Хотя каждый математик, наверно, клеил сам или держал в руках склеенный другими из прямоугольного листа ленту Мебиуса, первое аналитическое представление такой ленты было найдено сравнительно недавно, лишь около 20 лет назад. Дело в том, что все известные из учебников ленты Мебиуса имеют отрицательную кривизну, поэтому их метрика не является плоской и они не могут быть получены склеиванием бумажного листа. Каждая достаточно регулярная лента Мебиуса с плоской метрикой локально имеет стандартное строение развертывающейся поверх-ности с прямоугольными образующими, но глобально не всякая замкнутая кривая может быть выбрана как ее направляющая. Оказалось, что кривые, являющиеся средними линиями ленты Мебиуса с плоской метрикой, должны иметь некоторое специальное строение, в частности, их кривизна должна быть антипериодической функцией с нечетным числом нулей, а их триедр Френе не может быть периодическим. Это наблюдение приводит к тому, что все замкнутые пространственные аналити-ческие кривые разбиваются на два класса -- с периодическими и непериодическими триедрами Френе, что, по-видимому, каким-то образом должно быть учтено при рассмотрении различных дефор-маций пространственных кривых, например, в теории узлов. В докладе будет рассказано об этих и других задачах, связан-ных с рассмотрением плоских лент Мебиуса, в том числе общих, т.е. не обязательно склеенных из стандартного прямоугольного листа бумаги.