку, наполнил уксусом и, наложив на трость, давал Ему пить; а другие говорили: постой, посмотрим, придет ли Илия спасти Его. Иисус же, опять возопив громким голосом, испустил дух. И вот, завеса в храме раздралась надвое, сверху донизу; и земля потряслась; и камни расселись; и гробы отверзлись; и многие тела усопших святых воскресли и, выйдя из гробов по воскресении Его, вошли во святый град и явились многим. Сотник же и те, которые с ним стерегли Иисуса, видя землетрясение и все бывшее, устрашились весьма и говорили: воистину Он был Сын Божий" (Матфей 27:45-54).

Математическая бесконечность и трансфинитные числа. Каждая "бесконечность" превращается в новое "число". Затем берется бесконечная последовательность таких "чисел". В результате возникает "новая бесконечность", которая может рассматриваться как "число" следующей иерархии. Процесс повторяется неограниченно. Такие "бесконечности" можно складывать, оперировать с ними как с обычными числами, однако у них появляются новые свойства.

Шествие на Голгофу и распятие. А также: Апокалипсис и Страшный Суд. В скандинавской-германской мифологии этот христианский сюжет отразился как "Рагнарек - гибель богов". Якобы мир погибнет в последней битве богов и чудовищ. Предвестием катастрофы служит смерть юного бога Бальдра - любимого сына О'дина и Фригг. Его начинают мучать вещие сны, предсказывающие гибель. О'дин отправляется в царство мертвых, чтобы узнать судьбу. Там он силой пробуждает от сна прорицательницу вельву, которая предрекает Бальдру смерть от руки слепого бога Хеда. Несмотря на все попытки О'дина предотвратить гибель сына, пророчество вельвы сбывается. Это - прелюдия к концу мира. Сначала - трехгодичная всемирная зима. Огромный волк глотает солнце, другой волк - луну. Солнце чернеет и звезды падают с неба. Землетрясение. Поднимаются воды, и наступает нестерпимый жар. На свободу вырываются огромные чудовища, в частности, волк Фенрир и змей Ермунганд. Из царства мертвых выплывает корабль мертвецов Нагльфар, сделанный из ногтей мертвецов. Появляются инеистые великаны. Страж богов трубит в рог и будит богов во главе с О'дином. Начинается последняя битва, в которой светлые боги, возглавляемые О'дином, терпят поражение. Погибают и все люди. Вскоре мир снова возрождается, и все повторяется сначала.

Сложное переплетение математических образов: особые точки алгебраических функций, ряды Фурье, фракталы, динамические системы и странные аттракторы, волновые фронты, периодические отображения и орбиты действия дискретных групп.

Средневековые скандинавские и германские мифы. Валькирия Брунгильда погружена богом Вотаном (О'дином) в глубокий сон на вершине скалы, окруженной стеной священного огня. Бог огня Логе охраняет сон Брунгильды. Этот сон и отлучение ее от сонма богов и полубогов - наказание за то, что Брунгильда ослушалась приказа своего отца Вотана. Во время поединка между конунгами Гуннаром и Агнаром она отдала победу не Гуннару (которому Вотан обещал ее), а Агнару (поддавшись чувству симпатии к герою). Теперь никто из смертных не может приблизиться к бывшей полубогине, и лишь неукротимому герою Зигфриду удается пройти сквозь бушующее пламя. Но этот подвиг все равно оказывается напрасным и не приносит счастья героям. Любовь Зигфрида и Брунгильды уже не в состоянии остановить проклятие Альбериха и является первым шагом на пути к их гибели, к концу Валхаллы и богов.

Сфера, к которой приклеена трубка-цилиндр. Один из шагов доказательства известной формулы Гаусса-Бонне о том, что нормированный поверхностный интеграл от гауссовой кривизны равен эйлеровой характеристике поверхности. Интеграл по сфере равен единице (при подходящей нормировке), а интеграл по трубке, следовательно, равен -1. Это легко видеть, перетянув сферу посередине, чтобы получить трубку, соединяющую две сферы. Теперь достаточно представить любую замкнутую поверхность в виде набора сфер, соединенных такими трубками, чтобы завершить доказательство теоремы.

Как сообщается в Библии, звук труб разрушил стены города Иерихона. Во время завоевания земли обетованной, народ подступил к стенам хорошо укрепленного города Иерихон. Нападающие выстроились перед стенами и затрубили в трубы. И как только все услышали голос труб, народ крикнул громким и сильным голосом. И от этого крика и рева труб обрушились стены города. Войска ворвались в ставший беззащитным Иерихон "и предали заклятию все, что в городе, и мужей и жен, и молодых и старых, и волов и овец, и ослов, [все] истребили мечом." (Иисус Навин 6:19-20).

Гауссова кривизна и средняя кривизна поверхности. Разные точки поверхности имеют существенно различный характер. Можно выделить области, где гауссова кривизна положительна (шапочка), отрицательно (седло) или нулевая (цилиндрическая поверхность). В целом структура объекта напоминает геликоид - поверхность, образующуюся при скольжении вращающейся прямой вдоль другой неподвижной прямой, ей ортогональной.

Скандинавские и германские мифы о змее Ермунганде - постоянном противнике бога грома Тора. Как рассказывает "Старшая Эдда" (Прорицание вельвы), в последней битве перед концом мира Тор сражается с Ермунгандом, поражает его, но, успев сделать только девять шагов, сам умирает от яда змея. Мир превращается в хаос, тонущий в безбрежном океане.

