Задача о минимальном заполнении конечного метрического пространства впервые была поставлена Ивановым и Тужилиным в статье "Одномерная проблема Громова о минимальном заполнении". Она возникла на стыке двух классических задач: проблемы Штейнера о кратчайшей сети и проблемы Громова о минимальном заполнении гладкого многообразия.

Взвешенные графы, соединяющие данное метрическое пространство так, что для любых двух точек метрического пространства вес любого пути, соединяющего их в графе, не меньше расстояния между ними в метрическом пространстве, называются заполнениями. Задача состоит в поиске минимального заполнения, т.е. заполнения наименьшего веса.

В упомянутой статье было введено понятие планарного обхода — замкнутого пути по графу, проходящего через каждое ребро дважды. Для каждого планарного обхода естественным образом определяется периметр этого обхода. Ивановым и Тужилиным была высказана гипотеза о том, что вес минимального заполнения метрического пространства M может быть вычислен по формуле

Докладчик показал, что данная гипотеза неверна, но становится верной при замене обходов на мультобходы — замкнутые пути, состоящие из последовательных граничных путей и проходящие через каждое ребро 2k раз, где k — какое-то натуральное число, называемое кратностью мультобхода.

Полученная минимаксная формула имеет много интересных следствий — например о том, что любое минимальное заполнение метрического пространства общего положения представляет собой невырожденное бинарное дерево.

В конце доклада будет сформулирован ряд предельных теорем для веса минимального заполнения бесконечного метрического пространства и рассказано о новом обобщении заполнений — метрических оболочках.