DiffGeom Logo
 
О кафедре
История кафедры
Фотоальбом
Сотрудники
Наши студенты
Наши аспиранты
Научная работа
Научные достижения
Лаборатория компьютерных методов
Digital Vision Laboratory
Проекты при поддержке РНФ
Где работают наши выпускники
Международные и внутри-российские связи кафедры
Публикации
Наши книги
Наши статьи
Диссертации
Работы студентов
Студентам
Спецкурсы
Спецсеминары
Учебные материалы
Задачи для исследования
Олимпиада кафедры
Наглядная и компью­терная геометрия и топология
Геометрические сюжеты
Энциклопедические статьи
Задать вопрос


Научные интересы

1. интег­ри­ру­е­мые гамиль­то­но­вы системы: интег­ри­ру­е­мые геоде­зи­чес­кие потоки, алгебра­и­чес­кая интег­ри­ру­е­мость, топо­ло­гичес­кие инвариантны интег­ри­ру­е­мых систем, топо­ло­ги­чес­кие препятствия интег­ри­ру­е­мости, интег­ри­ру­е­мые волчки в динамике твердого тела, согласо­ван­ные пуассоновы структуры и бигамиль­то­новы системы.

2. особенности: особен­ности отобра­же­ния момента интег­ри­ру­е­мых систем, их топо­ло­ги­чес­кие и симплек­ти­чес­кие инвари­анты, алго­рит­ми­чес­кая клас­си­фи­ка­ция, особен­ности лиувил­ле­вых слоений.

3. группы ли и алгебры ли: динами­чес­кие системы на группах Ли и одно­род­ных пространст­вах, лиевы пучки, гамиль­то­нова редукция, гамиль­то­но­вы системы на алгебрах Ли.

4. симплек­ти­чес­кая геометрия и риманова геометрия.

ОСНОВНЫЕ НАУЧНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1.  Пусть $\{\,,\,\}_0$ и $\{\,,\,\}_1$ пара согласованных скобок Пуассона. Предположим, что векторное поле $v$ бигамильтоново, т. е. гамильтоново относительно каждой нетривиальной линейной комбинации $\lambda\{\,,\,\}_0+\mu\{\,,\,\}_1$. Тогда функция Казимира скобки $\lambda\{\,,\,\}_0+\mu\{\,,\,\}_1$ является первым интегралом поля $ v$. Вопрос, возникающий довольно часто, состоит в том, чтобы выяснить, гарантируют ли такие интегралы полную интегрируемость по Лиувиллю векторного поля $v$. В [2, 3] доказан критерий, позволяющий эффективно отвечать на этот вопрос. В частных случаях этот критерий дает необходимые и достаточные условия полной интегрируемости многих гамильтоновых систем на алгебрах Ли.

2.  Пусть $ dx/dt = v(x) $ — интегрируемая гамильтонова система с $n$ степенями свободы. Согласно теореме Лиувилля фазовое пространство этой системы расслоено на инвариантные торы размерности $n$. Это слоение имеет, однако, особенности в тех точках, где первые интегралы становятся зависимыми. Для изучения глобальных свойств системы (как, например, типов бифуркаций торов Лиувилля) нужно уметь описывать и классифицировать эти особенности. Результат работы [4] — топологическая классификация особенностей типа седло-седло для интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы в случае, когда особый слой содержит 2 особые точки (такая ситуация довольно часто встречается в приложениях). Было показано, что существует 39 типов таких особенностей.

3.  Рассмотрим ограничение интегрируемой гамильтоновой системы $ dx/dt = v(x) $ на уровень постоянной энергии $ Q = {H=const} $, где $H$ — гамильтониан поля $v$. В случае двух степеней свободы этот уровень имеет размерность 3. Топологическая структура слоения $Q$ на двумерные инвариантные торы полностью описывается инвариантом Фоменко–Цишанга. В [4, 19] предложен метод для вычисления этого инварианта, в качестве приложения этот инвариант вычислен для всех значений энергии интегрируемого случая Ковалевской.

4.  В предположениях предыдущего пункта исследуется структура слоения $Q$ на интегральные кривые гамильтонова векторного поля $v$ (т. е. его глобальный фазовый портрет). Говорят, что две такие системы $v$ и $v'$ траекторно эквивалентны, если существует гомеоморфизм (диффеоморфизм) между $Q$ и $Q'$, который отображает траектории поля $v$ в траектории поля $v'$. В [6, 8] построен инвариант (говоря точнее, набор инвариантнов), позволяющих классифицировать системы указанного типа с точностью до траекторной эквивалентности. Используя эту технику, можно найти новые изоморфизмы среди классических интегрируемых гамильтоновых систем или, наоборот, показать, что системы не эквивалентны. В качестве примера показано, что волчок Эйлера и геодезический поток на трехосном эллипсоиде траекторно эквивалентны в топологическом смысле [10], а в гладком — различны [12]. Этот результат вытекает из существования гладкого инварианта, который различает эти системы, в то время как их топологические инварианты совпадают.

5.  В теории интегрируемых гамильтоновых систем в геометрии есть два вопроса, ставших уже классическими:

  • Какие гладкие компактные многообразия допускают интегрируемые геодезические потоки?
  • Каковы топологические препятствия интегрируемости геодезических потоков?
Классические примеры многообразий с интегрируемыми геодезическими потоками — это сфера и тор. В размерности 2 других ориентируемых поверхностей с таким свойством не существует, если метрика и первый интеграл предполагаются вещественно аналитическими (теорема Козлова). Известно также, что существуют интегрируемые геодезические потоки на компактных группах Ли (Фоменко, Мищенко), симметрических пространствах (Тимм, Мищенко, Браилов), на некоторых однородных пространствах (Тимм, Микитюк, Стёпин, Патернайн, Спатцер, Батлер) и на отдельных неоднородных многообразиях (Патернайн, Спатцер, Базайкин). В [20] доказано, что на самом деле все однородные пространства $G/H$, так же как двойные частные $K\backslash G/H$ компактной группы Ли $G$, допускают интегрируемые геодезические потоки.

6.  В [17, 18] мы построили примеры интегрируемых геодезических потоков с положительной топологической энтропией. Хотя фазовое пространство в этих примерах расслоено почти всюду на инвариантные торы с квазипериодической динамикой, существует сингулярный слой, на котором динамика хаотична. Эти примеры, в частности, показывают, что положительная топологическая энтропия не может рассматриваться как препятствие интегрируемости.

7.  Две римановых метрики $g$ и $g'$ на многобразии $M$ называются проективно эквивалентными, если они имеют одинаковые геодезические. Известно, что в такой ситуации их геодезические потоки оказываются часто вполне интегрируемыми. В [21] приводится новое условие необходимое и достаточное для того, чтобы две данные метрики были проективно эквивалентны и показывается, что их геодезические потоки всегда являются бигамильтоновыми.

Назад Дальше