Минимальные кластеры вещества — наноструктуры — могут нести в себе как чисто квантовую геометрию, так и смешанную квантово-классическую геометрию. Последнее означает, что на волновом фоне в них может выделяться корпускулярный (классический) характер движения, чей масштаб, однако, коррелирует с квантовым масштабом. Видимый нам классический континуум здесь приобретает квантовые свойства: координаты на нем перестают коммутировать. Первое подтверждение этой картины, переворачивающей представления о геометрии физического пространства, пришло из эксперимента фон Клитцинга по измерению тока Холла в плоских пленках в однородном магнитном поле (Нобелевская премия за 1985 год).

Но оказывается, при наличии искривлений изучаемой пленки или неоднородностей магнитного поля квантовый эффект Холла–фон Клитцинга обязательно затушевывается другим явлением, о котором и будет рассказано в докладе. Квантовый характер пространства в криволинейном и неоднородном случае проявляется через существование необычного «магнито-метрического» тока и через его дискретную зависимость от номера заполненного уровня. Траектории магнито-метрического тока на данной поверхности описываются гамильтоновой системой, которая по виду совпадает с уравнением Максвелла–Лоренца. Гамильтониан этой системы измеряет рассогласованность магнитного поля и метрики (и одновременно задает плотность квантовых состояний на поверхности). Асимптотика нижних уровней спектра вычисляется через геометрические инварианты.