Классические и виртуальные узлы задаются как диаграммы с перекрестками, при этом эквивалентность определяется движениями Рейдемейстера. Оказывается, что если если в теории узлов все перекрестки можно разделить на "четные" и "нечетные" таким образом, чтобы правило четности удовлетворяло очень простым аксиомам при движениях Рейдемейстера, то при этих условиях можно просто доказывать разные теоремы: 1) о минимальности 2) о необратимости 3) строить инвариантные отображения из множеств одних узлов в другие. В качестве модельного примера расматривается резкое упрощение понятия виртуального узла (зацепления): у диаграммы мы забываем о структуре перекрестков (проход-переход) и локальных числах закрученности (write number). Полученный объект - свободные узлы (или гомотопии гауссовых слов согласно Тураеву) - представляет собой резкое упрощение также и для кривых, иммерсированных в двумерные поверхности: рассматриваются четырехвалентные графы со структурой противоположных ребер в перекрестках, профакторизованные по формальным движениям Рейдемейстера. В.Г.Тураев выдвинул гипотезу о гомотопности люього гауссова слова тривиальному. В докладе приводится инвариант свободных узлов, который ставит в соответствие графу линейную комбинацию четырехвалентных графов, но рассмотренных уже только с точностью до второго движения Рейдемейстера. Это позволяет не только привести многочисленные примеры, опровергающие гипотезу Тураева, но и просто доказывать теоремы минимальности, необратимости, неклассичности многих свободных узлов (и, следовательно, виртуальных узлов): для свободных узлов, представимых графами специального вида (нечетными несократимыми) значение инварианта представляет собой исходный граф, и теорема минимальности звучит в более сильной формулировке: для каждого нечетного несократимого графа любой эквивалентный ему (посредством трех движений Рейдемейстера) граф содержит исходный граф в качестве "разведения". Настоящая конструкция может быть аксиоматизирована и положена в основу аксиоматики для построения инвариантов различных объектов. Она связана с биалгеброй Ли Голдмана-Тураева кривых на поверхностях, с квадратичными формами над Z_{2}, дает многие нетривиальные примеры из теории виртуальных узлов. Мы построим также более сильные инварианты виртуальных узлов - уточения скобки Кауфмана и гомологий Хованова посредством четности. Никаких предварительных знаний не требуется. В докладе будет приведен список нерешенных задач научного характера.