Топологические свойства интегрируемой гамильтоновой системы тесно связаны со структурой особенностей соответствующего ей отображения момента. Прообразы точек при этом отображении образуют слоение (с особенностями) на фазовом пространстве системы, называемое слоением Лиувилля. Прообразы регулярных значений являются n-мерными торами, заполненными условно периодическими траекториями системы. В окрестности особых слоев слоение Лиувилля устроено более сложно как с топологической точки зрения, так и с точки зрения динамики.

Локальная классификация невырожденных особенностей для интегрируемых гамильтоновых систем хорошо известна. А именно, тип особенности полностью определяется количеством ее гиперболических, эллиптических и фокусных компонент. Однако для описания топологии конкретной интегрируемой системы необходимо исследовать структуру особенности не в малой окрестности особой точки, а в окрестности всего особого слоя, содержащего эту точку. Иногда такое исследование особенности называют полулокальным. Наиболее сложным (для полулокальной классификации) является случай гиперболических особенностей. В частности, в отличие от эллиптических и фокусных особенностей структура гиперболической особенности не определяется однозначно ее сложностью (т.е. количеством особых точек на слое).

В докладе будет рассказано о различных подходах к задаче полулокальной классификации гиперболических особенностей ранга 0. В частности, будет описан простой комбинаторный инвариант (f_n-граф), решающий эту задачу.