На пространстве двойственном к произвольной конечномерной алгебре Ли существует скобка Пуассона–Ли. Набор коммутирующих относительно данной скобки, функционально независимых функций в количестве равном полусумме размерности и индекса алгебры называется полным коммутативным. В теории интегрируемых гамильтоновых систем большой интерес представляют полные коммутативные наборы, состоящие из полиномов, поскольку каждый такой набор, по сути, задает интегрируемую гамильтонову систему с полиномиальными первыми интегралами на каждой орбите коприсоединненого представления алгебры Ли. Вопрос о существовании полных коммутативных наборов полиномов на произвольной конечномерной вещественной или комплексной алгебре Ли впервые был сформулирован в виде гипотезы в 1978 году А.Т.Фоменко и А.С.Мищенко. Авторами были построены такие наборы на всех редуктивных алгебрах Ли. В 2004 году данная гипотеза была доказана С.Т.Садэтовым в более общей формулировке. Оказалось, что полные коммутативные наборы полиномов существуют на любой конечномерной алгебре Ли над полем нулевой характеристики. В 2005 году А.В.Болсиновым была найдена явная индуктивная процедура построения таких наборов полиномов.

В докладе будет рассказано о применении конструкции А.В.Болсинова для построения полных коммутативных наборов полиномов на вещественных алгебрах Ли малой размерности. А именно, с помощью данной конструкции полные коммутативные наборы полиномов построены на всех алгебрах Ли размерности три, четыре, пять и на всех нильпотентных алгебрах размерности шесть и семь.