Понятие нечеткого множества. Классическая математика имеет дело с четкими, точно формализуемыми понятиями. Например, алгебраические поверхности, которые можно задать формулами. В центре рисунка изображена такая поверхность с особыми точками. В последнее время большую популярность приобретает раздел математики, в котором основными объектами являются нечеткие, размытые множества. Они возникают в геометрии и топологии, в вычислительной математике, в теории вероятностей. Можно определить естественные операции над такими множествами, понятие близости (толератности). Так возник нестандартный математический анализ, сложилось представление о вероятностном подходе к доказательству теорем. Понятие "размытого натурального числа" естественно возникает при операциях с очень большими натуральными числами.

Утренняя молитва. Поклонение деревьям. Одушевленные деревья обладают чувствительностью, их порубка - тонкая хирургическая операция. Если "хирург" неумелый, дерево может разорвать его на части. В китайских книгах фигурируют деревья, истекающие кровью и испукающие крики боли и негодования, когда их надрубают, спиливают или поджигают. (Дж.Дж.Фрэзер. Фольклор в Ветхом Завете). (J.G.Frazer, "The golden Bough", London, 1923, русский перевод, Москва, 1984, стр.113, глава 9).

Клеточные пространства (или клеточные комплексы). Они получаются склейкой некоторого числа (быть может, бесконечного) шаров, гомеоморфных евклидовым шарам разных размерностей. При склейке удобно считать эти шары "мягкими". Они называются клетками.

Проклял Бог города Содом и Гоморру, но пощадил Лота - одного из жителей. И сказал ему: уходи из города вместе с женой и дочерьми, но не оглядывайся назад и не останавливайся. "И пролил Господь на Содом и Гоморру дождем серу и огонь от Господа с неба и ниспроверг города сии, и всю окрестностью сию, и всех жителей городов сих, и [все] произрастания земли. Жена же Лотова оглянулась позади его, и стала соляным столпом. И встал Авраам рано утром [и пошел] на место, где стоял пред лицем Господа, и посмотрел к Содому и Гоморре и на все пространство окрестности и увидел: вот, дым поднимается с земли, как дым из печи." (Бытие 19:24-28).

Гладкая функция, в отличие от аналитической, может быть сглажена до нуля и затем продолжена нулем. Другими словами, она может быть определена на всей прямой, но быть отличной от нуля только на одном интервале (для аналитической функции такое невозможно).

Памяти русского мыслителя и художника Николая Рериха. Далекие горные монастыри, монахи, ледяные скалы, пропасти и вершины человеческой мысли, тайные учения Востока и языческая Русь. Николай Рерих соединил в своем творчестве древнерусскую культуру с культурой Востока.

Одна из центральных задач современной механики, гамильтоновой геометрии и топологии - это изучение и интегрирование уравнений движения тяжелого твердого тела в трехмерном пространстве. Эти уравнения называются уравнениями Эйлера-Пуассона. Если форма тела произвольна, то уравнения неинтегрируемы в том смысле, что не удается найти интегралы движения, т.е. достаточное число независимых величин (функций), сохраняющихся при движении. Грубо говоря, такое тело "кувыркается" хаотическим образом и параметры, описывающие движение, меняются нерегулярно. Но в некоторых случаях характер движений совсем иной. На рисунке показано движение твердого тела, обладающего симметриями. В этом случае уравнения движения интегрируемы. Поиск таких специальных симметрий - сложная задача. Интегральные траектории такой системы заполняют двумерные торы (так называемые торы Лиувилля) в фазовом пространстве системы.

2-й слой. Памяти храма Христа Спасителя, построенного в Москве на народные деньги. Храм был расписан крупнейшими художниками. В XX веке храм взорвали. На его месте был замыслен огромный дворец, символизирующий счастливое будущее. Начавшиеся работы показали, что почва здесь зыбкая и для ее укрепления потребуется много усилий. Тогда в образовавшемся котловане построили плавательный бассейн "Москва". Затем тут снова возвели храм.

Гомотопические группы - это важные инварианты топологических пространств, позволяющие, в частности, отличать пространства друг от друга (например, пространства гомотопически не эквивалентны, если их гомотопические группы различны). Поэтому вычисление гомотопических групп - важная проблема топологии. Одна из наиболее известных - вычисление гомотопических групп сфер. Эти группы образованы классами гомотопных отображений одной сферы в другую. Содержательным является случай, когда сфера большой размерности отображается на сферу малой размерности (если соотношение размерностей обратное, то такие отображения гомотопически тривиальны, а потому неинтересны). Под действием такого отображения "большая сфера" как-то сминается, ее образ становится достаточно сложным и накрывает "малую сферу" "несколькими слоями".

Зарождение тайфуна, "глаз" будущего урагана. Согласно индийской мифологии, многие живые существа имеют кроме двух обычных глаз еще один - третий, тайный глаз. Он позволяет видеть скрытое движение энергии и раскрывается только в том случае, когда живое существо достигает высокого уровня развития.

Из книги "Гомотопическая топология". Показан первый шаг в бесконечном процессе построения сферы Александера (= рогатой сферы). Вдали поднимаются две "трубы", на концах которых вырастают по два "пальца" (две новые трубки), которые "почти зацеплены" в объемлющем пространстве, но не склеиваются. Топологическое вложение рогатой сферы в трехмерное евклидово пространство является "диким" (т.е. не локально плоским) в бесконечном множестве точек, образующем канторово множество.

Из книги "Гомотопическая топология". Показаны двумерные поверхности, проективные плоскости, "скрещенные колпаки" (то есть такие погружения листа Мёбиуса, при которых его граница становится плоской окружностью).

