Основной областью научных интересов В.А. Кибкало является теория интегрируемых гамильтоновых систем и
смежные с ней вопросы геометрии, механики, алгебры, теории особенностей и маломерной топологии.
В настоящее время тремя основными темами научной деятельности являются:
- топологические инварианты интегрируемых систем динамики, их аналогов для различных алгебр Ли.
Интегрируемые системы динамики в неевклидовых пространствах.
Для аналогов классической системы Ковалевской в случаях алгебр Ли so(4) и so(3,1)
были подсчитаны инварианты Фоменко-Цишанга поверхностей постоянной энергии. Для случая
so(4) на основе этого была описана топология самих этих трехмерных неособых поверхностей.
Изучаются аналоги известных интегрируемых систем динамики в псевдо-евклидовом пространстве.
Для такого аналога системы Ковалевской доказан критерий компактности совместного уровня первых интегралов
и наличие у нее бифуркаций слоения, происходящих без падения ранга отображения момента.
- интегрируемые биллиарды и их обобщения
Построены биллиардные книжки (т.е. двумерные клеточные комплексы с перестановками на 1-ребрах, введенные В.В. Ведюшкиной),
движение частицы по которым в поле отталкивающего потенциала Гука моделирует произвольную полулокальную особенность ранга 0,
имеющую тип прямого произведения (для систем с 2 степенями свободы).
Также изучается вопрос о возможности промоделировать произвольное слоение Лиувилля интегрируемой системы
(в некоторой зоне энергии) слоениями биллиардов – известная гипотеза Фоменко о биллиардах. В рамках ее локальной версии
доказано (совместно с доц. В.В.Ведюшкиной), что любое значение метки n -- целочисленного инварианта (соответствующего
классу Эйлера некоторого расслоения Зейферта) реализуется подходящей биллиардной книжкой. До этого в интегрируемых системах
были известны лишь примеры n = 0, 1, 2, 4.
- особенности интегрируемых по Лиувиллю гамильтоновых систем и их бифуркации в однопараметрических семействах.
Их топологические и симплектические инварианты, вопросы классификации и структурной устойчивости.
Для классической системы Ковалевской из динамики твердого тела были описаны все ее параболические особенности
и получен полный ответ об их структурной устойчивости (совместно с проф. Е.А. Кудрявцевой).
Также В.А. Кибкало интересуется вопросами применения геометрических методов к задачам из приложений, в том числе из анализа данных (проверка гипотезы о многообразии для выхода некоторой нейросети), участвует в соответствующих проектах кафедры и конференциях.
|
