1. Постановка задачи. Рассмотрим сферу  Sn-1 , вписанную в n-мерный куб с центром в точке  O . Пусть  A ∈ Sn-1  и  α  — касательная плоскость к  Sn-1  в точке  A .
Определение.
Вершина куба  B  называется «отсеченной», если  OB  пересекается с  α , причем не в точке  B . Количество вершин, отсеченных касательной гиперплоскостью в точке  A , обозначим через  N(A) .
Утверждение.
Любая касательная гиперплоскость отсекает не более  2n-2  вершин, т.е. не более четверти от их общего числа.
2. Геометрические идеи и гипотезы.
1. Полярное преобразование. «Сферы влияния» каждой вершины. Области постоянства  N(A) .
2. Изменение  N(A)  при переходе через границу области. Лемма об изменении  N(A)  не более чем на 1. Непрерывность множества значений  N(A) .
3. «Локальные экстремумы»  N(A) . Локальная и глобальная экстремальность  N(A) .
4. Статистические экспериментальные данные.
5. Касательные к центрам k-мерных граней.  N(A)  в точках, где касательная гиперплоскость содержит прямую, параллельную ребру (такие точки назовем «хорошими»). Идея спуска для хороших точек.
6. Классификация областей постоянства: с центрами k-мерных граней, с «хорошими» точками, остальные области.