Рассматривается открытый вопрос — имеет ли неподвижную точку всякое непрерывное отображение f в себя плоского ациклического континуума K (т.е. замкнутого ограниченного связного множества, не разбивающего плоскость). Будет доказано, что либо f имеет неподвижную точку, либо отображает на себя некоторый неразложимый континуум, лежащий в границе K. Будет предложен новый метод рассмотрения этого вопроса и поставлен ряд задач.