ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ. Геометрические образы и ассоциации в математике
   1. Образы в топологии
   2. Образы в теории многообразий
   3. Образы в математическом анализе
   4. Образы в теории дифференциальных уравнений и физике
   5. Образы в вариационном исчислении
   6. Образы в алгоритмической и компьютерной геометрии
   7. Образы в общематематических концепциях
Ю.И.Манин. ВМЕСТО ПОСЛЕСЛОВИЯ

6. ОБРАЗЫ В АЛГОРИТМИЧЕСКОЙ И КОМПЬЮТЕРНОЙ ГЕОМЕТРИИ

МАТЕМАТИКА: ПРОБЛЕМА РАСПОЗНАВАНИЯ ОБРАЗОВ

Многие статистические методы распознавания объектов (образов) основаны на идее узнавания объекта лишь по его отдельным, но существенным штрихам. Главной проблемой является обнаружение таких инвариантных характеристик объектов. Эта задача обычно очень сложна. Вспомним о науке восстановления первоначального образа живых организмов (ныне уже не существующих), развитой в современной палеонтологии. Специалисты вынуждены воссоздавать образ исчезнувшего живого существа, располагая часто лишь фрагментами скелета, сохранившимися до нашего времени. В современной криминалистике используется метод восстановления лица погибшего человека по его черепу. Для этого иногда используется методика, разработанная Герасимовым.

МИФОЛОГИЯ

Римская легенда о Ромуле и Реме — основателях Рима. Жрица-весталка сделалась жертвой насилия и родила двойню. Желая избежать наказания, она объявила их отцом бога Марса. Однако эта хитрость не спасла ее от жестокости царя. Жрицу заковали в железо и отдали под стражу. Обоих детей царь приказал бросить в реку. Однако корзина с детьми была подхвачена водой и уплыла. Когда вода схлынула, оставив лоток с детьми на суше, появилась волчица, бежавшая к водопою. Она повернула на детский плач и, увидев младенцев, обласкала их, облизала языком и накормила, дав свои сосцы. Вскоре детей нашел смотритель царских стад и взял их к себе. (Тит Ливий, «История Рима от основания Города».) Другая ассоциация: чудовищный пес Кербер — страж аида в греческой мифологии. Изображался иногда с тремя головами, с туловищем, усеянным головами змей. Вместе с лернейской гидрой относился к наиболее страшным порождениям Эхидны. Гераклу удается связать и вывести пса из аида, однако по приказу Эврисфея был вынужден водворить его на прежнее место. Из ядовитой слюны, стекающей из пасти Кербера, вырастает цветок аконит — одна из составных частей колдовских отваров.

МАТЕМАТИКА: ТЕОРЕМА О ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ ГРУППАХ ЧЕТЫРЕХМЕРНЫХ МНОГООБРАЗИЙ

Фундаментальная группа «измеряет» число различных, неэквивалентных замкнутых петель, которые можно «нарисовать» на многообразии. Вопрос: какие группы могут быть представлены как фундаментальные группы гладких многообразий? Для многообразий размерностей 1 и 2 ответ прост. Такие группы описаны и изучены. В размерности 3 известно, что не всякая группа может быть представлена как фундаментальная группа замкнутого трехмерного многообразия. Начиная с размерности 4 ситуация меняется. Оказывается, любая конечно-порожденная группа (т.е. группа с конечным числом образующих и конечным числом соотношений) может быть реализована как фундаментальная группа некоторого четырехмерного гладкого компактного связного замкнутого многообразия. Зритель видит один из центральных шагов доказательства. Сначала строятся так называемые «ручки индекса 1», реализующие образующие данной группы. Трубчатые окрестности таких ручек изображены внизу в виде последовательности лепестков, уходящих вдаль. Затем нужно приклеить к этому пространству «ручки индекса 2», реализующие соотношения в данной группе. Одна из таких ручек показана в центре рисунка.

