Теории математического биллиарда, т.е. задаче о движении материальной точки в плоской области, ограниченной кусочно-гладкой кривой, с абсолютно упругим отражением на границе, посвящено много работ. Одним из классических вопросов является задача о существовании периодических траекторий и об интегрируемости биллиарда в зависимости от его границы. К примеру, для любого треугольника существует периодическая траектория биллиарда из трех звеньев, а именно, треугольник наименьшего периметра, вершины которого находятся в основании высот исходного треугольника (теорема Фаньяно). Сегодня достаточно популярными интегрируемыми биллиардами являются плоские биллиарды, ограниченные дугами софокусных квадрик.

Интегрируемость биллиарда в области, ограниченной эллипсом, была замечена Дж.Д.Биркгофом. Интегрируемость геодезического потока на эллипсоиде следует из известной теоремы Якоби-Шаля. При стремлении меньшей полуоси эллипсоида к нулю движение по геодезическим переходит в движение по ломаным, целиком лежащим в образе эллипсоида -- плоской области, ограниченной эллипсом.

Интегрируемость биллиарда сохраняется, если перейти к плоским областям, ограниченным дугами эллипсов и гипербол одного софокусного семейства, на границе которых нет точек излома с углами, равными 270о. В этом случае все углы в точках излома будут прямыми, поскольку софокусные квадрики пересекаются всегда под прямыми углами.

В.В.Козлов, Д.В.Трещёв заметили, что эти динамические системы вполне интегрируемы по Лиувиллю (т.е. имеется дополнительный независимый интеграл), а именно, что интегрируемость данных систем эквивалентна малой теореме Понселе. Такие системы с точностью до лиувиллевой эквивалентности были подробно изучены в работах В.Драгович, M.Раднович, а также В.В.Ведюшкиной.

В работах В.В. Ведюшкиной классифицированы все локально-плоские биллиарды, ограниченные дугами софокусных эллипсов и гипербол (при этом не обязательно изометрично вложимые в плоскость), а также области, не обязательно являющиеся плоскими, полученные склейками элементарных областей вдоль выпуклых сегментов границ. Далее, В.В.Ведюшкина исследовала топологию слоений Лиувилля на изоэнергетических поверхностях таких биллиардов, вычислив меченые молекулы Фоменко-Цишанга -- инварианты лиувиллевой эквивалентности.

Топологический тип слоения Лиувилля полностью определяется инвариантом Фоменко--Цишанга, который является некоторым графом с числовыми метками. Анализируя большое число вычисленных на настоящее время меченых молекул как различных биллиардов, так и других интегрируемых системы с двумя степенями свободы, А.Т.Фоменко сформулировал следующую гипотезу: многие достаточно сложные случаи интегрируемости (например, в динамике твердого тела) можно ``моделировать'' значительно более наглядными топологическими биллиардами. В частности, это позволяет эффективно предъявлять устойчивые и неустойчивые периодические решения (траектории) интегрируемых систем. Эта гипотеза получила подтверждение в работе В.В.Ведюшкиной и А.Т.Фоменко. А именно, для многих интегрируемых случаев динамики твердого тела для ряда изоэнергетических поверхностей вычисление инварианта Фоменко-Цишанга позволило обнаружить лиувиллеву эквивалентность этих систем топологическим биллиардам путём сравнения меченых молекул. Тем самым, образно говоря, локально-плоские интегрируемые биллиарды ``наглядно моделируют'' многие достаточно сложные случаи интегрируемости в динамике твердого тела.