Математика и Живопись / Кафедра Дифференциальной геометрии и приложений /

Изображено касательное расслоение к окружности с одной угловой точкой. Базой расслоения является окружность, вложенная в двумерную плоскость и имеющая одну особую точку, где касательная к окружности не определена. Слои расслоения — это касательные. Касательное расслоение к окружности гомеоморфно двумерному цилиндру.

МИФОЛОГИЯ

«Древне»-греческая легенда. Завоеватели захватили храм и, набрасывая веревочные петли на расставленные вдоль стен храма огромные каменные статуи, стали сбрасывать их на землю. И вдруг одна из статуй заговорила. Перепуганные солдаты бросились врассыпную.

МАТЕМАТИКА: БИЛЛИАРДЫ И ЭРГОДИЧНОСТЬ

Теория биллиардов изучает поведение идеального шара, движущегося внутри какой-то области и отражающегося от ее границы (т.е. от «стенок») по правилу: «угол падения равен углу отражения». Движение шара зависит от формы области. Особо интересна «предельная картина», когда шар движется «бесконечно долго». В этом случае траектория шара начинает «заметать» данную область, покрывая ее все более усложняющейся сеткой пересекающихся линий. Если фиксировать последовательные положения катящегося шара через равные промежутки времени (скажем, через каждые 0,01 секунды), то область начнет «заполняться шарами». Автор изобразил (в виде черных шаров, пересекающих поле слева направо) последовательные положения катящегося шара. Разные участки области заполняются шарами, вообще говоря, неравномерно. На переднем плане видно, что кое-где шары распределены плотно, а в некоторых областях их мало.

МИФОЛОГИЯ

Древняя усыпальница воинов. Воина, павшего в битве, клали в полном его боевом одеянии и вооружении на огромный каменный шар (мифы Атлантики). Никто и никогда потом не прикасался к телу. В результате шары покрыли горное плато, вход на которое был потом запрещен.

МАТЕМАТИКА: БИЛЛИАРД, КЛЕТОЧНЫЕ КОМПЛЕКСЫ

Развивается тема биллиардов. Кроме того, иллюстрируется идея склеивания клеточных комплексов из шаров различных размерностей.

МИФОЛОГИЯ

Однажды жрецы неправильно совершили ритуал поклонения богам, прилетевшим в образе каменных шаров к храму. Разгневанные боги навсегда покинули страну. Каменные шары рухнули с неба на землю. Некоторые из них раскололись и их обломки остались безмолвными памятниками среди пустыни, в которую превратилась некогда цветущая страна.

МАТЕМАТИКА: ВНУТРЕННИЕ И ГРАНИЧНЫЕ ТОЧКИ МНОГООБРАЗИЯ. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

Изображенные объекты показывают различие между внутренними и граничными точками многообразия. Внутренние точки обладают окрестностью, гомеоморфной открытому евклидову шару, а граничные точки лежат на экваториальном сечении половинки такого шара. Объдинение всех граничных точек дает границу многообразия. Склеивая шары и половинки шаров, мы получаем многообразие с краем. Изображенные шары являются стандартными евклидовыми, т.е. допускают ортогональную группу вращений, переводящих шар в себя. В то же время многие геометрические объекты могут допускать лишь дискретную группу симметрий. Половинка шара, которая видна на горизонте, не инвариантна при вращениях вокруг оси, проходящей через центр экваториального сечения. Этому препятствует «скульптураrlaquo;, появившаяся на границе полушара.

МИФОЛОГИЯ

Духи гор и скал. Согласно «древне»-индийской мифологии, весь мир, окружающий нас, одушевлен. Души могут переселяться в растения, животных, в камни и т. п. Но есть духи, постоянно живущие в скалах и обладающие особой мудростью (ср. с древней скандинавской богиней земли — Эрдой). При этом время для них течет совсем по другому: одна секунда в жизни скалы — это много тысяч лет для человечества. Поэтому камни понимают нашу жизнь, но мы — не понимаем их.

МАТЕМАТИКА: КОМПЛЕКСНАЯ ДИНАМИКА И МНОЖЕСТВА ЖУЛИА

Фракталы — это сложные множества, хаусдорфова размерность которых не является целым числом. Они возникают, в частности, в теории итераций комплексных отображений плоскости на себя.