МИФОЛОГИЯ

Сосуд Пандоры или космическое яйцо. Пандора в греческой мифологии — первая женщина, созданная Афиной и Гефестом. По замыслу Зевса она должна была принести людям несчастья и соблазны. Когда Пандора открыла сосуд, врученный ей богами, болезни и несчастья, людские пороки и соблазны расползлись по земле. Перепуганная Пандора захлопнула крышку, но при этом на дне сосуда осталась надежда. Так люди были лишены даже надежды на лучшую жизнь. Другая версия мифа: гигантское космическое яйцо (в индийской мифологии), разбившееся в космосе. Из него вытек весь видимый мир, включая все несчастья. Из верхней половинки яйца образовалось набо, из нижней — земля.

МАТЕМАТИКА: ИНТЕГРАЛ РИМАНА

При вычислении интеграла от гладкой функции, заданной на области в двумерной плоскости, можно аппроксимировать функцию кусочно-ступенчатой функцией. Для этого нужно построить «призмы», опирающиеся на небольшие прямоугольники в области определения функции. При этом они должны иметь высоту, равную значению функции в некоторой средней точке этого прямоугольника. Начало этого процесса и показано на рисунке.

МИФОЛОГИЯ

«Тексты саркофагов» и «Тексты пирамид» — одни из древнейших египетских текстов, игравшие большую роль в египетских ритуалах. Эти тексты вырезаны на стенах храмов и внутренних помещений пирамид фараонов V и VI династий «Древнего» Царства. В Египте обнаружено огромное количество древних погребений. Другая ассоциация: взгляд Фемиды — богини правосудия. Фемида часто изображалась слепой или с повязкой на глазах, но иногда неожиданно могла прозревать или снимать повязку. Аналогично изображалась также и римская Фортуна — богиня судьбы.

МАТЕМАТИКА: РЯДЫ ФУРЬЕ

Каждая «достаточно хорошая функция» может быть разложена в ряд Фурье. Это означает, что функция аппроксимируется частичными суммами сходящегося ряда, составленными из гармоник. Чем больше мы берем членов этого разложения, тем более высокочастотные гармоники появляются на графике аппроксимирующей частичной суммы. По мере удлинения суммы, на графике возникают всё более мелкие гармоники.

МИФОЛОГИЯ

Гибель Ахилла в Троянской войне. Неуязвимый Ахилл погибает от стрел Париса, направляемых Аполлоном. Первая стрела поражает его в пяту, а вторая — в грудь. Пятка Ахилла — это единственное место на его теле, которое не было намазано амброзией и закалено в огне. Мать Ахилла Фетида стремилась сделать своего сына неуязвимым и, следовательльно, бессмертным. Но ей не удалось закалить все тело своего сына. По другой версии Фетида окунула Ахилла в воды подземной реки Стикс и только пятка, за которую она держала ребенка, осталась уязвимой. Именно поэтому и погиб Ахилл.

МАТЕМАТИКА: ОТ ХАОСА К ПОРЯДКУ

Многие важные закономерности проявляются лишь на статистическом уровне, при анализе большой совокупности данных. Тот факт, что частота выпадания «орла» при случайном бросании монеты стремится к 1/2, становится ясным лишь после длительного эксперимента, когда монета подбрасывается много раз. Здесь закономерность обнаруживается при анализе внешне хаотической последовательности выпаданий «орла» и «решки». Именно из таких экспериментальных наблюдений и попыток обнаружить закономерности в азартных играх рождались основы теории вероятностей. В геометрических задачах теории вероятностей изучаются, например, распределения положений иглы, случайно падающей на плоскость, где нарисованы различные геометрические фигуры. Мой рисунок не является иллюстрацией к какой-либо конкретной математической теореме. Он лишь выражает идею, что длительное изучение «хаоса» может привести к открытию скрытой закономерности, управляющей хаосом. Правильная кристаллическая структура на горизонте и олицетворяет этот «идеальный закон», стремление к познанию которого является двигателем научной мысли.

МИФОЛОГИЯ

Миф о странствиях аргонавтов, возглавляемых Ясоном, в поисках руна. В «древне»-греческой мифологии царь Ээт (отец Медеи), желая погубить Ясона, предложил ему засеять поле зубами фиванского дракона, из которых вырастают воины. Ясон вспахал поле и бросил в борозду зубы дракона. Когда из них стали подниматься воины, он кинул в них огромный камень. Воины перебили друг друга, начав по ошибке сражаться между собой. Тем не менее, Ээт не отдал золотое руно. Тогда его дочь Медея, влюбленная в Ясона, усыпляет дракона, охранявшего руно и помогает похитить руно. Затем Ясон погибает под обломками обветшавшего корабля Арго.

