В докладе рассматривается задача вычисления рациональных когомологий пространства свободных петель XS1 (т.е. пространства отображений окружности S1 в X) в случае, когда X является односвязным 4-многообразием. Для решения этой задачи может быть применен метод минимальных моделей, который по заданному пространству строит алгебру, когомологии которой совпадают с когомологиями самого пространства.

В работах Найзендорфера и Бабенко вычислена минимальная модель произвольного односвязного 4-многообразия. Также, в работах Бургелеа и Салливана показано, как строить минимальную модель пространства XS1 по минимальной модели X. Совместно эти результаты позволяют получить минимальную модель XS1 для односвязных 4-многообразий в явном виде.

Однако, конкретные вычисления когомологий в такой модели неэффективны, поскольку, кроме конечного числа случаев, размерности пространств в ней растут экспоненциально. В докладе рассматриваются методы, позволяющие преодолеть вычислительные трудности.

В частности, в комплексе минимальной модели расслоения XS1 → X (со слоем ΩX) будет построена спектральная последовательность, совпадающая, начиная с члена E2, с классической последовательностью Лере–Серра (доказательство этого факта остается за пределами доклада). Также, опираясь на свойства коформальности односвязных 4-многообразий, можно будет установить вырождение четвертого дифференциала  d4 = 0  и стабилизацию последовательности в третьем члене  E3 = E∞  (из изучения классической последовательности Лере–Серра можно извлечь лишь стабилизацию в пятом члене).

Также будут использованы геометрические соображения, позволяющие установить связь морфизма пересечения со слоем  I*: H*(XS1) → H*(ΩX)  с одним из столбцов изучаемой спектральной последовательности.

В совокупности, излагаемые результаты позволяют получить явную формулу, выражающую  dim H*(XS1)  в виде формального степенного ряда от второго числа Бетти (и от  rk πn(X), которые для 4-многообразий также выражаются в явном виде через второе число Бетти).