проблема пуанкаре и геометрический анализ, дифференциальная геометрия, физика

Гипотеза Пуанкаре стала сегодня, пожалуй, одной из наиболее известных научных проблем. И хотя понимание формулировки гипотезы Пуанкаре требует знакомства с топологией, о том, что ее решил наш соотечественник Григорий Яковлевич Перельман, знают многие люди далекие как от математики, так и от науки вообще. Также многие знают, что в 2006 году Перельман отказался принять присужденную ему медаль Филдса, что в 2010 году он отказался от премии в миллион долларов, учрежденной институтом Клэя (правда, мало кто знает, что еще в 2000 году он отказался от премии Европейского математического общества). Но что на самом деле важно для математики и математиков, так это то, что решение Перельманом гипотезы Пуанкаре использовало методы и подходы, радикально отличающиеся от тех, с помощью которых почти 100 лет пытались найти ключ к решению. Его подход основан не на топологических методах, а на методах дифференциальной геометрии, уравнений в частных производных, геометрического анализа, а также соображениях, подсказанных физикой. По свидетельствам очевидцев, в 2003 году в Принстоне на первом публичном докладе Перельмана о найденном доказательстве, слушателям, среди которых были крупнейшие топологи (некоторые из них тоже пытались доказать гипотезу Пуанкаре), было очень и очень непросто следить за нитью рассказа просто потому, что они не были в этом специалистами. Следует подчеркнуть, что Перельман доказал гораздо более широкое утверждение — геометризационную гипотезу Тёрстона, сформулированную относительно недавно, в 1982 году.

Вот краткая и далеко не полная хронология событий, связанных с историей гипотезы Пуанкаре:

• А.Пуанкаре (1854–1912) формулирует гипотезу: односвязное замкнутое многообразие размерности 3 гомеоморфно сфере (Пятое дополнение к Analisys Situs (Rend. Circ. Math. Palermo 18 (1904), 45–110).
• Дж.Г.К.Уайтхед (1930-е) получил примеры односвязных некомпактных многообразий размерности 3 не гомеоморфных R³.
• Гипотеза Пуанкаре приобретает репутацию весьма сложной задачи. Появляются многочисленные доказательства, содержащие ошибки, причем эти ошибки порой очень сложно обнаружить. Однако это только способствует дальнейшему прогрессу в маломерной топологии.
• С.Смейл (1961) доказал обобщенную гипотезу Пуанкаре для многообразий размерности больше 4: замкнутое многообразие, гомотопически эквивалентное n-мерной сфере, гомеоморфно ей.
• М.Фридман (1982) доказал гипотезу Пуанкаре в размерности 4.
• У.Тёрстон (1982) сформулировал гипотезу о геометризации, частным случаем которой является гипотеза Пуанкаре.
• Р.Гамильтон (1982) предложил использовать поток Риччи для доказательства гипотезы Пуанкаре, начал изучение потоков Риччи, получил первые результаты в этом направлении и наткнулся на серьезные трудности.
• Г.Я.Перельман (2002–2003) развил подход Гамильтона и доказал гипотезу геометризации Тёрстона и гипотезу Пуанкаре.

Анри Пуанкаре

Уильям Тёрстон

Ричард Гамильтон

Григорий Перельман

Оригинальные тексты Перельмана:

• Perelman, Grisha (November 11, 2002). The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications. arXiv:math.DG/0211159[math.DG].
• Perelman, Grisha (March 10, 2003). Ricci flow with surgery on three-manifolds. arXiv:math.DG/0303109[math.DG].
• Perelman, Grisha (July 17, 2003). Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds. arXiv:math.DG/0307245[math.DG].

«Популярные тексты»:

• Michael T. Anderson. Geometrization of three-manifolds via the Ricci flow. Notices of the AMS, V.51, No 2 (2004), 184–193.
• John Milnor. Towards the Poincare conjecture and the classification of 3-manifolds. Notices of the AMS, V.50, No 10 (2003), 1226–1233.
• John W. Morgan. Recent progress on the Poincare conjecture and the classification of 3-manifolds. Bulletin of the AMS, V.42 (2005), 57–78.

Некоторые математические тексты:

• Richard S. Hamilton. Three-manifolds with positive Ricci curvature. J. Differential Geom. V.17, No 2 (1982), 255–306.
• Peter Topping. Lectures on the Ricci flow. pdf-файл.
• John W. Morgan, Gang Tian. Ricci flow and the Poincare conjecture. arXiv:math/0607607[math.DG].
• Huai-Dong Cao, Xi-Ping Zhu. Hamilton–Perelman's proof of the Poincare conjecture and the geometrization conjecture. arXiv:math/0612069[math.DG].
• Terence Tao. Perelman's proof of the Poincare conjecture: a nonlinear PDE perspective. arXiv:math/0610903[math.DG].
• Bruce Kleiner, John Lott. Notes on Perelman's papers. arXiv:math/0605667[math.DG].