В работе изучаются некоторые связи между разными по своей природе объектами: функциями Морса и алгебраическими структурами. Одной из наиболее удобных для изучения в этой области оказалась следующая задача:

Рассматривается присоединенное действие группы SO(n) на своей алгебре Ли so(n) кососимметрических матриц. Берется Orb(B) — орбита некоторого элемента B ∈ so(n) относительно этого действия. Задача — описать все такие матрицы H ∈ so(n), что функция высоты относительно прямой <H> будет на Orb(B) функцией Морса.

Соответствующие матрицы H назовем «хорошими». Далее, матрицу B ∈ so(n) (и порождаемую ей орбиту) назовем регулярной, если среди квадратов ее собственных значений нет трех одинаковых, и сингулярной в противном случае. Тогда имеют место следующие два результата.

Теорема 1. Матрица B ∈ so(n) является невырожденной критической точкой для функции высоты относительно <H> тогда и только тогда, когда Ann H ⊂ Ann B.

Теорема 2. Регулярные матрицы H будут «хорошими» для любой орбиты, а для регулярной орбиты верно и обратное.

В случае n = 3 все орбиты и все матрицы являются регулярными. При n = 4 существует лишь одна (с точностью до гомотетии) сингулярная орбита. Для нее все матрицы будут «хорошими». При n ≥ 5 для любой орбиты найдется «нехорошая» матрица. При n = 5 сингулярных орбит с точностью до гомотетии всего две, а при n ≥ 6 их уже много.