МИФОЛОГИЯ

Битва титанов с Зевсом. Титаны — боги первого поколения, рожденные землей Геей и небом Ураном. Затем началась борьба между титанами и олимпийцами, богами с Олимпа. Битва длилась десять лет, пока на помощь олимпийцу Зевсу не пришли сторукие боги. Титаны были побеждены, низвергнуты в тартар (подземное царство), где их вечными стражами стали сторукие. Титаны считались архаическими богами, олицетворявшими грубые, катастрофические силы в природе. Рука Зевса, протянутая с неба, низвергает последнего титана.

МАТЕМАТИКА: КРИВИЗНА И КРУЧЕНИЕ

Бивни окаменевшего чудовища-мамонта изображают трубчатые окрестности двух кривых в трехмерном пространстве. В каждой точке кривой определены два ее инварианта — кривизна и кручение. Для изображенных кривых оба эти инварианта отличны от нуля. В каждой точке поверхности определены гауссова и средняя кривизны. Имеется простая связь между инвариантами гладкой кривой и инвариантами двумерной границы ее трубчатой окрестности. В геометрии эта связь изучается так называемой теорией трубок.

МИФОЛОГИЯ

Скальный храм в честь бога-слона. Перед охотой охотники приходят к храму, прося простить их за будущие жертвы. Кафры Амакоса, прежде чем напасть на слона, криками просят у него прощения за убийство, которое они готовятся совершить. Они уверяют слона в своем почтении к нему и объясняют, что им нужны его бивни, чтобы сделать бусы и другие украшения. Убив слона, они зарывают в землю кусок его хобота и фигурки из слоновой кости. Таким путем они рассчитывают отвратить несчастье, которое иначе неминуемо обрушилось бы на них.

МАТЕМАТИКА: ПРОБЛЕМА АЛГОРИТМИЧЕСКОГО РАСПОЗНАВАНИЯ СТАНДАРТНОЙ ТРЕХМЕРНОЙ СФЕРЫ В КЛАССЕ ВСЕХ ТРЕХМЕРНЫХ МНОГООБРАЗИЙ

Одна из интересных проблем трехмерной топологии — эффективно и алгоритмически распознать конкретное трехмерное многообразие в классе всех 3-многообразий. Например, для случая 3-сферы такая задача решена. Однако обнаруженные алгоритмы распознавания 3-сферы достаточно сложны и пока не доведены до реализации на компьютере. Причем, сфера — это простейшее многообразие. Казалось бы, несложно ответить на вопрос: является ли какое-либо предъявленное вам 3-многообразие сферой или нет. Однако дело в том, что алгоритм может работать лишь с «кодами многообразий». Но одно и то же многообразие (в том числе и 3-сфера) представляется бесконечным числом различных кодов. То есть, один и тот же объект можно закодировать по-разному. Как распознать: задает ли предъявленный компьютеру код стандартную сферу? Трудность в том, что 3-сфера может «маскироваться» под разными «личинами».

В двумерном случае задача алгоритмического распознавания 2-многообразий давно решена. На рисунке изображена сложная фигура, являющаяся в действительности 2-сферой, но подвергнутая сложному гомеоморфизму.

МИФОЛОГИЯ

Согласно средневековым воззрениям, во время сна душа может покидать тело и странствовать отдельно от него. Важная часть души и силы считалась заключенной в волосах. В Европе бытовало мнение, что злые чары ведьм и колдунов заключены в волосах и, пока они не острижены, на эту нечисть нет никакой управы. Инквизитор Шпренгер (один из авторов известной средневековой книги «Молот ведьм») приказывал перед началом дознания обривать голову подозреваемого. Его более ретивый коллега Куман прежде чем послать на костер 47 женщин, сбрил все волосы на их теле. (Дж.Дж.Фрэзер, «Золотая ветвь»). Самый простой способ избежать опасности, связанной со стрижкой, — вообще не стричься. К этому средству прибегали в тех случаях, когда считалось, что риск необычайно велик. Франкским королям якобы вообще не разрешалось стричь волосы: они ходили нестриженными с самого детства. Состричь волосы означало отказаться от права на трон. Хлотарь и Хильдеберт, стремясь захватить трон, хитростью заманили к себе двух истинных наследников — сыновей умершего Хлодомера. Затем они послали в Париж к королеве Клотильде гонца с ножницами и мечом. Гонец поставил ее перед выбором: или постричь детей и они останутся жить, или их ждет смерть. Гордая королева выбрала второй вариант и несчастные дети погибли.