Действие фундаментальной группы на высших гомотопических группах. Из книги "Гомотопическая топология". Каждое топологическое пространство обладает гомотопическими инвариантами, среди которых важное место занимают гомотопические группы "пи-i". Первая из них называется фундаментальной группой. Ее элементы - это классы гомотопных путей. Пути считаются гомотопными, если их можно непрерывно продеформировать друг в друга. Элемент группы "пи"-i при i>1 можно представить в виде сфероида, расположенного в пространстве (сфероид задается непрерывным отображением сферы). Фундаментальная группа естественно действует на высших гомотопических группах. Принцип действия показан на рисунке. Элемент фундаментальной группы изображается петлей. Затем из сфероида вырастает тонкая трубочка, скользящая вдоль петли и заканчивающаяся в начальной точке петли. Таким образом, каждый сфероид заменяется на новый сфероид. Это и задает отображение сфероидов, т.е. отображение элементов гомотопической группы. После такого преобразования прежний сфероид покидает свое место и начинает свободно плавать в пространстве, будучи прикреплен к начальной точке тонкой трубкой.

МАТЕМАТИКА: ИЗ КНИГИ «ГОМОТОПИЧЕСКАЯ ТОПОЛОГИЯ»

Периодичность Ботта и грассмановы многообразия

Фокусирование пучка света

Последовательные члены (таблицы) спектральной последовательности

Спектральная последовательность. Клеточные комплексы. Кристаллические структуры

Спектральные последовательности

Расслоения в смысле Серра

Спектральные последовательности и орбиты действия групп. Из книги "Гомотопическая топология". Во многих физических задачах большую роль играют группы симметрий. Они могут быть не только дискретными, но и непрерывными. Например, на пространстве может действовать компактная группа Ли. В этом случае пространство расслаивается на орбиты действия группы. Орбита - это множество точек, получающихся из какой-то одной точки при действии на нее всевозможными элементами данной группы преобразований. Разные орбиты могут иметь разный объем и даже разные размерности. На рисунке изображено несколько семейств орбит, отвечающих разным типам действия групп Ли. Например, если на евклидовом пространстве действует подгруппа группы ортогональных преобразований, то орбиты лежат в концентрических сферах. Если группа содержит подгруппу трансляций (параллельных переносов), то орбиты могут содержать "прямолинейные образующие" и т.п. Если вычислить объемы орбит, то получится функция, определенная на пространстве орбит. Эта функция играет важную роль в теории минимальных поверхностей, инвариантных относительно действия групп.

МАТЕМАТИКА: ИЗ КНИГИ «ГОМОТОПИЧЕСКАЯ ТОПОЛОГИЯ»

Спектральные последовательности

«Убивающие пространства»

Спектральные последовательности и дифференциалы

Линзовые трехмерные пространства

Прозрачная сфера

Еще не полностью решенная проблема вычисления гомотопических групп сфер

Океан ночью. Пустынное побережье около города Магадана. Заблудившийся корабль из прошлого.

Финал романа Г.Мелвилла "Моби Дик". Гибель ястреба в океане.

Распространение волновых фронтов от источника. Если в сплошной прозрачной среде вспыхивает источник света (не обязательно точечный - он может быть распределен вдоль какой-то линии или поверхности), от него распространяются световые лучи, движущиеся по геодезическим. Если коэффициент преломления среды не постоянен, то лучи движутся не по прямым линиям, а по более сложным траекториям. Если отметить на каждой геодезической, исходящей из источника, положение точки, отвечающее одному и тому же (для всех геодезических) моменту времени, то получится фронт волны. Это - граница геодезического шара, "раздувающегося" из источника. Граница "светящейся зоны" может при распространения волны усложняться, на ней могут возникать особенности.

Первобытные народы соблюдают запрещение будить спящего. Считается, что во время сна душа покидает тело и пускается в странствия: поэтому она может не успеть возвратиться, и человек, проснувшись без души, заболеет. Еще более опасно, по мнению многих древних племен, передвигать спящего или изменять его внешний облик: по возвращении душа не сможет узнать тело, и человек умрет. Например, у племени минанг кабау строго настрого запрещено пачкать лицо спящего краской или грязью или разрисовывать лицо. В Бомбее изменить вид спящего, например, раскрасить лицо в причудливые цаета или пририсовать усы женщине, считается равносильным убийству. (Дж.Дж.Фрэзер. Золотая ветвь. М., 1984, с.178).

В гомотопической топологии используется цилиндр непрерывного отображения. Пусть f: X → Y - непрерывное отображение пространства X в пространство Y. Построим новое пространство Z, взяв прямое произведение X на отрезок I и отождествив каждую точку вида (x,0) с ее образом f(x) в пространстве Y. То есть нужно приклеить основание цилиндра X x I к пространству Y по отображению f. Получившееся пространство Z и называется цилиндром данного отображения.

Полуразрушенный храм "Памяти воинов". Многие древние народы (например, в Австралии) убеждены, что жизнь каждого мужчины (а особенно воина) тесно связана с летучей мышью. В результате эти животные брались под защиту. После смерти человека его летучая мышь улетает. После жестокого сражения многие тысячи летучих мышей направляются в храм "Памяти воинов". Аналогично говорит и миф о скандинавской Валхалле. Души павших солдат, руководимые валькириями, устремляются на небо, в храм воинов.

