DiffGeom Logo
 
О кафедре
История кафедры
Фотоальбом
Сотрудники
Наши студенты
Наши аспиранты
Научная работа
Научные достижения
Лаборатория компьютерных методов
Digital Vision Laboratory
Проекты при поддержке РНФ
Где работают наши выпускники
Международные и внутри-российские связи кафедры
Публикации
Наши книги
Наши статьи
Диссертации
Работы студентов
Студентам
Спецкурсы
Спецсеминары
Учебные материалы
Задачи для исследования
Олимпиада кафедры
Наглядная и компью­терная геометрия и топология
Геометрические сюжеты
Энциклопедические статьи
Задать вопрос


Научные интересы

В начале 70-х годов была решена задача распознавания n-кратных пространств петель. Решение было предложено независимо несколькими авторами (Дж.Бордман, Р.Фогт, Дж.П.Мэй). Дж.П.Мэй предложил формулировку принципа распознавания, использующую операды в топологической категории. В начале 80-х годов В.А.Смирнов показал, что понятие операды может быть перенесено в категорию цепных комплексов. Понятие операды оказалось крайне удобным, в настоящее время их использование далеко выходит за рамки той области, в которой они появились. Этот, если так можно сказать, общематематический статус операд был подтвержден проведением в 1995–1996 годах нескольких конференций под общим девизом «Renaissance d'Operads».

Модули над одной из наиболее интересных операд — $A_\infty$-операдой — появились гораздо раньше — в начале 60-х годов в работах Дж.Сташефа, посвященных $H$-пространствам. Такие модули сейчас принято называть алгебрами Сташефа. В конце 90-х годов В.А.Смирнов показал, как можно с помощью алгебр Сташефа описывать когомологии ассоциативных алгебр и получил полное описание в терминах образующих и соотношений когомологий алгебры Стинрода $A_2$. Ф.Ю.Попенский перенес это описание на случай алгебр Стинрода $A_p$, где $p>2$ — простое число. Ценность этого описания определяется тем, что когомологии алгебры Стинрода являются вторым членом спектральной последовательности Адамса для стабильных гомотопических групп сфер. Для использования такого описания необходимо развить технику вычислений в алгебрах Сташефа. Для ассоциативных алгебр, которые являются частным случаем алгебр Сташефа, имеется богатая теория базисов Грёбнера. Эта теория позволяет эффективно проводить вычисления в ассоциативных алгебрах, заданных образующими алгебры и идеалом соотношений. Базис Грёбнера — это набор образующих в идеале соотношений, обладающий рядом специальных свойств. Ф.Ю.Попеленский построил соответствующую теорию для специального класса алгебра Сташефа.

Стабильные когомологические операции в теории когомологий с коэффициентами в $\mathbb Z/p$ могут быть построены двумя способами — с помощью так называемой квадратичной конструкции Стинрода и с помощью когомологий пространств Эйленберга–Маклейна, составляющих представляющий спектр соответствующей теории когомологий. Как известно, в случае теорий кобордизмов эти два способа приводят к принципиально различным операциям. Первый способ приводит к алгебре операций Ландвебера–Новикова, используемых, в частности, при построении спектральной последовательности Адамса–Новикова. Второй способ приводит к операциям Таммо том Дика, которые не образуют алгебру.

В конце 90-х годов В.А.Смирнов предложил понятие биоперады и мультипликативного семейства над ним. С помощью этих инструментов ему удалось построить алгебры операции типа Стинрода в $O$-, $U$- и $Sp$-кобордизмах. Для этого необходимо было построить структуру мультипликативного семества над подходящей биоперадой для соответствующих спектров Тома. Ф.Ю.Попеленский построил структуры мультипликативных семейств на представляющих спектрах Тома для $SO$- и $SU$-кобордизмов, тем самым были построены алгебры операций типа Стинрода в указанных теория кобордизмов. Кроме того, им было показано, как связаны операции Стинрода, предложенные том Диком, и операции, построенные методом биоперад в $O$-, $SO$-, $U$-, $SU$-, $Sp$-кобордизмах.

Совместно с проф. Ю.П.Соловьёвым были построены характеристические классы Чженя для пар Ли–Картана. Эта теория является некоммутативным аналогом теории Чженя–Вейля для комплексных векторных расслоений.

Назад Дальше