В докладе речь пойдёт о "проблеме Какеи": насколько маленьким (например, в смысле размерности по Хаусдорфу) может быть (компактное) подмножество R^n, содержащее единичный отрезок по каждому из направлений? В 1917 г. С. Какея задал вопрос о минимальной мере выпуклого плоского множества внутри которого можно "провернуть" на 360^0 отрезок длины 1, в 1927 А.С.Безикович построил множества сколь угодно малой меры с таким свойством. В 1971 в яркой работе Ч. Феффермана, конструкция Безиковича была применена для решения проблемы "шарового мультипликатора" в гармоническом анализе. В дальнейшем, благодаря Э. Стейну, Л. Хермандеру, Ж. Бургейну, Т. Вольфу, Т. Тао и многим другим выделилось несколько тесно связанных друг с другом (и с проблемой Какеи) задач из области гармонического анализа, геометрической теории меры, комбинаторики, теории чисел, уравнений с частными производными. Весьма широк и арсенал средств, привлекавшихся для получения продвижений в этих задачах. Докладчик постарается сделать обзор наиболее ярких и интересных (по его мнению) конструкций и результатов, полученных в процессе этих исследований.