DiffGeom Logo
 
О кафедре
История кафедры
Фотоальбом
Сотрудники
Наши студенты
Наши аспиранты
Научная работа
Научные достижения
Лаборатория компьютерных методов
Digital Vision Laboratory
Где работают наши выпускники
Международные и внутри-российские связи кафедры
Публикации
Наши книги
Наши статьи
Диссертации
Работы студентов
Студентам
Спецкурсы
Спецсеминары
Учебные материалы
Задачи для исследования
Олимпиада кафедры
Наглядная и компью­терная геометрия и топология
Геометрические сюжеты
Энциклопедические статьи
Задать вопрос


Научные интересы

Основные научные интересы А.И.Шафаревича лежат в области математической физики, асимптотической и геометрической теории линейных и нелинейных уравнений в частных производных, квантовой механики и гидродинамики. Им решена поставленная В.П.Масловым и широко обсуждавшаяся в научной литературе задача о многофазовой асимптотике для уравнений гидродинамики. При этом были далеко развиты методы исследования асимптотических решений нелинейных уравнений в частных производных; установлены связи таких решений с топологическими инвариантами векторных полей и лиувиллевых слоений и развит метод описания асимптотик при помощи уравнений на графах. Получены различные приложения к механике; в частности, исследованы вихревые нити, пленки и узкие пики в несжимаемой жидкости.

А.И.Шафаревич занимался также теорией квазиклассического квантования инвариантных изотропных многообразий гамильтоновых систем. В этой области им получены разнообразные результаты; в частности, описаны спектральные серии, соответствующие траекториям и инвариантным торам в резонансных системах, а также одномерным сингулярным множествам частично интегрируемых систем; описаны квазиклассические спектральные серии операторов с точечными потенциалами.

Среди других научных результатов А.И.Шафаревича — описание сингулярных и локализованных решений линеаризованных уравнений Навье–Стокса и магнитного динамо, построение контрпримера к методу диффузионного приближения в неравновесной статистической механике, доказательство интегральных тождеств и новых оценок снизу для решений уравнений гидродинамики (совместно с С.Ю.Доброхотовым). Им получен ряд результатов, относящихся к квантованию комплексных многообразий; в частности, описаны спектральные серии квантовых систем Калоджеро–Строкки, а также несамосопряженных операторов Шредингера с комплексным потенциалом и несамосопряженных эллиптических операторов на сфере и торе. В последние годы А.И.Шафаревич также занимался спектральной теорией и теорией эволюционных уравнений на некоторых классах клеточных комплексов (геометрических графах и гибридных пространствах — декорированных графах). Начато новое направление — изучение квазиклассических свойств уравнений на таких пространствах. Получен ряд результатов о квазиклассическом спектре операторов Шредингера, а также о временной эволюции решений нестационарных задач. В частности, описана статистика распространения локализованных решений нестационарного уравнения Шредингера на геометрическом графе при больших временах; установлена связь такой статистики с известными проблемами и результатами аналитической теории чисел.

А.И.Шафаревич — автор более 70 научных работ и учебных пособий. Он руководит работой студентов и аспирантов. Подготовил трех кандидатов наук (С.В.Роганова, С.В.Гальцев, В.Л.Чернышёв); темы диссертаций: «Формулы следов для операторов на гибридных пространствах», «Комплексные лагранжевы многообразия и аналоги линий Стокса», «Квазиклассические асимптотики в спектральных задачах и эволюционных уравнениях на сингулярных множествах». Под руководством А.И.Шафаревича студенты механико-математического факультета МГУ и факультета нанотехнологий и информатики МФТИ регулярно защищают дипломные и курсовые работы; темы последних дипломных работ: «Ядра операторов Лапласа на декорированных графах» (А.А.Толченников), «Спектр оператора Шредингера с комплексным потенциалом» (А.И.Есина), «Спектральные серии операторов с дельта-потенциалами» (Т.А.Филатова). А.И.Шафаревич руководит работой семинаров для студентов и аспирантов на механико-математическом факультете МГУ и факультете нанотехнологий и информатики МФТИ.

Назад Дальше