В докладе обсуждается традиционный вопрос об устойчивости периодических траекторий динамических систем. Несмотря на то что топологические методы в механике уже давно доказали свою эффективность, для исследования вопросов устойчивости даже в случае интегрируемых систем обычно применяются чисто аналитические методы (мультипликаторы, функции Ляпунова, связки интегралов и т.п.). Иногда это мотивируется тем, что аналитические методы гарантируют точный ответ, тогда как топологические соображения позволяют скорее сформулировать разумные гипотезы (ответ, грубо говоря, можно угадать, глядя на картинку), которые все равно нуждаются в строгой аналитической проверке.

На самом деле топологический подход с точки зрения математической строгости ничуть не хуже аналитического. Нужно лишь прояснить, какие дополнительные условия (если таковые нужны) превращают общеизвестные принципы в строгие теоремы. В этом и состоит одна из целей доклада. Вторая, непосредственно связанная с первой, в том, чтобы еще раз прокоментировать следующий (на самом деле совершенно очевидный!) факт: теория топологической классификации интегрируемых гамильтоновых систем помимо довольно тонких инвариантов (молекулы, атомы, метки) дает полное описание всех устойчивых траекторий.