Хорошо известна связь между решениями уравнения КП (или иерархии КП), кольцами коммутирующих дифференциальных операторов, спектральными кривыми и геометрией бесконечномерного грассманиана. А.Н.Паршиным было предложено обобщение соответствия Кричевера на алгебраические поверхности с дополнительным набором данных. Им же было начато изучение высших иерархий типа КП. Мы планируем рассказать о связи решений этих систем с новыми геометрическими объектами (пунктированными лентами), введенными в совместных работах с Д.Осиповым и H.Kurke, на которые обобщается соответствие Паршина, и которые позволяют построить некоторый аналог теории КП в двумерном случае.