МАТЕМАТИКА: ДВУМЕРНАЯ СФЕРА В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ МОЖЕТ БЫТЬ ВЫВЕРНУТА НАИЗНАНКУ

Интуитивно ясно, что стандартную окружность, вложенную в плоскость, нельзя «вывернуть наизнанку» посредством гладкой гомотопии в классе погружений. Можно доказать, что при любой попытке выворачивания обязательно возникнут угловые, «плохие» точки, как результат стягивания бесконечно малых петель. В то же время, двумерную сферу можно вывернуть наизнанку в трехмерном евклидовом пространстве в классе гладких погружений. То есть, самопересечения сферы допускаются, однако изломы и нарушения гладкости запрещены. Изобразить выворачивание сферы довольно сложно. Известно несколько способов таких изображений. Одно из них условно показано на рисунке.

МИФОЛОГИЯ

Храм змея-дракона. Легендарное существо как смесь разных животных: несколько голов, туловище змеи, ящера, крокодила, крылья птицы. Иногда в состав тела входят части рыбы, пантеры, льва, козла, собаки, волка и др. Огнедышащий змей — наиболее распространенный мифологический образ европейских легенд. В греческих мифах трансформировался в образ лернейской гидры с девятью змеиными головами. Змей — священный символ египетского фараона (змея Урей). Радуга — символ змея. Этот символ может быть благодатным, либо гибельным. По мифологии мунда радуга — напоминание об огненном потопе (огненном дожде), который изрыгнул змей, чтобы погубить м¨ир.

МАТЕМАТИКА: ОПЕРАЦИИ СКРУЧИВАНИЯ ИЛИ ОПЕРАЦИИ ДЕНА

Разрежем поверхность по какой-либо замкнутой, гладкой, несамопересекающейся кривой. Затем обратно склеим два получившихся берега разреза, но применив при этом какой-либо гомеоморфизм, «подкрутку». В результате возникнет некоторый гомеоморфизм исходной поверхности. Эти операции применяются для описания групп гомеоморфизмов двумерных поверхностей.

МИФОЛОГИЯ

Согласно китайским мифам, где-то в океане имеется огромная воронка (впадина или яма), куда отсасывается лишняя вода. Смерчи — это дети воронки, снующие вокруг и охраняющие ее. Когда океан хочет послать весть небу, смерчи сливаются в ураган, который отправляется в путь. В средневековой Европе долго верили, что Гольфстрим также исчезает в какой-то гигантской воронке, засасывающей корабли. Воронка эта обожествлялась и, согласно мифам Атлантики, мощные ураганы, возникающие в океане и обрушивающиеся на побережье, — это посланцы бога, собирающие урожай душ.

МАТЕМАТИКА: МЕЖДУ ДВУМЯ МАКСИМУМАМИ ВСЕГДА ЕСТЬ СЕДЛОВАЯ КРИТИЧЕСКАЯ ТОЧКА

Известная теорема (т.н. принцип перевала) гласит следующее. Пусть гладкая функция Морса (т.е. с невырожденными критическими точками) определена на связном многообразии и имеет на нем по крайней мере два локальных максимума. (Вместо максимумов можно рассмотреть минимумы). Тогда «между ними» обязательно есть седловая критическая точка, т.е. «перевал». Идея доказательства интуитивно ясна. Нужно соединить на графике функции две точки максимума резиновой нитью, целиком лежащей на графике, и отпустить ее, запрещая покидать график. Нить начнет скользить по нему, и в конце концов где-то остановится. Ясно, что при этом она пройдет через седло. На рисунке — скалистый пейзаж, соответствующий графику функции с четырьмя максимумами. Здесь они порождают три седла.

МИФОЛОГИЯ

Огромная стая птиц закрывает небо. Птицы — один из важнейших элементов многих средневековых культов. Вороньи стаи становились объектом толкования и предсказания. Жрецы гадали по форме стаи. Иногда ворона — символ коварства, в Японии — вестник богов, в Греции — вестник плохих вестей, но символ долголетия, во Франции и Италии — птица, приносящая несчастье. Гусь иногда выступал как символ космического хаоса. В средневековой Западной Европе считали, что гуси — ездовые животные ведьм. Дятел в христианской традиции — символ ереси и дьявола (?). Ворон — часто эквивалент орла, выступает в роли творца мира. Считался загадочной птицей, несущей угрозу. В сказках встреча воина или рыцаря с вороном часто — дурное предзнаменование. Впрочем, иногда ворон открывает какую-либо тайну герою.

<< ОГЛАВЛЕНИЕ

СЛЕДУЮЩИЙ РАЗДЕЛ >>