Математика и Живопись / Кафедра Дифференциальной геометрии и приложений /

Если сплошная среда состоит из частиц, являющихся элементарными магнитами, то при включении внешнего магнитного поля частицы выстроятся приблизительно в одном направлении, вдоль силовых линий поля. Частицы условно изображены человеческими фигурками. Но не все частицы могут занять правильное положение. Внутри сплошной среды могут быть точки нарушения однородности. Около них влияние внешнего поля искажено. В теории поля элементарные частицы снабжаются спином, который также реагирует на внешние поля.

МИФОЛОГИЯ

Принесение жертв ради посевов было широко распространено в древности. Мексиканцы приносили человеческие жертвы на разных стадиях созревания маиса. Причем возраст жертв соответствовал возрасту маиса. Во время сева приносили в жертву новорожденных младенцев. Когда начинали пробиваться побеги — детей старшего возраста. Так поступали до полного созревания маиса, когда в жертву приносили стариков. (Дж.Дж.Фрэзер, «Золотая ветвь».)

МАТЕМАТИКА: УДАР

Один из интереснейших разделов теоретической механики — исследование удара материальных тел с учетом не только их поступательного, прямолинейного движения, но и с учетом вращения вокруг своих осей. Соответствующие уравнения сложны и их решения довольно экзотические. Важный частный случай — столкновение вращающихся материальных (шершавых) шаров. Здесь суммируются несколько эффектов: закон отражения идеальных шаров, рассматриваемых как материальные точки (как в задаче о биллиарде), правило композиции векторов угловых скоростей, силы трения. Удар шара о поверхность может привести к разрушению, появлению трещин. Теория возникновения и развития трещин — одна из актуальных в механике сплошной среды. Есть несколько ее математических моделей. Но далеко не все вопросы ясны до конца.

МИФОЛОГИЯ

Каменный град. Боги, обитавшие в гигантских каменных шарах, плававших в небе, разгневались на людей и покинули свои жилища-шары. Лишенные божественной силы, шары обрушились на землю, уничтожая страну. Библия: «Я человек, испытавший горе от жезла гнева Его. Он повел меня и ввел во тьму, а не во свет… Он сокрушил камнями зубы мои, покрыл меня пеплом» (Плач Иеремии 3:1-2,16). Такие легенды могут быть воспоминаниями об извержениях вулкана.

МАТЕМАТИКА: ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ, ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ

Показаны разнообразные типы волновых процессов, колебаний, встречающихся в механике и математической физике. Волна, распространяющаяся из центра рисунка направо, описывается простейшим синусоидальным графиком, на который наложены более мелкие гармоники, колебания высших порядков. Огромные волны-цунами (на горизонте) также могут изучаться как специальный класс решений соотвeтствующих уравнений в частных производных. В последние годы много внимания было уделено исследованию солитонов и «мелкой зыби» на водной поверхности. Реальная картина распространения волн на поверхности океана чрезвычайно сложна и лишь в грубом приближении может изучаться в некоторых частных случаях при помощи компьютерного анализа. Сегодня существует много различных математических теорий, пытающихся моделировать зарождение тайфунов и ураганов в атмосфере.

МИФОЛОГИЯ

Легенда о Летучем Голландце. Знаменитый средневековый миф о корабле-призраке, бесконечно странствующем по океанам вместе с капитаном и командой, над которыми тяготеет проклятие. Встреча с этим мрачным кораблем чрезвычайно опасна. Существовали специальные молитвы для предотвращения такой встречи. Миф об аргонавтах и их корабле Арго. При выходе в Понт, Арго неизбежно должен был пройти между сближающимися и вновь расходящимися плавучими скалами Симплегадами. Они уничтожали проплывающие между ними корабли. Но Финей рассказал аргонавтам как обмануть скалы. В результате Арго настолько стремительно прошел между ними, что сблизившиеся скалы лишь слегка повредили его корму и застыли после этого навсегда.

МАТЕМАТИКА: БЫСТРЫЙ УДАР

Процессы в твердом материале, происходящие в тот момент, когда его пробивает быстро летящая пуля, представляют большой интерес в механике сплошной среды. Для экспериментального изучения такого удара используют киносъемку, позволяющую затем проследить за всеми этапами.

