1. интег­ри­ру­е­мые гамиль­то­но­вы системы: интег­ри­ру­е­мые геоде­зи­чес­кие потоки, алгебра­и­чес­кая интег­ри­ру­е­мость, топо­ло­гичес­кие инвариантны интег­ри­ру­е­мых систем, топо­ло­ги­чес­кие препятствия интег­ри­ру­е­мости, интег­ри­ру­е­мые волчки в динамике твердого тела, согласо­ван­ные пуассоновы структуры и бигамиль­то­новы системы.

2. особенности: особен­ности отобра­же­ния момента интег­ри­ру­е­мых систем, их топо­ло­ги­чес­кие и симплек­ти­чес­кие инвари­анты, алго­рит­ми­чес­кая клас­си­фи­ка­ция, особен­ности лиувил­ле­вых слоений.

3. группы ли и алгебры ли: динами­чес­кие системы на группах Ли и одно­род­ных пространст­вах, лиевы пучки, гамиль­то­нова редукция, гамиль­то­но­вы системы на алгебрах Ли.

4. симплек­ти­чес­кая геометрия и риманова геометрия.

ОСНОВНЫЕ НАУЧНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1.  Пусть $\{\,,\,\}_0$ и $\{\,,\,\}_1$ пара согласованных скобок Пуассона. Предположим, что векторное поле $v$ бигамильтоново, т. е. гамильтоново относительно каждой нетривиальной линейной комбинации $\lambda\{\,,\,\}_0+\mu\{\,,\,\}_1$. Тогда функция Казимира скобки $\lambda\{\,,\,\}_0+\mu\{\,,\,\}_1$ является первым интегралом поля $ v$. Вопрос, возникающий довольно часто, состоит в том, чтобы выяснить, гарантируют ли такие интегралы полную интегрируемость по Лиувиллю векторного поля $v$. В [2, 3] доказан критерий, позволяющий эффективно отвечать на этот вопрос. В частных случаях этот критерий дает необходимые и достаточные условия полной интегрируемости многих гамильтоновых систем на алгебрах Ли.

2.  Пусть $ dx/dt = v(x) $ — интегрируемая гамильтонова система с $n$ степенями свободы. Согласно теореме Лиувилля фазовое пространство этой системы расслоено на инвариантные торы размерности $n$. Это слоение имеет, однако, особенности в тех точках, где первые интегралы становятся зависимыми. Для изучения глобальных свойств системы (как, например, типов бифуркаций торов Лиувилля) нужно уметь описывать и классифицировать эти особенности. Результат работы [4] — топологическая классификация особенностей типа седло-седло для интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы в случае, когда особый слой содержит 2 особые точки (такая ситуация довольно часто встречается в приложениях). Было показано, что существует 39 типов таких особенностей.

3.  Рассмотрим ограничение интегрируемой гамильтоновой системы $ dx/dt = v(x) $ на уровень постоянной энергии $ Q = {H=const} $, где $H$ — гамильтониан поля $v$. В случае двух степеней свободы этот уровень имеет размерность 3. Топологическая структура слоения $Q$ на двумерные инвариантные торы полностью описывается инвариантом Фоменко–Цишанга. В [4, 19] предложен метод для вычисления этого инварианта, в качестве приложения этот инвариант вычислен для всех значений энергии интегрируемого случая Ковалевской.

4.  В предположениях предыдущего пункта исследуется структура слоения $Q$ на интегральные кривые гамильтонова векторного поля $v$ (т. е. его глобальный фазовый портрет). Говорят, что две такие системы $v$ и $v'$ траекторно эквивалентны, если существует гомеоморфизм (диффеоморфизм) между $Q$ и $Q'$, который отображает траектории поля $v$ в траектории поля $v'$. В [6, 8] построен инвариант (говоря точнее, набор инвариантнов), позволяющих классифицировать системы указанного типа с точностью до траекторной эквивалентности. Используя эту технику, можно найти новые изоморфизмы среди классических интегрируемых гамильтоновых систем или, наоборот, показать, что системы не эквивалентны. В качестве примера показано, что волчок Эйлера и геодезический поток на трехосном эллипсоиде траекторно эквивалентны в топологическом смысле [10], а в гладком — различны [12]. Этот результат вытекает из существования гладкого инварианта, который различает эти системы, в то время как их топологические инварианты совпадают.

5.  В теории интегрируемых гамильтоновых систем в геометрии есть два вопроса, ставших уже классическими:

• Какие гладкие компактные многообразия допускают интегрируемые геодезические потоки?
• Каковы топологические препятствия интегрируемости геодезических потоков?

6.  В [17, 18] мы построили примеры интегрируемых геодезических потоков с положительной топологической энтропией. Хотя фазовое пространство в этих примерах расслоено почти всюду на инвариантные торы с квазипериодической динамикой, существует сингулярный слой, на котором динамика хаотична. Эти примеры, в частности, показывают, что положительная топологическая энтропия не может рассматриваться как препятствие интегрируемости.

7.  Две римановых метрики $g$ и $g'$ на многобразии $M$ называются проективно эквивалентными, если они имеют одинаковые геодезические. Известно, что в такой ситуации их геодезические потоки оказываются часто вполне интегрируемыми. В [21] приводится новое условие необходимое и достаточное для того, чтобы две данные метрики были проективно эквивалентны и показывается, что их геодезические потоки всегда являются бигамильтоновыми.