Метод сдвига аргумента, разработанный А.С.Мищенко и А.Т.Фоменко, является универсальной конструкцией, позволяющей строить семейства функций в инволюции на двойственных пространствах алгебр Ли. В первой части доклада будет рассказано об обобщении метода сдвига аргумента на случай алгебр Ли над произвольным полем характеристики нуль и будет доказан критерий полноты коммутативного набора полиномов, построенного этим методом. Отметим, что рассмотрение алгебр Ли над абстрактными полями мотивировано недавним доказательством гипотезы Мищенко–Фоменко, полученным С.Т.Садэтовым, в котором алгебры Ли над произвольными полями возникают естественным образом.

Квантовым аналогом задачи об интегрируемости геодезического потока на многообразии является описание спектра и собственных функций оператора Бельтрами–Лапласа. Хорошо известно, что с точки зрения теории интегрируемых систем надстройки автоморфизмов торов обладают интересными свойствами. Во второй части доклада будет описан спектр и собственный базис оператора Бельтрами–Лапласа на надстройках торов. Этот результат является продолжением исследований, начатых в работах А.В.Болсинова, И.А.Тайманова, А.П.Веселова и Х.Р.Дуллина.