МИФОЛОГИЯ

Тяжелые ледяные конусы, проломившие сверху небесный свод. В средние века много спорили о материале, из которого изготовлено небо. У индейцев суньи и у греков — это камень. В дальнейшем это мнение было вытеснено представлением о металлическом небе. У финикийцев — это голубой ковер с блестками. У арабов — многоярусное небо из драгоценных сверкающих материалов: золото, хрусталь, жемчуг, смарагд. У индусов — золотое яйцо (а земля — серебряное яйцо). Некоторые средневековые ученые считали, что небо — это огромная жидкая масса, поддерживаемая над землей твердым, прозрачным веществом. На небе живут боги. Иногда они воюют друг с другом. Тогда их топоры и копья проламывают небесную твердь и с земли через эти пробоины можно увидеть следующие небеса. В джайнской мифологии количество небес доходило до 63.

МАТЕМАТИКА: ЗАДАЧА О ВИХРЯХ

Многие фундаментальные законы физики описываются гамильтоновыми дифференциальными уравнениями. С задачей о вихрях связаны интересные геометрические образы. Вихрь — это особая точка в потоке жидкости или газа. Около такой точки жидкость вращается как показано на рисунке. Частицы жидкости движутся по спиралям, приближаясь к центру вихря. Вихри, ураганы, тайфуны возникают в атмосфере. Если в потоке возникло несколько вихрей, то они взаимодействуют друг с другом, перемещаясь по поверхности в соответствии с довольно сложными законами. Иногда задача о вихрях «интегрируема». Это означает, что удается описать движение центров вихрей при помощи «аналитических формул».

МИФОЛОГИЯ

Управление ветрами с помощью магии — старинное искусство. Финские колдуны продавали попутный ветер задержанным бурей морякам. Ветер содержался в трех узлах. Если развязать первый — дул умеренный ветер. Если второй — сильный. Если же третий — начинался ураган. При императоре Константине, в Константинополе был предан смерти некто Сопатер по обвинению в задержании ветров с помощью магии. Ветер отождествлялся с дыханием богов. В индуистской мифологии выдох Брахмы означает творение мира, а вдох — его уничтожение. У греков особое внимание уделялось двум ветрам: Борею и Зефиру. Ветер-вихрь ассоциировался с деятельностью титанов и киклопов. Эолова пещера — это подземное жилище ветров. Сильный ветер, буря, ураган — это вестник божественного откровения. Ветер — это обиталище множества духов. Среди них летят и души умерших людей.

МАТЕМАТИКА: ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ

Условно показано упорядоченное движение заряженных частиц, обладающих спином (грубо говоря, вращательным движением). При наложении внешнего поля некоторые частицы ориентируются примерно одинаковым образом, выстраиваются вдоль линий поля.

МИФОЛОГИЯ

Одно из древних табу запрещало богочеловеку касаться земли ногами. Это предписание распространялось, в частности, на верховного жреца сапотеков в Мексике. Любое его прикосновение к земле было равносильно профанации его святости. Никогда не ступала на землю нога правителя Мексики Монтесумы: знатные ацтеки постоянно носили его на своих плечах. А в местах, где их повелитель сходил на землю, подстилали ему под ноги роскошный ковер. Прикосновение к земле считалось неслыханным позором для микадо. В XVI веке из-за такого проступка микадо был лишен трона. Согласно старинному брахманскому ритуалу, при восшествии на престол царь наступал на шкуру тигра и на золотое блюдо. С этого момента он на всю остальную часть жизни лишался права ступать по земле босыми ногами. Как отмечал Дж.Дж.Фрэзер, первобытные лидеры понимали святость, присущую священным лицам, как некую материальную субстанцию, которым священное лицо заряжено как лейденская банка. При соприкосновении с землей весь этот заряд может уйти из богочеловека, так как земля считалась отличным проводником магических флюидов.

МАТЕМАТИКА: ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ

При движении потока жидкости и газа вблизи границы потока возникают сложные эффекты из-за взаимодействия двух сред на поверхности раздела. Возникает так называемый пограничный слой, свойства которого до сих пор полностью не изучены.

МИФОЛОГИЯ

Из цикла «Трибунал». Осужденный выслушивает приговор. Судьи и присяжные видны вдали на наклонной галерее, пересекающей небо.

