ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ. Геометрические образы и ассоциации в математике
   1. Образы в топологии
   2. Образы в теории многообразий
   3. Образы в математическом анализе
   4. Образы в теории дифференциальных уравнений и физике
   5. Образы в вариационном исчислении
   6. Образы в алгоритмической и компьютерной геометрии
   7. Образы в общематематических концепциях
Ю.И.Манин. ВМЕСТО ПОСЛЕСЛОВИЯ

1. ОБРАЗЫ В ТОПОЛОГИИ

МАТЕМАТИКА: РОГАТАЯ СФЕРА (СФЕРА АЛЕКСАНДЕРА)

Изображен объект, хорошо известный в трехмерной топологии. Наглядно демонстрируется один из важных фактов в теории вложений двумерных поверхностей в трехмерное евклидово пространство. Хорошо известно, что если двумерная сфера гладко вложена в трехмерное евклидово пространство (т.е. вложена как гладкая несамопересекающаяся поверхность), то она разбивает пространство на две открытые области. Одна из них гомеоморфна трехмерному шару, а другая — дополнению к этому шару в пространстве. Обе эти области односвязны. Это означает, что любой непрерывный замкнутый путь (т.е. петля), лежащий в области, непрерывно стягивается по ней в точку.

Интуитивно очевидным кажется следующее предположение: односвязность этих двух областей остается справедливой и для топологических (т.е. непрерывных) вложений сферы в трехмерное евклидово пространство. Напомним, что такое вложение задается непрерывным отображением сферы в пространство, устанавливающим гомеоморфизм сферы с ее образом. (Гомеоморфизм — это взаимно-однозначное и непрерывное в обе стороны отображение).

Однако здесь интуиция нас обманывает. Оказывается, топологические вложения сферы могут быть устроены существенно сложнее, чем гладкие вложения. Одно из таких (так называемых «диких») вложений и видит читатель. Оно не является локально плоским.

Вложение строится поэтапно и является «пределом» (в некотором точном смысле) следующих гладких (а потому — локально плоских) вложений. Нужно «зацепить пальцы рук» как показано на рисунке, причем пальцы не должны касаться друг друга. После этого из «конца каждого пальца» вырастают два новых пальца (меньшего размера), которые также зацепляются, не касаясь друг друга. И так далее. На каждом шаге число вновь вырастающих пальцев удваивается. В результате вложение усложняется.

«Переходя к пределу», мы и получаем искомое топологическое вложение сферы. Оно не локально плоское в бесконечном числе точек. Замечательно, что получившаяся «рогатая сфера» разбивает трехмерное пространство на две области, из которых одна гомеоморфна шару, а вторая — неодносвязна.

МИФОЛОГИЯ

Узлам в древности придавался глубокий мистический смысл (в частности, заузливанию пальцев и т. п.). С точки зрения гомеопатической магии считалось, что скрещивание нитей, затягивание узлов, скрещивание рук или ног (когда вы усаживаетесь поудобнее), противодействует свободному протеканию событий. Узлы могут убивать или излечивать. Теория узлов и зацеплений была одним из важнейших предметов, который изучали средневековые маги и колдуны. Хорошо известное правило, предписывающее участвовать в магических и религиозных обрядах с распущенными волосами и босыми ногами, также основывалось на опасении, что наличие узла или чего-то стягивающего на голове или на ногах участников отрицательно скажется на эффективности обряда. Подобную же способность некоторые народы приписывают кольцам. Вероятно поэтому у древних греков существовало правило (приписываемое Пифагору), запрещавшее ношение колец. (Дж.Дж.Фрэзер. «Золотая ветвь».)

