Для плоских двумерного тора и бутылки Клейна полностью описаны множества чисел областей, образованных наборами n замкнутых геодезических. Для этого понадобилось ответить на три вспомогательных вопроса.

1. При каких условиях на набор геодезических любая образованная область гомеоморфна открытому диску.

2. В случае клеточного разбиения выразить число областей через кратности точек пересечения и самопересечения геодезических.

3(а). Найти число точек пересечения двух геодезических на торе в зависимости от гомотопического типа геодезических в произвольном фиксированном базисе.

(б) Найти число точек самопересечения геодезической на бутылке Клейна в зависимости от гомотопического типа геодезической в произвольном фиксированном базисе.