Пусть g — конечномерная алгебра Ли над полем R. На двойственном пространстве g* к алгебре g будем рассматривать гладкие функции f: g* → R. На множестве C∞(g*) таких функций существует скобка Пуассона–Ли, определяемая в каждой точке x ∈ g* равенством {f,h}(x) = ckij xk (∂f/∂xi) (∂h/∂xj), где ckij — структурные константы алгебры g.

Определение 1. Говорят, что две функции находятся в инволюции (или коммутируют), если их скобка Пуассона–Ли равна нулю.

Определение 2. Инволютивный относительно скобки Пуассона–Ли набор функционально независимых полиномов f1,…,fm называется полным, если m = ½(dim g + ind g), где ind g — коразмерность орбиты коприсоединенного действия для регулярного элемента.

Теорема (гипотеза Мищенко–Фоменко). На двойственном пространстве к любой конечномерной алгебре Ли над полем характеристики нуль всегда существует полный инволютивный набор полиномов.

Для случая редуктивных алгебр Ли эта гипотеза была доказана самими А.С.Мищенко и А.Т.Фоменко. Полный инволютивный набор полиномов для такой алгебры строится с помощью метода сдвига аргумента.

Полное доказательство гипотезы Мищенко–Фоменко для произвольной конечномерной алгебры Ли над полем характеристики 0 было проведено в 2003 году С.Т.Садэтовым. Однако в течение более чем 30 лет вопросом построения полных инволютивных наборов полиномов для различных алгебр Ли занимались многие исследователи. Поэтому представляет интерес вопрос сравнения наборов полиномов, построенных более ранними методами, с наборами, которые дает метод Садэтова.

В докладе будет приведено сравнение трех методов построения полных инволютивных наборов полиномов для такого класса алгебр Ли как полупрямые суммы компактной алгебры Ли и линейного пространства по произвольному представлению. Также будет показано, как эти методы можно применить к конкретным алгебрам Ли для получения явных формул для полиномов, входящих в полный инволютивный набор.