МАТЕМАТИКА: НЕОРГАНИЗОВАННЫЙ ХАОС И ГЕОМЕТРИЯ

Хаотическое падение бесконечного числа блоков. В то же время этот хаос мог возникнуть при разрезании на элементарные куски «хорошо устроенного» полиэдра. Так как полиэдр можно разбить на большое число «малых кусков», он превращается в кажущееся хаотическим скопление «параллелепипедов». Как восстановить полиэдр? Для этого достаточно, чтобы каждый элементарный блок «помнил» лишь своих соседей, с которыми он граничил внутри исходного полиэдра. Записывая на гранях каждого блока сведения о его соседях, мы получаем матрицы инциденций. Поэтому в случае необходимости все блоки могут снова собраться вместе и восстановить исходный объект.

МИФОЛОГИЯ

Тартар в «древне»-греческий мифологии находится где-то в глубине космоса, даже ниже аида. Тартар настолько отстоит из аида, насколько земля от неба. Если бросить медную наковальню с неба на землю, то она долетит до земли за девять дней. Столько же потребуется ей, чтобы долететь от аида до тартара. Ясно, что немало дней потребуется той же наковальне, чтобы перед этим добраться от земли до аида. Тартар огорожен медной стеной, и стеной огня. Ночь окружает его в три ряда. Тартара боятся даже боги. Вдоль стены, окружающей тартар, постоянно ревет ураган. Здесь залегают корни земли и моря, все концы и все начала. За медной дверью томятся боги — отцы богов олимпийцев — под охраной угрюмых сторуких стражей.

МАТЕМАТИКА: ГАУССОВЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. I

Непрерывная случайная величина называется распределенной по нормальному закону Гаусса, если ее плотность вероятностей есть

МИФОЛОГИЯ

От Хаоса бог Эрос порождает в тартаре птиц, поднимающихся вверх, в небо. Птицы рассматриваются как одно из космогонических начал. Из Хаоса организуется видимый мир, который затем снова обратится в Хаос. Иногда Хаос считался порождением Хроноса, т.е. времени. В финикийской космогонии Хаос — мутный, в нем перемешаны земля и небо, еще не отделенные друг от друга. Хронос изображался иногда как крылатый дракон с головой быка и льва. Хаос считается реализацией некоей нематериальной энергии, живущей по законам, постичь которые не дано смертным. И еще одна ассоциация — Вифлеемская звезда, вспыхнувшая на небе при рождении Христа.

МАТЕМАТИКА: ГАУССОВЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. II

Изображены различные типы колоколообразных кривых, моделирующих нормальное распределение. Эти холмы и горы образованы непрерывно падающими с неба брусьями, рельсами, каменными блоками. В центре показано начало процесса. Горы на горизонте образовались в результате длительного падения брусьев. Меняя параметр «сигма», мы меняем форму колоколообразной кривой. Большие совокупности хаотических, случайных событий могут изучаться точными математическими методами: «от хаоса к порядку».

МИФОЛОГИЯ

Известный сказочный мотив: чтобы заслужить любовь принцессы и получить ее руку, герой должен преодолеть многочисленные препятствия. Отправиться в далекую страну, спастись от покушений врагов на его жизнь, взобраться на высокую гору, найти клад, поймать выпорхнувшую их него птицу, убить ее, извлечь яйцо, а из него — иголку. Сломать ее, уничтожить дракона, охраняющего заветный меч и т. д. и т. п. На рисунке зритель видит могучего героя в задумчивости в начале его тяжелого пути: стоят ли полцарства и любовь принцессы таких трудов?