МАТЕМАТИКА: ДВУМЕРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Справа видны сферы — простейшие 2-многообразия. Слева, как листья гигантских папоротников, вырастают проективные плоскости. Наверху — тор, «бублик». На переднем плане — лист Мёбиуса, в виде «скрещенного колпака». Здесь же — двумерные поверхности большого рода, т.е. сферы с большим числом ручек. А также — две поверхности, не являющиеся многообразиями. Это — сферы с тремя отождествленными точками. Получается нечто похожее на морское животное. Легко убедиться, что скрещенный колпак в действительности представляет собой лист Мёбиуса. Он расположен в пространстве так, что его граница стала плоской окружностью. Проективная плоскость получается склейкой диска с листом Мёбиуса по их общей границе. Поэтому «папоротник» связан как с листом Мёбиуса, так и с проективной плоскостью. Проективную плоскость нельзя вложить в R³ без самопересечений. Однако самопересечения можно устранить, «выйдя» в четырехмерное пространство.

МИФОЛОГИЯ

Путешественник испугался, случайно оказавшись в этом диком зоопарке. Древние считали, что все объекты окружающего нас мира имеют душу (камни, реки, растения). Однако увидеть это могут далеко не все.

МАТЕМАТИКА: ЛОКАЛЬНО ГОМОЛОГИЧЕСКИ НЕТРИВИАЛЬНОЕ ПРОСТРАНСТВО

Изображено двумерное топологическое пространство (бесконечный полиэдр), все группы гомологий которого тривиальны, то есть равны нулю. Это означает, что любой цикл на этой «поверхности» можно затянуть пленкой, т.е. представить в виде границы некоторой «пленки» на единицу большей размерности. В теории гомологий цикл, являющийся границей некоторой «пленки», считается тривиальным. Группы гомологий — важные топологические инварианты пространств, естественно появляющиеся во многих вопросах геометрии, механики, математической физики. Цикл можно наглядно представлять себе как «поверхность» без границы.

Изображенный полиэдр содержит две замечательные точки. Одна из них — в левом нижнем углу, а другая отнесена в бесконечность. Каждая из точек замечательна тем, что любая их открытая окрестность (не совпадающая со всем полиэдром), имеет нетривиальную (т.е. отличную от нуля) группу одномерных гомологий. Полиэдр склеен из бесконечного числа «раковин», каждая из которых изображается колпаком, верхушка которого приклеена (в одной точке) к основанию колпака. Если разрезать полиэдр в любом месте, то обязательно разрежется по крайней мере одна раковина. В результате в колпаке появится дырка. Она и является нетривиальным одномерным циклом, который нельзя затянуть пленкой, целиком лежащей внутри отрезанной части полиэдра.

Полиэдр сконструирован так. Отверстие каждой раковины заклеено «завитком» следующей раковины. Именно этим объясняется описанное свойство полиэдра. При приближении к особым точкам полиэдра, раковины уменьшаются.

МИФОЛОГИЯ

В средние века кое-где существовал запрет на ношение колец и узлов. Некоторые народы, — например, индусы, — находили замечательный выход. На руку надевали браслеты в виде незамкнутых спиралей. И не кольцо, и не узел, и красиво. Полинезийский жрец во время праздника иногда выходил со змеей, обвившейся вокруг руки по спирали.

МАТЕМАТИКА: РАССЛОЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Расслоение — одно из важнейших понятий современной топологии. Такое пространство представляется в виде объединения слоев, т.е. таких подпространств, которые «похожи друг на друга». Например, гомеоморфны какому-то одному фиксированному пространству. Далее, они должны быть «параметризованы» точками другого пространства, называемого базой расслоения. Поэтому расслоение можно «спроектировать» на базу. На рисунке слои изображены в виде повторяющихся человеческих фигур. Слои расслоения могут быть устроены чрезвычайно сложно. Расслоение называется локально тривиальным, если прообраз любого достаточно малого «шара» базы (при проекции) является прямым произведением «шара» на слой.

МИФОЛОГИЯ

Изображена одна из йогических поз, предназначенная для уравновешивания духа. Средневековая легенда о Големе — оживляемом магическими средствами глиняном великане-роботе. Считали, что можно вылепить из глины фигуру десятилетнего ребенка и оживить ее специальным заклинанием. Фигура быстро растет, достигает исполинского размера и нечеловеческой мощи. Она послушно исполняет порученную ей работу. Впрочем, если произнести неправильное заклинание, чудовище может выйти из-под контроля и уничтожить своего создателя. Легенды считают создателем Голема раввина Лева (XVI–XVII века).