Алгебраическая поверхность третьего порядка (кубическая поверхность). В целях наглядности выделена лишь одна из трех ее частей (все они симметричны и получаются друг из друга действием группы третьего порядка). Видны особые точки поверхности - концы ее "острых клювов". Шлэфли (Schlafli) и Кэли (Cayley) классифицировали возможные типы сингулярностей кубических поверхностей. Изображены сингулярности, называемые обычными двойными точками. Проблема классификации особенностей алгебраических поверхностей имеет два аспекта: локальный и глобальный. Локальная задача состоит в описании всех типов особенностей, появляющихся на таких поверхностях. Глобальная задача такова: как определить все те комбинации особенностей, которые возможны на одной поверхности, и как описать их "иерархию", позволяющую отвечать на вопрос: какие поверхности можно продеформировать в другие алгебраические поверхности?

Скала превращена в храм, обработана каменотесами так, что приобрела форму птицы ворона. Сбрасывание жертв со скал практиковалось, например, в древней Греции (со словами: "Будь очистителем нашим"). Храм - в виде черного ворона, неподвижно восседающего на вершине мирового древа, рядом с которым горит пламя. В некоторых европейских мифах ворон охраняет этот негасимый огонь от похищения его человеком. В евразийских сюжетах герой разоряет гнездо ворона и добывает огонь для человечества. После этого вершина погружается во мрак и черный ворон - как его символ - спускается на землю в поисках похищенного огня и с целью наказания виновника.

Фокальные точки гладкого подмногообразия в евклидовом пространстве. В каждой точке подмногообразия (на рисунке подмногообразие представлено как вогнутая поверхность водного потока) можно построить плоскость, ортогональную подмногообразию. Получается нормальное расслоение. Если подмногообразие искривлено, то нормальные плоскости (или просто нормали в случае двумерной поверхности в трехмерном пространстве), построенные в близких точках, пересекаются. На рисунке видно, как "вертикальные" поверхности сходятся друг к другу. Точка пересечения нормалей - это фокальная точка. Такие точки играют важную роль в теории Морса. Например, при доказательстве теоремы о том, что на любом гладком многообразии можно всегда построить "функцию высоты" с невырожденными критическими точками.

Легенда о том, что каждая душа ищет свою вторую половину. Якобы, когда-то бог разрезал каждую душу надвое и получившиеся половинки затерялись среди других одиноких странствующих душ. Каждая из них стремится с тех пор найти свою настоящую вторую половину среди этого движущегося хаоса (Платон). Если они встретятся и обнимут друг друга, то в то же мгновение они превратятся в единое целое и покинут материальный мир.

Ламинарный поток газа (или жидкости), попадая в зону, содержащую препятствия, утрачивает свой спокойный характер и превращается в турбулентный, т.е. в потоке появляются сложные завихрения. На рисунке условно показаны правильные ряды падающих фигурок, которые сначала летят в ламинарной зоне, но потом их стройные ряды быстро расстраиваются, когда они попадают в зону турбулентности.

Матрицы инциденций симплициального комплекса и группы гомологий.

В эпоху великих географических открытий, начиная с XV века, складывается романтическая океаническая мифология: невиданные страны, заколдованные острова, сказочные животные и чудовища, таинственные корабли без экипажа или с покойниками (наподобие знаменитого "Летучего Голландца") и т.п. В средние века океан представлялся как загадочная бездна, полная опасностей, без края и конца. Многие средневековые рукописи и книги заполнены рисунками, изображающими фантастических животных, поднимающихся из пучины и поедающих моряков вместе с кораблями. Особую тему составляли легенды о миражах, то и дело возникающих в открытом океане и уводящих корабль с его курса в бездну (этим особенно славились, в частности, острова Бермуды в Атлантике).

Биллиарды. Теорема Пуассона-Лапласа. Мы видим свободно падающие "жидкие шары". Согласно теореме Пуассона-Лапласа, мыльный пузырь, свободно падающий в пространстве, должен быть замкнутой поверхностью постоянной средней кривизны (если пренебречь сопротивлением воздуха, которое слегка искажает форму пузыря). Оказывается, такая поверхность - только одна: это стандартная сфера (некоторого радиуса). Если же двумерная поверхность постоянной кривизны всего лишь погружена в трехмерное евклидово пространство (т.е. ей разрешено иметь самопересечения), то она может быть устроена сложнее сферы - например, может быть тором.

Согласно легендам американского континента, знаменитые каменные шары (больших размеров), разбросанные в некоторых местах Америки, это - остатки когда-то могущественного племени богов. Боги воплощались в образе каменных шаров, летавших по небу. Затем они покинули своих почитателей, а ставшие ненужными каменные шары и сегодня время от времени находят в труднодоступных районах континента.

Изометрические деформации поверхностей постоянной кривизны. Обобщенные геликоиды. Теорема Миндинга (Minding) утверждает, что двумерные поверхности постоянной кривизны (с краем) можно изометрически деформировать. При этом сохраняется метрика и разрешаются самопересечения поверхности. Каждый овалоид, т.е. замкнутая поверхность (без края) положительной кривизны, является жесткой, т.е. не допускает изометричных деформаций. Если разрезать сферу вдоль сколь угодно малого отрезка ее экватора, то разрезанная сфера уже допускает нетривиальные изометричные деформации. Если применить такой прием к эллипсоиду вращения, то его можно продеформировать в обобщенный геликоид, похожий на цилиндр, на который плотно (виток к витку) намотан резиновый шланг.

Старая жрица взмахом палочки открывает празднество. Некоторые мифы наделяют особой магической силой именно старых женщин. Многие народы считают, что женщины способны вызывать дождь, распахивая поле (или изображая пахоту). Однако это правило не универсально: некоторые племена Тибета, напротив, наделяли магической силой маленьких девочек.

