Рассмотрим точку, движущуюся по поверхности вращения с метрикой  ds2 =  dr2 + f2(r) dφ2  в центральном поле, заданном центральным потенциалом. Предположим, что все ограниченные траектории движения этой точки замкнуты, причем существуют такие траектории. Что тогда можно сказать о виде центрального потенциала V(r)?

Описанная задача — обобщение классической механической задачи Бертрана, впервые поставленной, судя по всему, в конце XIX века Ж.Бертраном для частного случая движения по евклидовой плоскости. Задача Бертрана была решена для случая плоскости (Ж.Бертран, Г.Дарбу); позже аналогичная задача была успешно решена для случаев двумерной сферы и плоскости Лобачевского (Г.Либман и другие).

В начале XXI века М.Сантопрете сделал большой шаг в обобщении задачи Бетрана на случай произвольной поверхности вращения.

В докладе будет рассказано о некоторых новых результатах, полученных в этой области. В частности, будут сформулированы точные условия, в которых были доказаны теоремы Бертрана и Сантопрете.