МАТЕМАТИКА: ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ ЗООПАРК

Изображены интересные двумерные полиэдры, возникающие в топологии, геометрии, теории минимальных поверхностей и позволяющие наглядно продемонстрировать нетривиальные математические теоремы.

Справа вверху зритель видит юмористическую сценку. «Оживший полиэдр» разваливается на свои составные части — раковины (скорпионы). Изогнутый к голове хвост «скорпиона» наглядно моделирует конструкцию полиэдра. Хорошо видно — как именно нужно склеивать «раковины», чтобы восстановить весь полиэдр.

Показано выворачивание наизнанку двумерного тора, в котором проделана дырка (т.е. вырезан маленький диск). Оказывается, если вывернуть такой продырявленный тор наизнанку (при помощи гомеоморфизма в трехмерном пространстве), то в результате снова получится тор с дыркой. Однако при этом параллель и меридиан начального тора поменяются местами. Другими словами, внутренняя поверхность тора станет внешней, а внешняя — внутренней.

Слева внизу (в тени колонны) лежит «ожерелье Антуана» — известный объект в общей топологии. Рядом (на освещенной площадке) — минимальная поверхность (мыльная пленка). Ее границей является окружность, обладающая тем замечательным свойством, что пленка может быть непрерывно отображена на свою границу, и при этом граница останется неподвижной. Этот пример Дж.Ф.Адамса удивителен тем, что двумерная поверхность моделируется устойчивой мыльной пленкой, затягивающей проволочный контур в трехмерном евклидовом пространстве. Видно, что эта минимальная поверхность получается склейкой обычного листа Мёбиуса с так называемым тройным листом Мёбиуса.

В центре зала показан 2-адический соленоид — топологический объект, подробнее о котором будет рассказано далее.

МИФОЛОГИЯ

Любопытен медвежий праздник, устраиваемый айнами — народностью острова Йезо, а прежде — на острове Сахалин. Айны, хотя и убивали медведя при первой возможности, при разделке туши стараются умиротворить божество, представителя которого они убили, с помощью целой системы просительных обрядов. Они усаживаются вокруг зверя, кланяются ему, дарят подарки. Если медведь попал в ловушку и поранился, охотники справляют искупительный обряд. Многие айны гордятся тем, что происходят от медведя. Три жреца наблюдают за правильностью исполнения обрядов.

МАТЕМАТИКА: ТЕОРЕМА О СИМПЛИЦИАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ

Она играет важную роль в топологии, поскольку позволяет путем непрерывной деформации превращать любое непрерывное (а потому, быть может, очень сложное) отображение полиэдров — в симплициальное отображение, устроенное локально довольно просто. Изображен один из центральных моментов доказательства этой теоремы. Идея в том, что сначала достаточно малым шевелением в пространстве-образе очищается небольшая область, например, внутренность какого-то малого шара. Затем отображение деформируется так, что образы симплексов «выдавливаются » в подполиэдр, образованный симплексами такой же размерности или меньших размерностей.

МИФОЛОГИЯ

Широко распространен мотив похищения девушки драконом, которую затем освобождает неустрашимый герой, побеждающий чудовище и вознаграждаемый любовью пленницы. Миф обычно рассказывал о драконе, требовавшем девушек в качестве ежегодной дани. Мотив сражения героя-змееборца со змеем получил широкое распространение в фольклоре, средневековой литературе. Наиболее ярко он воплотился в легендах о святом Георгии. Дракон часто представал многоголовым чудовищем, принимавшим разные образы, в которых чаще всего присутствовал мотив огня и воды. Особую популярность миф приобретает после эпохи Крестовых Походов.

