Циклические гомологии появились в начале 80-х гг. прошлого столетия в работах А.Конна и Б.Цыгана. Они являются центральным объектом некоммутативной геометрии и выполняют функции когомологий де Рама некоммутативных многообразий.

К этому же времени относится появление первых конструкций характеристических классов, отображающих K-теорию некоммутативного многообразия в группы гомологий некоммутативных дифференциальных форм. Характеристические классы, построенные Конном, принимают значения в циклических гомологиях. М.Каруби дал обобщение классов Конна, введя понятие дифференциального исчисления на некоммутативном многообразии. Другой подход развивался в работах А.С.Мищенко и Ю.П.Соловьёва и его учеников (Ю.Й.Жураева, Ф.Ю.Попеленского, Е.В.Корнеевой, И.М.Никонова), которые в основу конструкции некоммутативных дифференциальных форм положили некоммутативные векторные поля (дифференцирования алгебры функций некоммутативного многообразия). Оказалось, что существует отображение, переводящее характеристические классы Каруби в классы Жураева–Мищенко–Соловьёва. Для ряда алгебр (конечномерные полупростые алгебры, аппроксимативно конечные С*-алгебры, алгебры фон Неймана) эти характеристические классы были вычислены.

В 1998 году были определены циклические когомологии алгебр Хопфа с коэффициентами в так называемых модулярных парах в инволюции. К этой конструкции пришли А.Конн и Х.Московичи в процессе изучения индекса слоений на многообразиях. Они также определили спаривание в когомологиях такого сорта, с помощью которого построили ряд циклических характеристических классов слоений. После ряда обобщений в 2003 году из конструкции Конна–Московичи усилиями Р.Зоммерхойзера, Б.Рангипура, М.Халхали и П.Хаяца были построены циклические гомологии алгебр Хопфа с коэффициентами в стабильных антимодулях Йеттера–Дринфельда. И.М.Никонов совместно с Г.И.Шарыгиным предложили конструкцию спаривания циклических гомологий алгебры Хопфа с коэффициентами, обобщающую конструкцию М.Крайника, и построили отображение, связывающее данное спаривание со спариванием Рангипура–Халхали.