Основные научные интересы А.И.Шафаревича лежат в области математической физики, асимптотической и геометрической теории
линейных и нелинейных уравнений в частных производных, квантовой механики и гидродинамики. Им решена
поставленная В.П.Масловым и широко обсуждавшаяся в научной литературе задача о многофазовой асимптотике для уравнений
гидродинамики. При этом были далеко развиты методы исследования асимптотических решений нелинейных уравнений
в частных производных; установлены связи таких решений с топологическими инвариантами векторных полей и лиувиллевых слоений
и развит метод описания асимптотик при помощи уравнений на графах. Получены различные приложения к механике; в частности,
исследованы вихревые нити, пленки и узкие пики в несжимаемой жидкости.
А.И.Шафаревич занимался также теорией квазиклассического квантования инвариантных изотропных многообразий гамильтоновых
систем. В этой области им получены разнообразные результаты; в частности, описаны спектральные
серии, соответствующие траекториям и инвариантным торам в резонансных системах, а также одномерным сингулярным
множествам частично интегрируемых систем; описаны квазиклассические спектральные серии операторов с точечными потенциалами.
Среди других научных результатов А.И.Шафаревича описание сингулярных и локализованных решений
линеаризованных уравнений НавьеСтокса и магнитного динамо, построение контрпримера к методу диффузионного приближения
в неравновесной статистической механике, доказательство интегральных тождеств и новых оценок снизу для решений уравнений
гидродинамики (совместно с С.Ю.Доброхотовым). Им получен ряд результатов, относящихся к квантованию комплексных
многообразий; в частности, описаны спектральные серии квантовых систем КалоджероСтрокки,
а также несамосопряженных операторов Шредингера с комплексным потенциалом и несамосопряженных эллиптических
операторов на сфере и торе. В последние годы А.И.Шафаревич также занимался спектральной теорией и теорией
эволюционных уравнений на некоторых классах клеточных комплексов (геометрических графах и гибридных
пространствах декорированных графах). Начато новое направление изучение
квазиклассических свойств уравнений на таких пространствах. Получен ряд результатов о квазиклассическом спектре операторов
Шредингера, а также о временной эволюции решений нестационарных задач. В частности, описана
статистика распространения локализованных решений нестационарного уравнения Шредингера на геометрическом графе при больших
временах; установлена связь такой статистики с известными проблемами и результатами аналитической теории чисел.
А.И.Шафаревич автор более 70 научных работ и учебных пособий. Он руководит работой студентов и аспирантов. Подготовил
трех кандидатов наук (С.В.Роганова, С.В.Гальцев, В.Л.Чернышёв); темы диссертаций: «Формулы следов для операторов
на гибридных пространствах», «Комплексные лагранжевы многообразия и аналоги линий Стокса»,
«Квазиклассические асимптотики в спектральных задачах и эволюционных уравнениях на сингулярных множествах».
Под руководством А.И.Шафаревича студенты механико-математического факультета МГУ и факультета нанотехнологий и информатики
МФТИ регулярно защищают дипломные и курсовые работы; темы последних дипломных работ: «Ядра операторов Лапласа
на декорированных графах» (А.А.Толченников), «Спектр оператора Шредингера с комплексным потенциалом»
(А.И.Есина), «Спектральные серии операторов с дельта-потенциалами» (Т.А.Филатова). А.И.Шафаревич руководит
работой семинаров для студентов и аспирантов на механико-математическом факультете МГУ и факультете нанотехнологий и
информатики МФТИ.
|