МАТЕМАТИКА: ВЫВОРАЧИВАНИЕ ДВУМЕРНОЙ СФЕРЫ НАИЗНАНКУ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Иллюстрируется известная теорема — выворачивание сферы наизнанку. Под выворачиванием здесь понимается гладкая деформация двумерной сферы в трехмерном евклидовом пространстве, во время которой не возникает углов, изломов (т.е. точек, где производная не определена или бесконечна). Однако, самопересечения поверхности допускаются. Оказывается, существует гладкая деформация, меняющая местами наружную и внутреннюю поверхности сферы. Эта деформация довольно сложна и нарисовать ее последовательные этапы не так-то просто. Мы показали лишь один из них, отвечающий середине этого процесса.

МИФОЛОГИЯ

Человеческая фигура изображает здесь появление самопересечений сферы при ее деформации. Эта поза хорошо известна в системе йогических упражнений. Способствует сосредоточению духа. Черная зеркальная поверхность присутствует в некоторых средневековых индийских мифах как средство защиты: опасный дух, увидев свое отражение, обращается в бегство. В средневековой Европе зеркала были окружены многочисленными поверьями и обычаями.

МАТЕМАТИКА: РАССЛОЕНИЕ ХОПФА И РАЗБИЕНИЕ ТРЕХМЕРНОЙ СФЕРЫ

Расслоение Хопфа — это специальное отображение трехмерной сферы на двумерную. При этом прообразом любой точки 2-сферы является окружность, вложенная в 3-сферу. Расслоение Хопфа не является прямым произведением. Оно возникает во многих вопросах топологии, вариационного исчисления, в теории многообразий. Расслоение Хопфа тесно связано с разложением 3-сферы в сумму двух полноторий. Полноторие — это заполненный тор, «бублик». Возьмем два полнотория, и склеим их границы посредством диффеоморфизма, отождествляющего параллель первого тора с меридианом второго тора. И наоборот, меридиан первого тора отождествим с параллелью второго. Оказывается, получится трехмерная сфера. Эту склейку можно изобразить в трехмерном пространстве. Сначала нужно взять стандартно вложенное полноторие. Если считать, что пространство дополнено одной бесконечно удаленной точкой, то дополнение к первому полноторию будет вторым полноторием. Оно изображено как «шея» человеческой фигуры, вокруг которой обвивается змея. Человек-змея — одна из известных йогических поз.

МИФОЛОГИЯ

По космогоническим представлениям тибетцев, мир нанизан на вертикальную ось. Это — некая гора. Небо вращается вокруг оси — ледяной горы Тисэ. Ее вершина проходит через центральное отверстие шатра, или неба. Сквозь это гигантское отверстие солнце, луна и звезды получают свет. В восточном Тибете вселенную представляли в виде материка, плавающего в океане на спине черепахи или рыбы, придавленной огромной горой, осью вселенной. Иногда говорится о змее, которая обвивает ось мира и, извиваясь, вращает ее сокращениями своего тела.

МАТЕМАТИКА: ДЕЙСТВИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ ГРУППЫ НА ВЫСШИХ ГОМОТОПИЧЕСКИХ ГРУППАХ

Каждое топологическое пространство обладает гомотопическими инвариантами, среди которых важное место занимают гомотопические группы. Первая из них называется фундаментальной группой. Ее элементы — это классы гомотопных путей. Пути считаются гомотопными, если их можно непрерывно продеформировать друг в друга. Элемент гомотопической группы представляется сфероидом, расположенным в пространстве. Сфероид задается непрерывным отображением сферы. Фундаментальная группа естественно действует на высших гомотопических группах. Элемент фундаментальной группы изображается некоторой петлей. Затем из сфероида вырастает тонкая трубочка, скользящая вдоль петли и заканчивающаяся в ее начальной точке. Таким образом, каждый сфероид заменяется на новый сфероид. Это задает отображение элементов гомотопической группы. Разные петли определяют, вообще говоря, разные отображения.

МИФОЛОГИЯ

Во многих легендах, сказках герой вынимает из своего тела душу и прячет ее в потайном месте, чтобы стать непобедимым и неуязвимым. Когда в Минагассе (остров Целебес) семья переселяется в новый дом (или когда целое племя меняет место жительства), жрецы собирают души всех членов семьи (племени) в мешки и несут их с собой. При этом считается, что с первым временем пребывания в новых домах сопряжена необычайная опасность. Переноска мешков с душами — ответственная операция, которая может быть доверена лишь людям, унаследовавшим это искусство от отцов и дедов.