МАТЕМАТИКА: ВЕРОЯТНОСТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Как наглядно изобразить понятие случайного процесса? Вообразим следующую картину. В бесконечном пространстве парит обезьяна, в руке которой — игральная кость. На каждой грани кости стоит обезьянка меньшего размера. Каждая из них держит в руке свою игральную кость. На каждой грани каждой такой кости снова стоит обезьянка (еще меньшего размера). И так далее до бесконечности. Итак, за костью первого уровня следуют 6 костей второго уровня, затем 6 костей третьего уровня и т. д. Все пространство заполняется бесконечным числом обезьян, держащими игральные кости. Затем каждая обезьяна начинает подбрасывать свою кость случайным образом, причем разные обезьяны делают это совершенно независимо друг от друга. В результате бесконечная система костей приходит в движение. В каждом ее узле возникает беспорядочное, хаотичное вращение игральной кости. Эта картина была подсказана автору профессором А.Н.Ширяевым. Она служит наглядной моделью случайного процесса — одного из центральных понятий теории вероятностей. Конечно, изобразить буквально эту схему невозможно. Поэтому на рисунке игральные кости, оснащенные шестью соседними костями, помещены (для простоты) лишь в узлы трехмерной кубической решетки.

МИФОЛОГИЯ

Первобытный Хаос. Согласно египетской мифологии, Хаос одушевлен. Его жизнь проявляется в том, что в каждой своей точке он ежесекундно рождает новый Хаос, который тут же начинает собственную жизнь, рождает внутри себя следующий Хаос и т. д. до бесконечности. Причем, эти последовательные Хаосы ничего не знают о своей предшествующей жизни и не могут предсказать своего будущего, поскольку бог времени постоянно перемешивает их своим копьем. Эта средневековая идея прекрасно соответствует изложенной выше математической схеме.

МАТЕМАТИКА: ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА π И e. I

На передней стене монумента изображено десятичное разложение числа π:

На боковой стороне монумента аналогичным образом изображено начало десятичного разложения другого замечательного числа, а именно, числа e:

Такие десятичные разложения применяются как датчики случайных чисел. Они используются в теории кодирования. Вычисление последовательных цифр десятичного разложения — интересная задача, решаемая при помощи компьютеров. Зритель может увидеть здесь пример фрактала, т.е. замкнутого подмножества плоскости, размерность которого выражается дробным числом (не целым!). Один из способов получения таких множеств — это последовательное выбрасывание из плоскости открытых непересекающихся дисков, постепенно уменьшающихся в размерах. Выбрасывать надо так, чтобы «остаток» (аналог классического канторова множества) имел бы ненулевую хаусдорфову размерность.

МИФОЛОГИЯ

Число — это одно из самых глубоких понятий, выработанных мыслителями. Числам и их толкованию придавалось огромное значение в научных и философских средневековых системах. Раньше цифры обозначались буквами, что открывало дополнительные возможности при истолковании чисел. Подставляя вместо цифр соответствующие им буквы, получали разнообразные слова. Хорошо известны разнообразные толкования числа 666 и т. д. Средневековая схоластика, интерпретировавшая таким образом некоторые средневековые тексты, превратилась в результате в рафинированную «науку».

МАТЕМАТИКА: ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА π И e. II

На передней стене изображено начало десятичного разложения числа π, на боковой стене — разложение числа e. Все мои графические листы выполнены «от руки», без компьютерной графики. В частности, на передней стене в одном из квадратов намеренно допущена ошибка: поставлена неправильная цифра. Найдите это место и впишите туда правильную цифру!

МИФОЛОГИЯ

Средневековые толкователи считали, что число 1 в наиболее древних текстах встречается редко. Первым священным числом в ряде традиций было число 3 — образ абсолютного совершенства. Это — божественные троицы, трехглавые божества, три героя сказки, различные «триады». Числу 4 приписывалась обычно статика, устойчивость. Это — 4 стороны света, 4 времени года, символика квадрата, креста. Семерка возникала как сумма 3 и 4 и считалась особо магическим числом. Семерка участвует в конструировании мирового древа. Таково число дней недели, количество цветов спектра, тонов в музыке. Широко известны «опасные» свойства числа 13. А вот 12 рассматривалось как счастливое число. Напомним: 12-членные пантеоны богов, 12 апостолов. Наиболее часто встречающимися в священных текстах считались числа: 2, 3, 7, 9, 12, 24, 33, 36, 37, 99. Любопытно, что число 10 якобы появлялось редко.

