Будет рассказано о некоторых результатах, связанных с нижними оценками объемов римановых метрик при ограничениях на дистанционные функции. Одна из таких задач — нахождение минимальных заполнений, то есть метрик в компактной области, реализующих минимум объема при ограничении снизу на попарные расстояния между точками края. Удалось доказать, что минимальными заполнениями являются все метрики без сопряженных точек на двумерном диске, а в старших размерностях — метрики, C²-близкие к плоской. Исследование случая равенства доказывает для таких метрик гипотезу Мичела: метрика в области однозначно восстанавливается по ее краевым расстояниям. Также будут затронуты близкие вопросы о полунепрерывности объема в топологии Громова–Хаусдорфа, оценки асимптотических объемов периодических метрик и систолические неравенства. В доказательствах важную роль играют идеи из финслеровой геометрии и исследование минимальных поверхностей в банаховых пространствах. Результаты составляют основу докторской диссертации докладчика.