В докладе рассматривается резкое упрощение понятия виртуального узла (зацепления): у диаграммы мы забываем о структуре перекрестков (проход-переход) и локальных числах закрученности (write number). Полученный объект — свободные узлы — представляет собой резкое упрощение также и для кривых, иммерсированных в двумерные поверхности: рассматриваются четырехвалентные графы со структурой противоположных ребер в перекрестках, профакторизованные по формальным движениям Рейдемейстера.

В работе приводится инвариант таких свободных узлов, который ставит в соответствие графу линейную комбинацию четырехвалентных графов, но рассмотренных уже только с точностью до второго движения Рейдемейстера.

Это позволяет просто доказывать теоремы минимальности, необратимости, неклассичности многих свободных узлов (и, следовательно, виртуальных узлов): для свободных узлов, представимых графами специального вида (нечетными несократимыми) значение инварианта представляет собой исходный граф, и теорема минимальности звучит в более сильной формулировке: для каждого нечетного несократимого графа любой эквивалентный ему (посредством трех движений Рейдемейстера) граф содержит исходный граф в качестве «разведения».

Настоящая конструкция может быть аксиоматизирована и положена в основу аксиоматики для построения инвариантов различных объектов. Она связана с биалгеброй Ли Голдмана–Тураева кривых на поверхностях, с квадратичными формами над Z₂, дает многие нетривиальные примеры из теории виртуальных узлов.

На ее основе можно уточнять такие инварианты виртуальных узлов, как скобка Кауфмана, полином Александера, гомологии Хованова.

Никаких предварительных знаний не требуется. В докладе будет приведен список нерешенных задач научного характера.