Сеть - это геометрическая реализация графа, т.е. представление вершин графа точками некоторого пространства, а рёбер - кривыми, соединяющими соответствующие точки. Сеть называется локально минимальной, если её нельзя укоротить деформацией в малой окрестности её точки, даже если разрешить перестройки.

Так же, как и в случае геодезических, локально минимальная сеть вообще говоря может допускать глобальную деформацию, уменьшающую её длину (пример - некратчайшая геодезическая на сфере). Однако так же, как и в случае геодезических, это не может случиться на многообразиях неположительной секционной кривизны. М.В. Пронин доказал этот факт для деформаций, не изменяющих топологическую структуру сети (т.е. не изменяющих граф, который реализует сеть).

Я расскажу о том, как можно сформулировать это свойство локально минимальных сетей, не накладывая ограничений на структуру сети. Для сетей в различных пространствах будут рассматриваться деформации сети внутри её малой окрестности. Для случая плоскости будут приведены оценки на размер окрестности, внутри которой локально минимальная сеть оказывается кратчайшей. Будет показано, в каком смысле эти оценки являются точными.