МАТЕМАТИКА: КАРТИНА ОБТЕКАНИЯ ШАРА НАБЕГАЮЩИМ ПОТОКОМ ГАЗА

Показаны некоторые эффекты, связанные с движением тяжелого твердого тела (например, шара) в набегающем потоке жидкости или газа. При небольших скоростях обтекание шара происходит плавно. Если же скорость возрастает, то в потоке появляются завихрения. Есть различные математические модели, позволяющие изучать и прогнозировать эти явления. Это важно при проектировании летательных аппаратов. Движение тяжелого твердого тела в идеальной жидкости (газе) описывается уравнениями, которые можно изучать методами теории групп Ли и гамильтоновой геометрии. Интересно, что эти уравнения являются частным случаем более общих, «многомерных» уравнений, описывающих движением многомерных аналогов твердого тела (в многомерных пространствах).

МИФОЛОГИЯ

Легенда о богах, воплощавшихся в каменных шарах, плавающих в небе и иногда спускающихся ниже к земле, чтобы вступить в контакт с поклоняющимися им людьми. Однако смертельно опасно попасть в тень такого шара. Легенда о «мировом яйце». Орфический миф о возникновении из яйца, плавающего в космосе, — Фанеса, божественного творца, сияющего как солнце. В египетском мифе солнце появляется из яйца, снесенного птицей Гоготун. Зритель видит момент, когда из трещин лопающегося яйца начинает вырываться сияние заключенного в нем солнца.

МАТЕМАТИКА: СФЕРА ПУАССОНА

Это двумерная сфера, на которую проектируются интегральные траектории, описывающие движение тяжелого твердого тела (например, вращающегося симметричного волчка). В зависимости от формы твердого тела, на сфере появляются различные области.

МИФОЛОГИЯ

По Анаксагору, Солнце, Луна, планеты и другие небесные светила — это каменные шары, некогда оторвавшиеся от Земли. Некоторые из них раскалены вследствие своего быстрого движения. Планеты-боги одушевлены, каждая имеет свою индивидуальность. Другие народы верили, что каменные раскаленные шары катятся по небесам, которые прогибаются под их тяжестью как прогибается натянутая ткань, на которую бросили тяжелый камень. В мифологии Вьетнама божества тоже катят по небу огромные золотые и серебряные шары. Вечером «господин солнца» скатывает солнце на землю и скрывает его в темноте под плотным покрывалом. Ночью он катит солнце на восток по южному краю земли. В это время Луну катят по тому же пути, но в обратном направлении.

МАТЕМАТИКА: КАЧЕНИЕ И СКОЛЬЖЕНИЕ

Катящиеся или скользящие диски, пластины, коньки, лезвия бритв — различные примеры механических систем, среди которых важное место занимают так называемые неголономные системы, или системы с неголономными связями. Классический пример — скольжение конька по льду. Здесь скольжение ограничено условием, что конек не может перемещаться в направлении, ортогональном его лезвию. На математическом языке это означает, что наложенная на конек связь выражается дифференциальной формой, которой соответствует неинтегрируемое распределение. Рисунок показывает скольжение (или качение) похожей механической системы: остро заточенного «диска» с краем сложной конфигурации. Исследование траекторий движения таких систем — нетривиальная математическая задача.

МИФОЛОГИЯ

Колеса Балсага — образ из осетинского эпоса. Дочь Балсага (дочь солнца) оскорблена Сосланом и просит отца отомстить ему. Балсаг посылает против Сослана огромные, все сокрушающие колеса. Охваченные пламенем, они несутся с неба на землю, обращая в пепел деревья, встречающиеся на пути. Все препятствия рушатся под ударами колес. Сослан просит деревья преградить путь колесу Балсага и лишь хмелю удается обвиться вокруг колеса и остановить его. Однако вскоре колесо Балсага повторяет свою попытку и когда Сослан отдыхал после охоты, оно настигло его, перебило колени и убило героя. Мотив гигантского колеса известен во многих культах. Широко распространен индоевропейский сюжет о состязании двух героев: солнечного (весеннего) героя и зимнего героя. Солнечный персонаж появляется в виде колеса, которое катится с горы и убивает противника. В индийском мифе солнечный бог Сурья во время состязания теряет колеса своей колесницы, которыми затем бог Индра убивает демона и т. д. До недавнего времени у многих народов Европы сохранялся праздник сжигания колес, как воспоминание о древних солнечных ритуалах.

<< ОГЛАВЛЕНИЕ

СЛЕДУЮЩИЙ РАЗДЕЛ >>