В ряде задач некоммутативной геометрии А.Конна естественно возникают эллиптические операторы, символы которых образуют существенно некоммутативные алгебры. В качестве примеров можно указать эллиптические операторы на некоммутативном торе, на квантовых сферах и, более общим образом, на некоммутативных деформациях торических многообразий.

В докладе будет рассказано об эллиптической теории операторов такого типа, действующих в модулях над C^*-алгебрами (в духе классической работы Мищенко–Фоменко). Основной результат — формула индекса в данной ситуации. Рассматриваемая теория имеет следующие приложения: с ее помощью можно установить периодичность Ботта для некоторых бесконечных групп, а также построить новые гомотопические инварианты некоммутативных эллиптических операторов.