МАТЕМАТИКА: СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ОРБИТЫ ДЕЙСТВИЯ ГРУПП

Во многих физических задачах большую роль играют группы симметрий. Они могут быть как дискретными, так и непрерывными. Например, на конфигурационном или фазовом пространстве может действовать группа Ли. Тогда пространство расслаивается на орбиты действия группы. Орбита — это множество точек, получающихся из одной точки при действии на нее всевозможными элементами группы преобразований. Разные орбиты могут иметь разные размерности. Если на евклидовом пространстве действует подгруппа группы ортогональных преобразований, то орбиты лежат в концентрических сферах. Если же группа содержит подгруппу трансляций, параллельных переносов, то ее орбиты могут содержать «прямолинейные образующие». Топологию расслоенного пространства часто изучают при помощи спектральных последовательностей.

МИФОЛОГИЯ

В индийской мифологии одна из шкал измерения «космического времени» определялась так. Где-то во мраке космоса висит гигантский куб, изготовленный из чистого алмаза. Раз в несколько тысяч лет мимо него пролетает ворон, который садится на край куба, отдыхает и чистит о него свой клюв. Затем ворон улетает. Через несколько тысяч лет он появляется вновь. Так повторяется несчетное число раз. Куб постепенно стачивается. То время, за которое ворон источит весь куб, — и есть одна секунда в исчислении времени бога Брамы. Этот чудовищный временной масштаб отражает общую тенденцию средневековых авторов исчислять время, в котором живут боги, совсем по-другому, чем для обычных людей.

МАТЕМАТИКА: СПЕКТРАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ

В алгебраической топологии при вычислении групп гомологий и когомологий пространств часто используется метод спектральных последовательностей. Для этого пространство стараются представить в виде расслоения, после чего алгебраическим путем вычисляется бесконечная последовательность таблиц. Каждая такая таблица называется членом спектральной последовательности. Таблицы связаны между собой дифференциальными операциями. С их помощью вычисляется некоторая «предельная таблица», которая и дает нам нужные сведения о гомологиях (когомологиях) расслоенного пространства.

На рисунке условно изображена структура таких таблиц. Они бесконечны и разбиты на ячейки (клетки), в каждой из которых помещается некоторая группа. Геометрическая информация о пространстве расслоения перерабатывается в набор алгебраических фактов, характеризующих эти таблицы. Если расслоение является прямым произведением, то достаточно вычислить лишь первую таблицу. Остальные с ней совпадают. Если же расслоение нетривиально, то последующие таблицы получаются из предыдущих более сложным образом.

МИФОЛОГИЯ

У многих народов птицы выступают как непременный элемент божественной сути. На мировом дереве (древе жизни) птица занимает место на вершине. Чаще всего это — орел. Обычно птица соотносится с громовержцем: Зевсом, Юпитером, Индрой. Иногда орел или ворон выступают как творцы вселенной. Образ птицы породил фантастические создания в мифологии: птица Гаруда у индийцев, птица Рух у арабов, жар-птица на Руси и т. д. На мировом древе птица противопоставляется «нижним животным». В первую очередь — змее.

МАТЕМАТИКА: ГОМЕОМОРФИЗМ, ДОСТАТОЧНО БЛИЗКИЙ К ТОЖДЕСТВЕННОМУ

В данном случае гомеоморфизму подвергнута голова человека. Условно можно представлять себе гомеоморфизм как деформацию «резиновых фигур» без разрывов и склеек. Поскольку в данном случае мы всё еще легко распознаём человеческую фигуру, следовательно, примененный к ней гомеоморфизм достаточно близок к тождественному.

