|
Доклад посвящен решению проблемы перечисления минимальных (в смысле степеней отображений) многообразий Зейферта. Замкнутое
многообразие Зейферта называется минимальным, если не допускает отображений степени 1 ни на какие
другие многообразия Зейферта, кроме себя и трехмерной сферы.
Проблема перечисления минимальных многообразий Зейферта была поставлена К.Хайат-Легран, Ш.Вонгом,
Х.Цишангом. Авторами проблемы был представлен список из десяти серий многообразий Зейфетра со следующим утверждением:
все минимальные многообразия Зейферта содержатся в данном списке;
все многообразия шести из десяти серий являются минимальными;
все многообразия четырех оставшихся (бесконечных) серий не допускают отображений степени 1 ни на какие другие
многообразия Зейферта, кроме себя, трехмерной сферы и, возможно, гомологической сферы Пуанкаре.
Позже, К.Хайат-Легран, C.Матвеев и Х.Цишанг исследовали один из четырех проблемных случаев при помощи
компьютерного эксперимента, основанного на той же технике вычисления степеней отображений, что используется
и в настоящей работе, заметили (хотя и не доказали) периодическую зависимость между параметрами особых слоев
многообразий Зейферта и множеством возможных степеней их отображений на гомологическую сферу Пуанкаре. Данная периодичность
позволила бы свести проверку минимальности проблемных многообразий к конечному перебору.
В настоящей работе доказано, что все многообразия четырех проблемных серий являются минимальными многообразиями Зейферта. Кроме того,
теоретически доказан общий факт: множество возможных степеней отображений многообразия Зейферта с базой тор или сфера на многообразие
с конечной фундаментальной группой (в том числе на гомологическую сферу Пуанкаре) зависит только от вычетов параметров
особых слоев многообразия Зейферта по некоторому модулю.
|
