Задача о движении твердого тела по горизонтальной плоскости — одна из классических задач теоретической механики. При построении математической модели этой задачи существенное значение имеет характер взаимодействия тела с плоскостью. В докладе основное внимание уделяется двум постановкам задачи, соответствующим предположению об идеальности связей.

В первом случае предполагается, что тело может скользить по плоскости без трения (модель абсолютно гладкой плоскости), т.е. рассматриваемая система является гамильтоновой с пятью степенями свободы и трехпараметрической группой симметрий (сдвиг вдоль плоскости и поворот вокруг вертикали). В этой задаче известны два случая интегрируемости по Лиувиллю:
(а) аналог случая Эйлера (неоднородный шар, центр масс которого совпадает с геометрическим);
(б) аналог случая Лагранжа (тело вращения — динамически и геометрически симметричное тело с одной и той же осью симметрии).

Во втором случае предполагается, что тело не может скользить по плоскости (модель абсолютно шероховатой плоскости), т.е. рассматриваемая система является консервативной неголономной системой Чаплыгина с тремя степенями свободы. В общем случае уравнения движения тела на шероховатой плоскости допускают только интеграл энергии и не допускают не только никаких дополнительных интегралов, но и инвариантную меру. В этой задаче тоже известно два случая интегрируемости, аналогичные случаям Эйлера (а) и Лагранжа (б). В этих случаях существует и инвариантная мера, и дополнительные интегралы. При этом в задаче о движении тела вращения на шероховатой плоскости (случай б) существуют два дополнительных интеграла, линейных по компонентам угловой скорости тела, которые, вообще говоря, не известны в явном виде. Последнее обстоятельство резко усложняет топологический анализ динамики тела вращения на шероховатой плоскости.

В заключение будут упомянуты некоторые интересные результаты динамики тела на плоскости с трением (системы с неидеальными связями).