Концентрические хрустальные сферы вращаются вокруг своего центра с разными скоростями. Пифагор утверждал, что каждая из семи планет расположена на своей сфере так, что при вращении сфер возникает гармоническая музыка. Расстояния между сферами будто бы соответствуют музыкальным интервалам дорийского лада. В развитие этих идей Филолай считал, что в центре мира находится не Земля, а некий центральный огонь и что планеты и сфера звезд вращаются вокруг него. Эту теорию развили последующие астрономы. Вершиной средневековой теории стала система мира Птолемея. Его система эпициклов и деферентов объясняла многие видимые эффекты в движении планет и Солнца. Исследование "музыки сфер" - одна из серьезных ветвей средневековой каббалистики. Согласно некоторым легендам - главная цель мага заключается в том, чтобы узнать "правильную мелодию" исполнив которую, он получает власть над миром.

Конструирование сложных полиэдров из простых.

Скандинавские и германские мифы. Легенда о Валхалле и ее хозяине - боге Вотане (О'дине). Валхалла всегда скрыта облаками. Они рассеются лишь тогда, когда очищающий жертвенный огонь погребального костра героя Зигфрида поднимется к небу.

Фантазия на тему известного произведения польской фотографии. Однажды, во время посещения выставки польской фотографии, мне пришла в голову легенда острова Левкада (в Адриатическом море, вблизи Греции). "У левкадийцев существовал обычай ежегодно во искупление грехов сбрасывать преступника в море с водопада Возлюбленных - белой скалы на южной оконечности острова. Впрочем, чтобы смягчить падение, они привязывали к нему живых птиц и перья, а внизу, чтобы схватить его и выпроводить из пределов страны, его ожидала целая флотилия маленьких лодок. Возможно, что такого рода гуманные предосторожности были послаблениями, внесенными в более древний обычай сбрасывать искупителя чужих грехов в море с целью его потопления... В других районах Греции бытовал обычай каждый год бросать в море молодого человека, повторяя при этом молитву: "Будь очистителем нашим"..." (Дж.Дж.Фрэзер. Золотая ветвь. М.,1984,с.542).

Платоновский миф о том, что когда-то бог разрезал каждую душу на две половинки, после чего половинки ищут друг друга, чтобы вновь соединиться.

Скандинавские легенды о Зигфриде и Брунгильде. Прощание Брунгильды с Зигфридом, предательски убитым в спину Хагеном. Под влиянием колдовства Зигфрид забыл свою жену - валькирию Брунгильду и предал ее. Виной тому - золотое кольцо Нибелунга, которое Зигфрид надел на палец. Проклятие Нибелунга настигает героя и он трагически гибнет, так и не поняв истинной причины своего поражения. Вдали - в языке пламени - бог огня Логе, готовящийся вспыхнуть в погребальном костре Зигфрида и поглотить растерявшихся богов Валхаллы. Логе - единственный из богов, которому не страшно проклятие Нибелунга. Эти легенды легли в основу вагнеровского цикла "Кольцо Нибелунга".

Спайны трехмерных многообразий. Их можно рассматривать как коды многообразий: каждое 3-многообразие можно восстановить по его спайну (специального вида). Спайн получается так. Нужно разрезать многообразие (например, вырезать из него трехмерный шар), после чего получившееся многообразие с краем следует стянуть на его двумерный остов (иногда многообразие можно стянуть даже на одномерный граф или на нульмерное множество). Результат стягивания и называется спайном (spine). Рисунок изображает разрезание многообразия и стягивание на остов меньшей размерности.

Древние были убеждены, что существует глубокая связь между приливами, отливами и жизнью существ. Мнение, восходящее к Аристотелю, гласило: любое живое существо умирает только при отливе. Плиний утверждал, что это верование многократно подтверждалось на побережье Франции. Мнения, что большинство смертей случается при отливе, придерживались на всем восточном побережье Англии от Нортумберлэнда до Кента. В Португалии верили, что люди рождаются, когда вода прибывает.

Образы торов Лиувилля на сфере Пуассона. В теории движения тяжелого твердого тела известна сфера Пуассона. На нее можно спроектировать интегральные траектории системы уравнений, описывающие движение твердого тела, в результате чего на сфере появится область, заполненная образами траекторий. Она может быть довольно причудлива.

Раскалывающееся мировое яйцо. Интересный мифологический образ: из яйца возникает вселенная (иногда - род людской). Яйцо часто - золотое, из его верхней и нижней половинок произошли, соответственно, небо и земля (солнце - это желток). Естественный вопрос: откуда взялось яйцо? Ответ: оно существовало всегда. Обычно начало творения связывается с тем, что яйцо раскалывается. Впрочем, иногда из него рождается злая сила, в частности, змей (например, в яйце спрятана Кощеева душа). В греческом мифе Кронос одним семенем оплодотворяет два яйца, скрытые под землей и из них рождается змей Тифон (василиск также появляется из яйца).

