Основные научные интересы А.А.Толченникова - это спектральные свойства операторов на декорированных графах и асимптотическая теория уравнений в частных производных.

Кандидатская работа, выполненная под руководством профессора А.И.Шафаревича, была посвящена спектральным свойствам оператора Лапласа-Бельтрами, определенного на т.н. декорированных графах - клеточных комплексах специального вида, получаемых склейкой точек на замкнутых многобразиях при помощи отрезков. В частности, была получена оценка размерности ядра такого оператора через число циклов графа, составленного только из отрезков декорированного графа.

Также, совместно с В.Л.Чернышевым (сотрудником ВШЭ, выпускником кафедры дифференциальной геометрии и приложений) изучал уравнение Шредингера на метрических графах с начальным условием в виде локализованного волнового пакета. Дойдя до вершины графа, часть волнового пакета будет отражаться, а часть проходить. Таким образом, количество носителей (тех точек, в окрестности которых локализовано решение) будет со временем увеличиваться. Для произвольного конечного графа был найден главный член асимптотики и в некоторых примерах была найдена зависимость следующего члена асимптотики от перестановки ребер графа. Для некоторых декорированных графов также было найдено число носителей.

Под руководством профессора С.Ю.Доброхотова (ИПМех РАН) занимался построением асимптотических формул для решения системы уравнений мелкой воды на сфере с локализованным начальным условием. Задача интересна тем, что начальным условием такого рода можно моделировать источники длинных волн в океане.