В 1976–78 гг. А.С.Мищенко и А.Т.Фоменко описали класс линейных операторов  C : G → G  на полупростой алгебре Ли  G, обладающих следующим свойством: гамильтонова система на  G  с квадратичным Гамильтонианом  H(x) = (Cx,x)  вполне интегрируема и ее первые интегралы могут быть построены методом сдвига аргумента. Алгебраическое определение таких операторов очень простое: они удовлетворяют свойству  [Cx,a] = [b,x]  для некоторых двух коммутирующих элементов  a,b ∈ G . Недавно было обнаружено, что операторы с точно таким же свойством возникают в теории проективно эквивалентных римановых метрик, где они играют роль тензора кривизны. В докладе будет рассказано о свойствах этих операторов и сформулированы некоторые задачи, интересные как с чисто алгебраической точки зрения, так и с точки зрения приложений. Будет кратко рассказано о совсем недавнем результате В.Соколова и М.Одесского, которым удалось построить новую серию «интегрируемых» операторов на  gl(n)  и  so(n) .