выворачивание двумерной сферы наизнанку и поверхность бойя

Окружность, лежащую в плоскости, нельзя гладко и регулярно вывернуть наизнанку, т.е. продеформировать (с возможными самопересечениями) так, чтобы наружные нормали стали внутренними. При любой такой попытке обязательно появятся уменьшающиеся петельки, превращающиеся в особые точки, где регулярность деформации нарушится. А вот стандартную двумерную сферу можно гладко и регулярно «вывернуть наизнанку» в R³. При этом, конечно, неизбежны самопересечения поверхности. На рисунке показано несколько шагов этого выворачивания. Идея в том, чтобы продеформировать сферу в окрестность погруженной проективной плоскости (поверхности Бойя), где сферу легко можно «вывернуть». Потом нужно повторить шаги в обратном порядке и получить вывернутую сферу.