Часть 1 — комбинаторный подход (совместная работа с Д.П.Ильютко)

Вопрос 1.
Пусть дана кривая γ, погруженная в ориентируемую двумерную поверхность S. Когда существует пара (M,δ) — трехмерное многообразие с краем S и двумерный диск δ, погруженная в M с краем γ = δ ∩ M ?

Примеры инвариантов — препятствий к такому погружению (срезанности кривой) были найдены недавно Картером и Тураевым.

Вопрос 2.
Рассмотрим четырехвалентные графы с формальной структурой противоположных ребер в перекрестках и их классы эквивалентности по формальным движениям Рейдемейстера. Полученные объекты назовем свободными узлами. Существуют ли нетривиальные свободные узлы?

Этот вопрос был задан несколько лет назад Тураевым и решен совсем недавно мной. Свободные узлы можно трактовать как резкое упрощение гомотопических классов кривых, погруженных в поверхности: если имеется кривая на поверхности, по ней можно построить свободный узел, но по свободному узлу поверхность строится неоднозначно: в вершинах задан не циклический порядок ребер, а лишь структура противоположности. На множестве свободных узлов вводится отношение КОБОРДИЗМА, которое тесно связано с вопросом 1.

Это отношение описывается посредством формальных комбинаторных движений.

Будут приведены новые мощные инварианты свободных узлов и построены свободные узлы, НЕ КОБОРДАНТНЫЕ ТРИВИАЛЬНОМУ. Примеры принадлежат Д.П.Ильютко