Гомотопический прямой предел (hocolim) диаграммы пространств - одно из основных понятий современной алгебраической топологии, наряду с менее наглядным гомотопическим обратным пределом (holim). Примеры: hocolim диаграммы Y <--f-- X --> pt есть конус отображения f; hocolim диаграммы из одного пространства X и отображения f: X -> X есть тор отображения f; hocolim бесконечной диаграммы X_1 --f_1--> X_2 --f_2--> X_3 --f_3--> ... гомотопически эквивалентен телескопу X_[0,\infty), составленному из цилиндров X_[i,i+1] отображений f_i; hocolim группы G, понятой как категория с одним объектом pt и морфизмами pt -> pt, индексированными элементами G (композиция стрелок соответсвует умножению в G) имеет гомотопический тип классифицирующего пространства BG. Главная ценность hocolim'а в том, что если все отображения диаграммы являются корасслоениями (например, включениями подполиэдров), то hocolim гомотопически эквивалентен обычному прямому пределу (т.е. объединению пространств диаграммы); в то же время, в самом общем случае когомологии hocolim'а вычисляются в терминах когомологий пространств, входящих в диаграмму, а именно, спектральной последовательностью Лере отображения из hocolim'а в нерв диаграммы (слоями этого отображения являются пространства, входящие в диаграмму). Например, в случае диаграммы X <--i-- A --j--> Y, где A - пересечение пространств X и Y, а i,j - включения, это вычисление даёт когомологическую последовательность Майера-Вьеториса. Подробнее обо всём этом можно прочитать в книгах Боардмана-Фогта и Бусфилда-Кана или в более доступной статье Фогта http://www.springerlink.com/content/l11h1n345w71l211/fulltext.pdf http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002413329

Оказывается, что в случае несчётной индексирующей категории (не содержащей конфинальной счётной) удовлетворительных определений holim и hocolim до сих пор не было известно - общепринятый вариант этих понятий приводит к «вычислениям» с результатом, уже в самых простейших случаях независимым от аксиом теории множеств ZFC. Примеры таких категорий возникают в классических определениях гомологий и когомологий польского (т.е. метризуемого полной метрикой сепарабельного) пространства Х. Даукер (1954) определил когомологии («когомологии Чеха» пространства Х как прямой предел когомологий нервов пространства X; это прямой предел по категории N(X), состоящей из нервов открытых покрытий Х и симплициальных отображений между нервами покрытий, связанных отношением вписанности. Ситников (1950) определил гомологии пространства Х как прямой предел гомологий (т.е. гомологий Стинрода) компактных подмножеств X; это прямой предел по категории C(X), состоящей из всех компактных подмножеств Х и включений между ними. (При этом в случае C(X) наличие конфинальной счётной подкатегории равносильно локальной компактности Х, а в случае N(X) - дискретности Х за вычетом некоторого компакта). В середине 80-х Миминошвили и Лисица-Мардешич независимо друг от друга решили переставить в этих классических определениях прямой предел с обратным, определив тем самым «сильные гомологии» пространства Х как гомологии holim N(X) (который они рассматривали как симплициальное множество) и «сильные когомологии» Х как когомологии hocolim C(X). При этом получилось, например, что в размерности -1 (в которой ординарным гомологиям лучше бы вообще не появляться) сильные гомологии произведения N x N^+, где N - счётное дискретное пространство, а N^+ - его одноточечная компактификация, в предположении аксиомы собственного форсинга будут нулевыми, а в предположении континуум-гипотезы - ненулевыми. В обычной теории множеств ZFC ни одного примера различия между обычными и сильными гомологиями (или когомологиями) для польских пространств так и не было найдено, хотя сильным (ко)гомологиям посвящены уже многие десятки статей и несколько книг.

Результат доклада состоит в том, что для польских простанств «сильные» гомологии и когомологии можно охарактеризовать как чистое недоразумение. Более формально, они сводятся к обычным (и в частности становятся вычислимыми в ZFC), если подправить определения holim и hocolim с использованием некоторой (польской нульмерной) топологии на индексном множестве диаграммы; эта топология зависит от выбора счётной базы топологии на Х. Другими словами, обычные когомологии (Чеха-Даукера), определённые в терминах когомологий нервов N(X), впервые вычислены для польских пространств в терминах когомологий компактов C(X), а обычные гомологии (Стинрода-Ситникова), определённые в терминах гомологий компактов С(X), - вычислены в терминах гомологий нервов N(X). Доказательства используют равномерные пространства и новые основания комбинаторной топологии.