МАТЕМАТИКА: СПАЙНЫ ДВУХ ТРЕХМЕРНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ КОМПАКТНЫХ ЗАМКНУТЫХ МНОГООБРАЗИЙ НАИМЕНЬШЕЙ СЛОЖНОСТИ

Показаны два полиэдра. Они изображают двумерные окрестности одномерных остовов в спайнах двух трехмерных многообразий, названных в заголовке. По этим полиэдрам можно восстановить 3-многообразие однозначно, с точностью до гомеоморфизма. Эти два замечательных многообразия являются первыми примерами так называемых изоэнергетических 3-поверхностей, на которых любое гамильтоново дифференциальное уравнение неинтегрируемо в классе гладких интегралов общего положения. Этот факт был открыт С.В.Матвевеым и А.Т.Фоменко в результате соединения двух теорий: теории сложности 3-многообразий и теории топологической классификации интегрируемых гамильтоновых уравнений. В частности, обнаружилось, что эти два многообразия имеют наименьшую сложность в классе всех гиперболических замкнутых компактных 3-многообразий, а потому, вероятно, одно из этих многообразий имеет и наименьший возможный гиперболический объем (равный, приблизительно, 0.94…). (Недавно этот факт был, наконец, доказан.)

МИФОЛОГИЯ

Джинны — это духи мусульманских легенд, часто злые. Им приносили жертвы и к ним обращались за помощью. Созданы из бездымного огня и представляют собой воздушные или огненные тела, обладающие разумом. Могут мгновенно приобретать любую форму и выполнять любые приказания. Но только если правильно произносить заклинания. Ошибка может быть смертельно опасна для заклинателя. В средневековой Европе известен миф о гибели ученика мага, ошибочно произнесшего неполную формулу и уничтоженного появившимся разъяренным духом. Проблема подчинения джиннов человеку изучалась специальной оккультной наукой средневековья. В сказках — джинн, выпущенный из сосуда, где томился несколько тысяч лет, некоторое время выполняет приказания освободившего его человека. Затем мог покинуть своего хозяина.

МАТЕМАТИКА: ГЕОМЕТРИЯ И ВЕРОЯТНОСТЬ

В последние годы возникло новое научное направление, которое условно можно назвать «геометрия и вероятность». Оказалось, что во многих задачах теории вероятностей естественно возникают такие классические объекты геометрии, как тензор кривизны, аффинная связность и т. п. Некоторые вероятностные теоремы наиболее естественно формулируются именно на геометрическом языке.

МИФОЛОГИЯ

Развалины вавилонской башни. Огромное поле, усеянное кирпичами в виде игральных костей. Согласно преданию, в древнем Вавилоне люди попытались построить башню до неба, наделали много кирпичей и начали возводить башню. Однако боги возмутились высокомерием людей и смешали их языки. Строители перестали понимать друг друга и рассеялись по земле. Башня осталась недостроенной, а потом постепенно разрушилась. На горизонте — воспоминание о всемирном потопе (строительство, якобы, относится к эпохе после потопа).

МАТЕМАТИКА: СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФАНТАЗИЯ

Игральные кости со случайным распределением чисел на их гранях.

МИФОЛОГИЯ

По Библии, Бог отделил воду, которая под твердью, от воды, которая над твердью. Небесные сферы — прозрачные и становятся видимыми только когда на них сверху выливается вода. Потоки воды, струящиеся из отверстий в небе, тормозятся прозрачными сферами, расположенными на разных уровнях.

МАТЕМАТИКА: КОМПЬЮТЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

Известна задача о представлении натуральных чисел n>2 в виде сумм:

МИФОЛОГИЯ

Три мага танцуют, каждый на своей куче белых и черных камней. Экстатический танец длится несколько часов. В результате кучи теряют свою первоначальную форму, черные и белые камни хаотически перемешиваются. Когда танец прекращается, главный маг подходит к россыпи камней и, всматриваясь в получившийся черно-белый узор, начинает гадание.