Вопрос 1. Пусть дана кривая gamma, погруженная в ориентируемую двумерную поверхность S. Когда существует пара (M,delta) - трехмерное многообразие с краем S и двумерный диск delta, погруженная в M с краем gamma=delta\cap M? Примеры инвариантов - препятствий к такому погружению (срезанности кривой) были найдены недавно Картером и Тураевым. Вопрос 2. Рассмотрим четырехвалентные графы с формальной структурой противоположных ребер в перекрестках и их классы эквивалентности по формальным движениям Рейдемейстера. Полученные объекты назовем свободными узлами. Существуют ли нетривиальные свободные узлы? Этот вопрос был задан несколько лет назад Тураевым и решен совсем недавно мной. Свободные узлы можно трактовать как резкое упрощение гомотопических классов кривых, погруженных в поверхности: если имеется кривая на поверхности, по ней можно построить свободный узел, но по свободному узлу поверхность строится неоднозначно: в вершинах задан не циклический порядок ребер, а лишь структура противоположности. На множестве свободных узлов вводится отношение КОБОРДИЗМА, которое тесно связано с вопросом 1. Будут приведены новые мощные инварианты свободных узлов и построены свободные узлы, НЕ КОБОРДАНТНЫЕ ТРИВИАЛЬНОМУ. Примеры принадлежат Д.П.Ильютко.