DiffGeom Logo
 
О кафедре
История кафедры
Фотоальбом
Сотрудники
Наши студенты
Наши аспиранты
Научная работа
Научные достижения
Лаборатория компьютерных методов
Digital Vision Laboratory
Где работают наши выпускники
Международные и внутри-российские связи кафедры
Публикации
Наши книги
Наши статьи
Диссертации
Работы студентов
Студентам
Спецкурсы
Спецсеминары
Учебные материалы
Задачи для исследования
Олимпиада кафедры
Наглядная и компью­терная геометрия и топология
Геометрические сюжеты
Энциклопедические статьи
Задать вопрос


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СЮЖЕТЫ

проблема пуанкаре и геометрический анализ, дифференциальная геометрия, физика

Гипотеза Пуанкаре стала сегодня, пожалуй, одной из наиболее известных научных проблем. И хотя понимание формулировки гипотезы Пуанкаре требует знакомства с топологией, о том, что ее решил наш соотечественник Григорий Яковлевич Перельман, знают многие люди далекие как от математики, так и от науки вообще. Также многие знают, что в 2006 году Перельман отказался принять присужденную ему медаль Филдса, что в 2010 году он отказался от премии в миллион долларов, учрежденной институтом Клэя (правда, мало кто знает, что еще в 2000 году он отказался от премии Европейского математического общества). Но что на самом деле важно для математики и математиков, так это то, что решение Перельманом гипотезы Пуанкаре использовало методы и подходы, радикально отличающиеся от тех, с помощью которых почти 100 лет пытались найти ключ к решению. Его подход основан не на топологических методах, а на методах дифференциальной геометрии, уравнений в частных производных, геометрического анализа, а также соображениях, подсказанных физикой. По свидетельствам очевидцев, в 2003 году в Принстоне на первом публичном докладе Перельмана о найденном доказательстве, слушателям, среди которых были крупнейшие топологи (некоторые из них тоже пытались доказать гипотезу Пуанкаре), было очень и очень непросто следить за нитью рассказа просто потому, что они не были в этом специалистами. Следует подчеркнуть, что Перельман доказал гораздо более широкое утверждение — геометризационную гипотезу Тёрстона, сформулированную относительно недавно, в 1982 году.

Вот краткая и далеко не полная хронология событий, связанных с историей гипотезы Пуанкаре:

  • А.Пуанкаре (1854–1912) формулирует гипотезу: односвязное замкнутое многообразие размерности 3 гомеоморфно сфере (Пятое дополнение к Analisys Situs (Rend. Circ. Math. Palermo 18 (1904), 45–110).
  • Дж.Г.К.Уайтхед (1930-е) получил примеры односвязных некомпактных многообразий размерности 3 не гомеоморфных R3.
  • Гипотеза Пуанкаре приобретает репутацию весьма сложной задачи. Появляются многочисленные доказательства, содержащие ошибки, причем эти ошибки порой очень сложно обнаружить. Однако это только способствует дальнейшему прогрессу в маломерной топологии.
  • С.Смейл (1961) доказал обобщенную гипотезу Пуанкаре для многообразий размерности больше 4: замкнутое многообразие, гомотопически эквивалентное n-мерной сфере, гомеоморфно ей.
  • М.Фридман (1982) доказал гипотезу Пуанкаре в размерности 4.
  • У.Тёрстон (1982) сформулировал гипотезу о геометризации, частным случаем которой является гипотеза Пуанкаре.
  • Р.Гамильтон (1982) предложил использовать поток Риччи для доказательства гипотезы Пуанкаре, начал изучение потоков Риччи, получил первые результаты в этом направлении и наткнулся на серьезные трудности.
  • Г.Я.Перельман (2002–2003) развил подход Гамильтона и доказал гипотезу геометризации Тёрстона и гипотезу Пуанкаре.
Пуанкаре
Анри Пуанкаре
Тёрстон
Уильям Тёрстон
Гамильтон
Ричард Гамильтон
Перельман
Григорий Перельман

Оригинальные тексты Перельмана:

«Популярные тексты»:

Некоторые математические тексты: