В докладе будет представлен обзор классических и совсем недавних результатов по проблеме топологических препятствий к интегрируемости геодезических потоков, которая может быть сформулирована следующим образом: на каких замкнутых многообразиях существуют римановы метрики с интегрируемыми геодезическими потоками?

Пионерским результатом в этом направлении является теорема Козлова (1979), утверждающая, что в вещественно-аналитическом случае на поверхностях рода g≥2 интегрируемых геодезических потоков нет. Тем самым для двумерных многообразий проблема оказывается полностью решенной: интегрируемые геодезические потоки существуют лишь на четырех поверхностях: сфере, торе, проективной плоскости и бутылке Клейна.

В докладе будет рассказано о результатах Л.Батлера, Г.Патернайна, М.Бялого, И.Тайманова и автора в этой области. В частности, будет дана классификация трехмерных многообразий, допускающих интегрируемые геодезические потоки (она оказалась непосредственно связанной к классификацией трехмерных геометрий по Тёрстону), и показано, что гладкие структуры на многообразиях также могут служить препятствиями к интегрируемости. Оба упомянутых результата принадлежат Лео Батлеру.