МИФОЛОГИЯ

Проклятие Альбериха. Скандинавские мифы. Гном Альберих проклинает утраченное им золотое кольцо, предрекая гибель всякому, кто завладеет им. В немецкой «Песне о Нибелунгах» Нибелунги фигурируют как первоначальные обладатели золотого клада, которым завладел Зигфрид. С этой версией связано предание о золотом кладе карлика Андвари. Клад включал золотое кольцо, обладавшее волшебным свойством умножать богатства. Но Андвари наложил на него проклятие: всякий, кто завладеет кольцом, — погибнет. Кольцо поочередно переходит к разным героям и всем им несет смерть. Широко известна тетралогия Р.Вагнера «Кольцо нибелунга», основанная на скандинавской версии мифа. Роковое кольцо, совершив круг, возвращается к Альбериху, который уже не в силах остановить действие собственного проклятия и гибнет вслед за всеми предыдущими владельцами кольца.

МАТЕМАТИКА: НЕТРИВИАЛЬНЫЙ УЗЕЛ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Показан узел, отличный от тривиального. Узел называется тривиальным, если его можно продеформировать при помощи изотопии (т.е. гладко и без самопересечений) в стандартную окружность, вложенную в плоскость. В противном случае узел называется нетривиальным. Теория узлов — одна из интереснейших и сложных областей топологии. Некоторые теоремы теории узлов находят применение в химии (где узлы образованы длинными полимерными цепями), в биологии и т. п. Как узнать: тривиален или нет какой-либо узел? Например, изображенный автором. Ответ на вопросы такого типа — одна из центральных проблем теории узлов. Существует алгоритм (к сожалению, сложный), позволяющий в принципе выяснить тривиальность или нетривиальность любого узла. В некоторых случаях нетривиальность узла можно доказать проще. Для этой цели ищутся (и найдены) частичные инварианты узлов, вычисление которых часто позволяет установить нетривиальность узла. Читатель может попытаться доказать, что изображенный нами узел действительно нетривиален.

МИФОЛОГИЯ

Среди многих табу, соблюдавшихся римскими жрецами, был запрет иметь на одежде хотя бы один узел и запрет носить кольца. То же самое запрещалось мусульманским паломникам в Мекке. Многие народы питали глубокое предубеждение против завязывания узлов на своей одежде в определенные критические периоды (при родах, бракосочетании, погребении). Плиний утверждал, что сидеть со сложенными руками рядом с беременной женщиной или больным, — значит причинить им вред. Еще больший вред будет принесен, если вы обнимаете ногу сложенными руками или кладете ногу на ногу. Древние римляне считали подобные позы помехой во всякого рода делах: в военном совете, на собрании магистратов и т. п. никому не разрешалось скрещивать ноги и сплетать руки. Узлы не только убивают, но и излечивают. Развязывание узлов приносит больному облегчение.
 

МАТЕМАТИКА: ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА «О РАСЦЕПЛЕНИИ ЗАЦЕПЛЕННЫХ ПАЛЬЦЕВ»

Изображены этапы решения задачи: как расцепить посредством гомеоморфизма человеческого тела пальцы рук, зацепленные как показано на начальном рисунке? При этом разрешаются произвольные непрерывные деформации фигуры (гомеоморфизмы). Необходимая последовательность деформаций (изотопия) показана на рисунках. Впрочем, здесь следует отметить одну тонкость. Успешное решение задачи, показанное нами, возможно лишь в том случае, когда человек «обнажен по пояс». Если, например, у него на руке надеты часы, то в конце описанной деформации пальцы рук, конечно, расцепятся, однако «завяжется» ремешок часов.

МИФОЛОГИЯ

В арабском комментарии к словам Корана «кто похваляется узлами» говорится, что эти слова относятся к колдунам, завязывающим узлы на веревках. Оказывается, некий злодей околдовал самого Мухаммеда, затянув на веревке девять узелков и спрятав ее в колодце. Пророк заболел и кто знает, как обернулось бы дело, если бы архангел Гавриил вовремя не сообщил пророку о местонахождении веревки. Веревку вытащили, пророк прочитал над ней заклинания, причем при прочтении каждого стиха развязывали один узел. Когда зловещая веревка распуталась, пророк почувствовал облегчение. В то же время, сеть со множеством завязанных на ней узлов считалась на Руси действенным средством против колдовства.