Рассматриваются геодезические на поверхностях, полученных малым возмущением стандартной двумерной сферы. Движение частицы по поверхности асимптотически описывается осредненной системой уравнений динамики ее углового момента. Эта система имеет гамильтониан, получаемый из функции, задающей деформацию сферы, с помощью интегрального преобразования Функа–Минковского. Поэтому, будучи гамильтоновой с одной степенью свободы, осредненная система интегрируема. Ее динамика описывается фазовым портретом на стандартной двумерной сфере. Редукция предоставляет средство изучения общей структуры геодезических на сферах с различными малыми деформациями.