Особенности гладких функций. В правой части показаны гомеоморфные образы особенностей, возникающих на поверхности, задаваемой уравнением

В храме Аполлона Дирадиотеса в Аргосе раз в месяц ночью приносили в жертву ягненка. Женщина-жрица (она должна была соблюдать целомудрие), отведав крови ягненка, приводилась богом в состоянии одержимости и пророчествовала. Жрицу Аполлона перед началом прорицания окуривали дымом священного лавра. На острове Мадура, близ северного побережья Явы, у каждого духа имеется постоянный медиум, чаще всего женщина. Вдыхая пары филиама, исходящие из дымящегося кадила, она постепенно впадает в транс и ее речь рассматривается затем как пророческая. (Дж.Дж.Фрэзер. Золотая ветвь. М., 1984, с.96). Распространено предписание, согласно которому не должна проливаться на землю кровь верховного правителя. Марко Поло писал, что присутствуя на казни знаменитого изменника Мурро О'Брайена в городе Лимерик, он видел, как старая женщина - его приемная мать - взяла отрубленную голову и выпила всю вытекавшую из нее кровь со словами, что земля недостойна ее впитать.

Понятие топологической размерности. Трехмерность пространства означает, что его можно "замостить" сколь угодно мелким покрытием, в котором элементы покрытия ("кирпичи") пересекаются не более чем по четыре, т.е. пересечений по пять и выше можно избежать.

Пирамида - важный религиозный символ. Пирамиды Египта окружены многочисленными погребениями (как и христианские храмы). Мировое древо, древо жизни и познания иногда также связывали с пирамидой. Древо мира помещалось в центре мира. По мнению ацтеков, например, человечество взбирается на дерево мира, по сторонам которого находятся боги солнца и смерти. Элементы древа мира включены в конструкцию мексиканской пирамиды Теночтитлан.

Сепаратрисная диаграмма критической точки. Невырожденная критическая точка индекса один гладкой функции, заданной на трехмерном многообразии, характеризуется тем, что в нее "снизу" входят две одномерные сепаратрисы, а "наверх" выходит двумерный сепаратрисный диск. Получается нечто вроде "колокола", изображенного на рисунке. При этом его "ось" условно изображает две "одномерных уса"-сепаратрисы.

Священное копье. В средневековой Азии был распространен мотив сотворения мира небесным существом, спустившимся с неба и ставшим мешать воду первозданного океана гигантским копьем. В океане возникло сгущение, давшее начало будущей земле. Японские острова тоже, якобы, возникли из грязной пены, поднявшейся в тот момент, когда бог стал мешать мировой океан острием своего копья. Создав мир, бог вешает копье на стену своего жилища. На конце копья горит пламя, освещающее мир. В средние века морские легенды обожествляли так называемые "огни святого Эльма" - трепещущие языки пламени, иногда возникающие на вершинах мачт кораблей (и вообще - на концах острых предметов) в перенасыщенной электричеством грозовой атмосфере океана.

Изображены поверхности уровня некоторой функции, заданной на трехмерном пространстве. Поверхность уровня - это множество точек, в которых значение функции равно фиксированному числу. Топология поверхности уровня может меняться, когда значение функции изменяется и пересекает при этом критическое значение. В этот момент на соответствующей поверхности уровня возникают критические (особые) точки функции. Если f - это функция, то grad f - это поле градиента этой функции. Можно считать, что оно ортогонально поверхностям уровня во всех неособых точках. В особых точках возникают сепаратрисные диски, спускающиеся вниз от одной поверхности уровня к другой. Топология многообразия в значительной мере определяется тем, как перестраиваются поверхности уровня функции, заданной на этом многообразии (теория Морса).

Многие старинные культы имели в своей основе поклонение вулканам - как воплощениям божеств. Такое грандиозное природное явление как вулканическое извержение производило потрясающее впечатление на древних. В римской мифологии Вулкан - бог разрушительного и очистительного пламени. Играл важную роль в магии: он мог на 10 лет отсрочить веления судьбы. Вулканизм описывается и в Библии. "Вы приблизились и стали под горою, а гора горела огнем до самых небес, и была тьма, облако и мрак. И говорил Господь к вам [на горе] из среды огня: глас слов [Его] вы слышали, но образа не видели..." (Второзаконие. 4:11-12).

Возникновение и распространение трещин в материале - один из важных разделов современной науки.

Океан ночью. Флотилия судов, уходящая в далекое плавание. Средневековая греческая легенда о Хароне - перевозчике мертвых в Аиде. Он перевозит души мертвых по гигантской подземной реке. Цена перевоза - один обол. При погребальном обряде его клали под язык. Харон перевозит лишь тех, чьи кости обрели покой в могиле. Стикс - река в царстве мертвых. Клятва водой Стикса - самая страшная. Эней был единственным живым человеком, которого мрачный старик Харон был вынужден перевезти через реку, поскольку Харону была показана золотая ветвь, сорванная в роще Персефоны.

Сепаратрисная диаграмма критической седловой точки гладкой функции на трехмерном многообразии. При изучении свойств функций f на многообразиях особую роль играют ее критические точки, где первый дифференциал функции обращается в ноль. Критическая точка невырожденна, если второй дифференциал функции невырожден в этой точке. Такие точки характеризуются индексом, т.е. числом независимых направлений, по которым функция убывает. С каждой критической точкой связана ее сепаратрисная диаграмма, пример которой изображен на рисунке (в виде колокола). Сепаратрисная диаграмма - это объединение сепаратрис, входящих в критическую точку и исходящих из нее. Сепаратриса - это интегральная траектория векторного поля grad f, взаимодействующая с критической точкой. Любая невырожденная седловая особенность гладкой функции на трехмерном пространстве имеет сепаратрисную диаграмму, состоящую из двумерного диска, "по нормали к которому" выходят две траектории (вверх и вниз). Условно сепаратрисная диаграмма изображается в виде колокола, массивная часть которого соответствует двумерной части сепаратрисной диаграммы, а язык колокола и цепь подвеса (на которой висит колокол) - это одномерные сепаратрисы.

