регулярные замощения плоскости лобачевского и группы симметрий

В модели Пуанкаре плоскости Лобачевского точками являются точки единичного круга, а прямыми — дуги окружностей, выходящие на границу круга под углом π/2. Плоскость Лобачевского можно целиком замостить изометричными правильными 4g-угольниками с подходящими углами. Например, для правильного восьмиугольника (см. рисунок) угол равен π/4. Будем последовательно отражать многоугольник относительно всех его сторон. Его образы при отражениях покроют всю плоскость Лобачевского. По мере приближения к границе круга евклидовы изображения этих 4g-угольников все более уменьшаются. Фактор плоскости Лобачевского по действию дискретной группы, порожденной этими отражениями, является сферой с g ручками. На ней есть метрика постоянной отрицательной кривизны. Этот процесс в своеобразной художественной манере показан на известной гравюре голландского художника М.К.Эшера «Ангелы и дьяволы».