|
Пусть (M,F) — компактное многообразие со слоением, g — риманова метрика
на M. Касательное расслоение TM к многообразию M представимо
в виде прямой суммы TM = TF ⊕ H , где
TF — касательное расслоение к слоению F и
H = TF⊥ — ортогональное дополнение к TF .
Таким образом, метрику g можно записать в виде
g = gTF + gH , где
gTF — ограничение метрики g на TF и
gH — ограничение метрики g на H .
Определим однопараметрическое семейство { gε : ε > 0 }
римановых метрик на M по формуле
gε = gTF + ε-2gH .
Для любого ε > 0 рассмотрим оператор
Лапласа–Бельтрами Δε, ассоциированный с метрикой gε.
Спектр оператора Δε состоит из собственных значений конечной кратности:
0 = λ0(ε) < λ1(ε) ≤… ,
λj(ε) → +∞ при j → ∞ .
Изучается асимптотическое поведение спектра оператора Δε в адиабатическом пределе,
то есть, при фиксированном λ и при ε → 0 .
Рассматриваются три примера многообразий со слоением:
1. M — риманово многообразие Гейзенберга, слоение F задается орбитами левоинвариантного векторного
поля на M.
2. M — риманово Sol-многообразие, слоение F задается орбитами
левоинвариантного векторного поля на M.
3. (M,F) — слоение Кронекера на двумерном торе (более общо, риманово слоение).
Во всех трех случаях получены асимптотические формулы для функции распределения спектра
оператора Δε:
Nε(λ) =
# { j : λj(ε) < λ } .
Изучается также связь ветвей так называемых "малых" собственных значений оператора Лапласа в адиабатическом пределе с элементами
спектральной дифференциальной последовательности слоения.
| 