Гигантский колокол, висящий в пространстве. Уцепившись за веревку, привязанную к его языку, жрецы пытаются прекратить гул колокола. Гром в небе - это отголосок от удара молота бога Тора по колоколу. Тор - один из основных богов германо-скандинавского пантеона. Богатырь, вооруженный боевым молотом Мьелльниром, Тор ездит в повозке, запряженной козлами. Великан Трюм похищает молот Тора и Тор отправляется в страну великанов на поиски своего грозного оружия. Переодевшись в одежду богини Фрейи - якобы невесты, предназначенной Трюму, Тор проникает в жилище Трюма и, получив в качестве свадебного подарка свой молот, сокрушает великанов.

Изображена (в развертке) последовательность случайных чисел, где каждое число условно закодировано своим геометрическим образом. Например, последовательность знаков десятичного разложения числа "пи" является примером такой последовательности.

Многие средневековые ритуалы были направлены на управление погодой (вызывание дождя или его прекращение, контроль над ветрами и т.п.). Воронки смерчей часто при этом отождествлялись с духами, управляющими ураганом. Про бедуинов Восточной Африки известно, что "ни один смерч не промчится на их пути без того, чтобы за ним не погналась дюжина мужчин с обнаженными кинжалами, нанося удары в центр пыльного столба с замерением изгнать злого духа, который, согласно поверью, скачет верхом на урагане".(Дж.Дж.Фрэзер. Золотая ветвь. М. 1984, с.84). Геродот рассказывает, что однажды в стране псиллов ветер высушил водоемы. Тогда весь народ в полном составе отправился в пустыню на войну против южного ветра. Но когда они вошли туда, на воинов обрушился самум, который погреб их всех до единого.

Симметричные возмущения поверхности. Если группа симметрий возмущения является подгруппой в группе вращений, то возмущения, инвариантные относительно такой подгруппы, могут изображаться примерно так, как показано на рисунке. Они напоминают волны, расходящиеся от камня, брошенного в спокойный водоем.

Пророчество Эрды - богини земли в скандинавской мифологии. Ее сын - бог Тор. Перед последней битвой бога Тора с мировым змеем Ермунгандом, Эрда посылает сыну вещих птиц. Земля вспучивается, лопается, из-под земли поднимаются огромные птицы и направляются к Тору, неся пророчество Эрды. Тор вступает в битву, поражает змея, но погибает сам от изрыгаемого змеем яда. Пророчество Эрды сбывается.

Юмористический рисунок. Конец погони. Преследователь почти догнал беглеца, но добраться до него не может. Оба сильно устали. Что делать дальше - непонятно.

Разветвленные накрытия над сферой. Сфера односвязна, однако над сферой есть много разветвленных накрытий. Любое компактное трехмерное многообразие можно представить в виде разветвленного накрытия над трехмерной сферой. Проекцию разветвленного накрытия на сферу можно представлять себе наподобие бутона розы. Отдельные лепестки цветка накрывают сферу (содержащуюся внутри цветка), причем лепестки замысловато стыкуются друг с другом.

Сказочный цветок, расцветающий, согласно средневековым легендам, в день летнего солнцестояния. Немецкое предание утверждает, что охотник в полдень летнего солнцестояния выпустил стрелу в солнце и стал обладателем жар-цвета: с солнца упали три капли крови - они-то и были жар-цветом. Охотник поймал их и положил на кусок белой ткани. Уральская легенда о каменном цветке, высеченном мастером из малахитовой глыбы в недрах огнедышащей горы. Многочисленные легенды о жар-цветке могут быть связаны с вулканизмом. "Гора же Синай вся дымилась оттого, что Господь сошел на нее в огне: и восходил от нее дым, как дым из печи, и вся гора сильно колебалась: и звук трубный становился сильнее и сильнее. Моисей говорил, и Бог отвечал ему голосом."(Исход 19;18-19). После беседы с Богом Моисей спустился с горы, держа в руках две "каменные скрижали" - плиты, на которых были записаны заветы Бога.

Эней, спускаясь в подземное царство, берет с собой ветвь омелы. Он попадает в обширный темный лес, раскинувшийся у врат ада. Увлекаемый двумя голубями, Эней все дальше углублялся в дебри первозданного леса, пока сквозь тени скал и деревьев не увидел мерцающий вдалеке отсвет Золотой ветви. В качестве объекта культа друиды выбрали дуб с растущей на нем омелой, считая, что каждый такой дуб не только был поражен молнией, но и хранил этот огонь. Поэтому, срезая омелу, друиды надеялись овладеть силой молнии. В ведических гимнах говорится, что бог огня Агни родился в лесу и был распределен среди растений.

Из иллюстраций к книге «Введение в топологию»
(авторы: Ю.Г.Борисович, Н.М.Близняков, Я.А.Израилевич, Т.Н.Фоменко)

Цветной ковер числа "пи". Здесь десятичное разложение числа располагается на плоскости в виде квадратной спирали, раскручивающейся от центра картины. Напомним, что десятичное разложение "пи" начинается так: 3,14159265358979323846... и т.д. Бесконечную плоскость разбиваем на квадраты (квадратная решетка), цифру 3 помещаем в центр, а затем, двигаясь против часовой стрелки, последовательно выписываем все цифры десятичного разложения, перемещаясь по квадратной спирали. При этом все время движемся по внешней стороне уже заполненной фигуры. Изображено около 2500 знаков десятичного разложения числа "пи", в результате чего возник "квадрат" размером 46 x 46. Каждая цифра закодирована своим цветом: 0 = белый, 1 = коричневый, 2 = красный, 3 = оранжевый, 4 = желтый, 5 = зеленый, 6 = голубой, 7 = синий, 8 = фиолетовый, 9 = черный (в конце спирали несколько клеток не закрашены). Выбор цветной кодировки произволен (и в другом рисунке, посвященном числу "e" мы применим другую расцветку цифр).

Начальная цифра 3 никак не закрашена, чтобы был виден центр цветного ковра. Все остальные цифры, начиная с 1 (т.е. сразу после запятой), закрашены соответствующими цветами. Получившийся ковер и видит зритель. Поскольку цифры разложения образуют случайную последовательность, то и "квадратный ковер" является "случайным", т.е. распределение цветов на нем полностью хаотично (в некотором смысле, который мы здесь не уточняем). Ковер был бы случайным и при другом способе заполнения плоскости, например, можно было бы наматывать разложение "пи" по треугольной спирали и т.п. Человеческие фигурки, покрывающие ковер, усиливают эффект случайности, поскольку никакого соответствия между цифрами и фигурками нет. Замечательно, что если построение цветового ковра продолжить достаточно долго, то рано или поздно на нем возникнет любая картина, когда либо нарисованная художниками прошлого (а также появятся все картины, которые будут нарисованы в будущем). Например, зритель рано или поздно увидит на ковре все картины Рафаэля, Микеланджело и др. Правда, придется долго ждать - быть может, миллиарды лет. Впрочем, фантазия зрителя может попытаться увидеть какое-либо изображение уже на квадрате с 2500 знаками. Например, замечательный советский математик Андрей Николаевич Колмогоров рассматривая эту мою работу, отыскал в ней "мышку с лукошком" в правой лапке. А.Н.Колмогоров высказывал глубокие натурфилософские идеи о случайности и бесконечности, возникавшие у него при сравнения друг с другом построенных мною цветовых ковров чисел "пи" и "e".

Так называемые клеточные разбиения двумерных поверхностей

Динамика тяжелого твердого тела. Волчки, гироскопы

Динамика тяжелого твердого тела. Если волчок слегка несимметричен, то при большой скорости вращения он лопается

Перестройки торов Лиувилля в интегрируемых системах с двумя степенями свободы. Бифуркации типа «атом В»

Перестройки торов Лиувилля в интегрируемых системах с двумя степенями свободы. Неориентируемая бифуркация. Особым слоем здесь является погруженная бутылка Клейна

Двулистное накрытие тором бутылки Клейна

Перестройки торов Лиувилля в трехмерных изоэнергетических многообразиях интегрируемых гамильтоновых систем

Показана идея доказательства следующей теоремы: на любом гладком симплектическом многообразии размерности 2n всегда существует набор из n гладких независимых функций, находящихся в инволюции. Такие семейства функций называются полными инволютивными. Поиск таких семейств - одна из центральных задач гамильтоновой механики. Полные инволютивные семейства функций - это интегралы уравнений (т.е.величины, сохраняющиеся при движении вдоль интегральных траекторий). Для построения примера таких семейств функций, нужно покрыть почти все многообразие M непересекающимися открытыми шарами так, чтобы дополнение к объединению шаров имело меру нуль. Такое счетное семейство шаров (постепенно уменьшающихся в размерах) и показано на рисунке. Затем достаточно построить полное инволютивное семейство функций на одном из шаров и повторить то же самое на остальных шарах. После чего остается лишь "сшить" функции вместе, опираясь на то, что каждая такая функция обращается в ноль на границе шара. Множества, подобные изображенному на рисунке, встречаются и в других разделах математики (например, в теории фракталов - множества Мандельброта и Жулиа).

Изображена цветная квадратная спираль десятичного разложения замечательного числа "e". В основу картины положен тот же принцип, что и для числа "пи", однако изменено направление раскручивания спирали: теперь мы движемся от центра по часовой стрелке. Напомним, что разложение e начинается так: 2,7182818284590452353602874... и т.д. Цифры расположены так.

Начальная цифра 2 не закрашена и в этом квадрате помещены две фигурки: в остальных квадратах - ровно по одной. Остальные цифры, т.е. сразу после запятой, закрашены в соответствии со следующей таблицей (в самом конце спирали конце несколько клеток не закрашены):

0 = фиолетовый, 1 = оранжевый, 2 = красный, 3 = салатный, 4 = коричневый, 5 = розовый, 6 = зеленый, 7 = желтый, 8 = голубой, 9 = охра.

Эта цветовая кодировка отличается от кодировки числа "пи". Получающийся ковер выглядит иначе, чем ковер "пи", хотя и эта "картина" - случайна. Интересно сравнить друг с другом оба ковра. Поскольку они "случайны", то выбор цветовой гаммы не влияет на их характер. Как и в случае "пи", человеческие фигурки изображают эмоции. А.Н.Колмогоров, комментируя эту мою работу, говорил, что у него складывается ощущение, будто бы ковер "e" не столь "монолитен" как ковер "пи", т.е. картина "e" более хаотична чем для "пи". Ясно, что здесь речь может идти лишь о чисто субъективном впечатлении.

Великие египетские пирамиды внутри готического храма. Рисунок на обложку английского издания моей книги: Fomenko A.T. Empirico-Statistical Analysis of Narrative Material and its Applications to Historical Dating. Volume 1: The Development of the Statistical Tools. Volume 2: The Analysis of Ancient and Medieval Records. Kluwer Academic Publishers. 1994. The Netherlands.